程曉云， 胡志興

(1.西安培華學(xué)院通識教育中心，西安710065；　2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，西安710069；3. 北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

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一類具有一般發(fā)生率的階段結(jié)構(gòu)傳染病模型的穩(wěn)定性

程曉云1,2， 胡志興3

(1.西安培華學(xué)院通識教育中心，西安710065；2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，西安710069；3. 北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

建立了一類具有一般發(fā)生率的階段結(jié)構(gòu)傳染病模型，利用Hurwitz判據(jù)和極限系統(tǒng)理論知識等，分別討論了染病者無輸入和染病者有輸入時(shí)，疾病消除平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部和全局穩(wěn)定性，得到了一些重要結(jié)論，并對所得結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬.

傳染病模型； 平衡點(diǎn)； 局部漸近穩(wěn)定； 全局漸近穩(wěn)定

1　引　　言

2　模型的建立

本文考慮種群具有遷入且具有一般接觸率β(N)的幼年患病的傳染病模型，疾病的傳播機(jī)制如下：

圖1　疾病的傳播機(jī)制

對應(yīng)的傳染病模型為

(1)

該模型參數(shù)除α為非負(fù)數(shù)外，其余均為正.其中種群總數(shù)為N=S+I+y，S，I，y分別表示t時(shí)刻幼年易感種群、幼年染病種群及成年種群的數(shù)量，A為外界遷入的種群數(shù)量，a，b，c表示種群各類的遷入比例，a+b+c=1.k表示單位時(shí)間內(nèi)幼年成長為成年的轉(zhuǎn)化率，β(N)表示疾病的傳染率，γ表示疾病的恢復(fù)率，d，α分別表示自然死亡率和因病死亡率.該模型的特點(diǎn)是病人康復(fù)后不具有免疫力，馬上又被感染，一般適用于通過細(xì)菌傳染的疾病.假設(shè)

(2)

將S=N-I-y代入系統(tǒng)(1)，則系統(tǒng)(1)等價(jià)于下面的系統(tǒng)

(3)

2　染病者無輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

此時(shí)在系統(tǒng)(3)中，b=0.系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

(4)

2.1系統(tǒng)的解的性態(tài)及平衡點(diǎn)的存在性

定理1對系統(tǒng)(4)，以下結(jié)論成立

(i) 若初始條件I(0)=0，則對任意的t>0，恒有I(t)=0，且

(ii) 若I(0)>0，則對任意的t>0，恒有I(t)>0，且系統(tǒng)(4)的正不變集為

(5)

證(i)根據(jù)解的存在唯一性，易知當(dāng)I(0)=0.則對任意的t>0，恒有I(t)=0.此時(shí)系統(tǒng)(4)的第三個(gè)方程變?yōu)?/p>

N′=A-dN.

不難求得

又由(4)的第二個(gè)方程，將N與y看作已知量，可求得y(t)滿足初始條件y(0)=y0的解為

當(dāng)t→∞時(shí)，對上式兩端取極限，即可證明

由系統(tǒng)(4)的第三個(gè)方程得

N′(t)=A-dN-αI≤A-dN.

根據(jù)比較定理，可求得

定理2對系統(tǒng)(4)，以下結(jié)論成立

(ii) 令

N*是方程

(ii)若I≠0，系統(tǒng)(4)的地方病平衡點(diǎn)由以下方程組

(6)

確定.

由(6)后兩個(gè)方程可得

代入到(6)第一個(gè)方程，得

(7)

令

則

由R0>1得

故

(8)

又

由(2)知

(9)

2.2平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理3對(4)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分析，可得如下結(jié)論

矩陣J(E0)的特征方程的特征根為

故當(dāng)R0<1時(shí)，局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時(shí)，不穩(wěn)定；當(dāng)R0=1時(shí)，穩(wěn)定性不能確定.

由于

故J(E*)可化簡為

定義矩陣

2.3無因病死亡時(shí)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

此時(shí)α=0，系統(tǒng)(4)變?yōu)橄到y(tǒng)

(10)

系統(tǒng)(10)的正不變集為(8).

設(shè)

不難求得系統(tǒng)(10)有兩個(gè)平衡點(diǎn)

定理5對系統(tǒng)(10)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分析，可得如下結(jié)論：

(11)

系統(tǒng)(11)的正不變集為

(12)

由(11)的第二個(gè)方程，可求得

把此極限值代入到系統(tǒng)(11)的第一個(gè)方程，得如下極限系統(tǒng)

(13)

系統(tǒng)(13)的正不變集

(14)

3　染病者有輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

此時(shí)b≠0，在正不變集D上對系統(tǒng)(3)進(jìn)行討論.

3.1系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其存在性

N*是方程

證系統(tǒng)(3)無無病平衡點(diǎn)是很顯然的，而地方病平衡點(diǎn)由方程組

(15)

確定.

由系統(tǒng)(3)后兩個(gè)方程，得

代入到(3)第一個(gè)方程，得

(16)

令

類似定理2的證明，我們知道p′(N)≥0，且當(dāng)N→0時(shí)，p(N)<0.即可找到一個(gè)任意小的小正數(shù)ε>0，使得p(ε)<0；又q′(N)>0，且q(0)>0，故q(ε)>q(0)>0.從而有

F(ε)=p(ε)-q(ε)<0.

3.2無因病死亡時(shí)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

討論α=0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.此時(shí)系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

(17)

系統(tǒng)(17)的正不變集為(5).

系統(tǒng)(17)的正平衡點(diǎn)由方程組

(18)

求得.

由(18)的后兩個(gè)方程得

代入(18)第一個(gè)方程，并注意到I≠0，可得

(19)

根的判別式

令

方程(19)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

證與定理3的證明類似.

定理8當(dāng)α=0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E**在區(qū)域D上全局漸近穩(wěn)定，此時(shí)疾病將蔓延為地方病而不會消除.

將這兩個(gè)極限值再代入系統(tǒng)(17)的第一個(gè)方程，化簡整理得

顯然，當(dāng)I>I**時(shí)，I′<0，即函數(shù)I(t)單調(diào)遞減；當(dāng)00，函數(shù)單調(diào)遞增，從而地方病平衡點(diǎn)I=I**全局漸近穩(wěn)定.同定理4，利用引理4及極限系統(tǒng)理論即可證明.

4　數(shù)值模擬

情形1：b=0，取a=0.6,c=0.4.

(i) 當(dāng)α=0,β=0.5時(shí)，滿足定理5中(i)的條件，則計(jì)算機(jī)模擬的系統(tǒng)(10)的軌線的相圖如下：

圖2　b=0,A=40,d=0.01,γ=0.02,k=0.05,a=0.6,c=0.4,α=0,β=0.5時(shí)，系統(tǒng)(10)的相圖

從圖2可以看出，無病平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.即滿足不同初始值的軌線最終趨向于無病平衡點(diǎn)，從而疾病最終消除.

從圖3可以看出，正平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.即系統(tǒng)(10)從不同初值出發(fā)的軌線最終趨于這一點(diǎn)，傳染病最終不會消除而成為地方病長期存在.

圖3　b=0，A=40，d=0.01，γ=0.02，k=0.05，a=0.6，c=0.4，α=0，β=0.9時(shí)，系統(tǒng)(10)的相圖

情形2：b≠0，取a=0.6,b=0.1,c=0.3.

當(dāng)α=0,β=0.5時(shí)，滿足定理7的條件，則計(jì)算機(jī)模擬的系統(tǒng)(17)的相圖如下：

圖4　A=40,d=0.01,γ=0.02,k=0.05,a=0.6,b=0.1,c=0.3,α=0,β=0.5時(shí)，系統(tǒng)(17)的相圖

從圖4以看到，系統(tǒng)(17)的唯一地方病平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，即從不同初值出發(fā)的軌線最終都趨向于地方病平衡點(diǎn)，此時(shí)疾病最終不會消除而成為地方病.

5　結(jié)　　論

本文分別研究了染病者無遷入和染病者有遷入且傳染率為一般形式的幼年患病的傳染病系統(tǒng)，由于考慮了種群的遷入及不是具體表達(dá)式的一般接觸率，從而使研究的難度加大，所得結(jié)果不能盡善.但通過計(jì)算機(jī)模擬，作者猜測定理5可以完善為

(i)當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(4)的無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定；

(ii)系統(tǒng)(4)只要地方病平衡點(diǎn)存在即全局漸近穩(wěn)定.定理8可以完善為：系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)無條件存在且無條件全局穩(wěn)定.這些情況是否成立還有待進(jìn)一步研究.

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Stability of a Stage-Structured Epidemiological Model with General Incidence Rates

CHENGXiao-yun1,2,HUZhi-xing3

(1.Genera l Education Center, Xi’an Peihua University, Xi’an 710065, China;2. School of Mathematics, Northwest University, Xi’an 710069, China;3. School of Applied Science, Beijing University of Science and Technology, Beijing 100083, China)

The paper deals with a stage-structured edpidemological model with general incidence rates. By Hurwitz criterion and the theory of limiting systems, etc. When b=0 and b≠0 the local stability and the global stability of the disease free equilibriums and the epidemic equibriums are discussed, respectively. We get some important results and also simulate them.

epidemic model; equilibrium; local asymptotically stability; global asymptotically stability

2016-01-15；[修改日期]2016-04-19

國家自然科學(xué)基金(61174209)

程曉云(1978-)，女， 博士研究生， 講師，從事生物數(shù)學(xué)及邏輯代數(shù)研究.Email：chengxiaoyun2004@163.com

O175.1

A

1672-1454(2016)03-0014-10