程曉云， 胡志興

(1.西安培華學(xué)院通識(shí)教育中心，西安710065；　2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，西安710069；3. 北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

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一類具有一般發(fā)生率的階段結(jié)構(gòu)傳染病模型的穩(wěn)定性

程曉云1,2， 胡志興3

(1.西安培華學(xué)院通識(shí)教育中心，西安710065；2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，西安710069；3. 北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

建立了一類具有一般發(fā)生率的階段結(jié)構(gòu)傳染病模型，利用Hurwitz判據(jù)和極限系統(tǒng)理論知識(shí)等，分別討論了染病者無(wú)輸入和染病者有輸入時(shí)，疾病消除平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部和全局穩(wěn)定性，得到了一些重要結(jié)論，并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬.

傳染病模型； 平衡點(diǎn)； 局部漸近穩(wěn)定； 全局漸近穩(wěn)定

1　引　　言

2　模型的建立

本文考慮種群具有遷入且具有一般接觸率β(N)的幼年患病的傳染病模型，疾病的傳播機(jī)制如下：

圖1　疾病的傳播機(jī)制

對(duì)應(yīng)的傳染病模型為

(1)

該模型參數(shù)除α為非負(fù)數(shù)外，其余均為正.其中種群總數(shù)為N=S+I+y，S，I，y分別表示t時(shí)刻幼年易感種群、幼年染病種群及成年種群的數(shù)量，A為外界遷入的種群數(shù)量，a，b，c表示種群各類的遷入比例，a+b+c=1.k表示單位時(shí)間內(nèi)幼年成長(zhǎng)為成年的轉(zhuǎn)化率，β(N)表示疾病的傳染率，γ表示疾病的恢復(fù)率，d，α分別表示自然死亡率和因病死亡率.該模型的特點(diǎn)是病人康復(fù)后不具有免疫力，馬上又被感染，一般適用于通過(guò)細(xì)菌傳染的疾病.假設(shè)

(2)

將S=N-I-y代入系統(tǒng)(1)，則系統(tǒng)(1)等價(jià)于下面的系統(tǒng)

(3)

2　染病者無(wú)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

此時(shí)在系統(tǒng)(3)中，b=0.系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

(4)

2.1系統(tǒng)的解的性態(tài)及平衡點(diǎn)的存在性

定理1對(duì)系統(tǒng)(4)，以下結(jié)論成立

(i) 若初始條件I(0)=0，則對(duì)任意的t>0，恒有I(t)=0，且

(ii) 若I(0)>0，則對(duì)任意的t>0，恒有I(t)>0，且系統(tǒng)(4)的正不變集為

(5)

證(i)根據(jù)解的存在唯一性，易知當(dāng)I(0)=0.則對(duì)任意的t>0，恒有I(t)=0.此時(shí)系統(tǒng)(4)的第三個(gè)方程變?yōu)?/p>

N′=A-dN.

不難求得

又由(4)的第二個(gè)方程，將N與y看作已知量，可求得y(t)滿足初始條件y(0)=y0的解為

當(dāng)t→∞時(shí)，對(duì)上式兩端取極限，即可證明

由系統(tǒng)(4)的第三個(gè)方程得

N′(t)=A-dN-αI≤A-dN.

根據(jù)比較定理，可求得

定理2對(duì)系統(tǒng)(4)，以下結(jié)論成立

(ii) 令

N*是方程

(ii)若I≠0，系統(tǒng)(4)的地方病平衡點(diǎn)由以下方程組

(6)

確定.

由(6)后兩個(gè)方程可得

代入到(6)第一個(gè)方程，得

(7)

令

則

由R0>1得

故

(8)

又

由(2)知

(9)

2.2平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理3對(duì)(4)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分析，可得如下結(jié)論

矩陣J(E0)的特征方程的特征根為

故當(dāng)R0<1時(shí)，局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時(shí)，不穩(wěn)定；當(dāng)R0=1時(shí)，穩(wěn)定性不能確定.

由于

故J(E*)可化簡(jiǎn)為

定義矩陣

2.3無(wú)因病死亡時(shí)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

此時(shí)α=0，系統(tǒng)(4)變?yōu)橄到y(tǒng)

(10)

系統(tǒng)(10)的正不變集為(8).

設(shè)

不難求得系統(tǒng)(10)有兩個(gè)平衡點(diǎn)

定理5對(duì)系統(tǒng)(10)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分析，可得如下結(jié)論：

(11)

系統(tǒng)(11)的正不變集為

(12)

由(11)的第二個(gè)方程，可求得

把此極限值代入到系統(tǒng)(11)的第一個(gè)方程，得如下極限系統(tǒng)

(13)

系統(tǒng)(13)的正不變集

(14)

3　染病者有輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

此時(shí)b≠0，在正不變集D上對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行討論.

3.1系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其存在性

N*是方程

證系統(tǒng)(3)無(wú)無(wú)病平衡點(diǎn)是很顯然的，而地方病平衡點(diǎn)由方程組

(15)

確定.

由系統(tǒng)(3)后兩個(gè)方程，得

代入到(3)第一個(gè)方程，得

(16)

令

類似定理2的證明，我們知道p′(N)≥0，且當(dāng)N→0時(shí)，p(N)<0.即可找到一個(gè)任意小的小正數(shù)ε>0，使得p(ε)<0；又q′(N)>0，且q(0)>0，故q(ε)>q(0)>0.從而有

F(ε)=p(ε)-q(ε)<0.

3.2無(wú)因病死亡時(shí)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

討論α=0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.此時(shí)系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

(17)

系統(tǒng)(17)的正不變集為(5).

系統(tǒng)(17)的正平衡點(diǎn)由方程組

(18)

求得.

由(18)的后兩個(gè)方程得

代入(18)第一個(gè)方程，并注意到I≠0，可得

(19)

根的判別式

令

方程(19)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

證與定理3的證明類似.

定理8當(dāng)α=0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E**在區(qū)域D上全局漸近穩(wěn)定，此時(shí)疾病將蔓延為地方病而不會(huì)消除.

將這兩個(gè)極限值再代入系統(tǒng)(17)的第一個(gè)方程，化簡(jiǎn)整理得

顯然，當(dāng)I>I**時(shí)，I′<0，即函數(shù)I(t)單調(diào)遞減；當(dāng)00，函數(shù)單調(diào)遞增，從而地方病平衡點(diǎn)I=I**全局漸近穩(wěn)定.同定理4，利用引理4及極限系統(tǒng)理論即可證明.

4　數(shù)值模擬

情形1：b=0，取a=0.6,c=0.4.

(i) 當(dāng)α=0,β=0.5時(shí)，滿足定理5中(i)的條件，則計(jì)算機(jī)模擬的系統(tǒng)(10)的軌線的相圖如下：

圖2　b=0,A=40,d=0.01,γ=0.02,k=0.05,a=0.6,c=0.4,α=0,β=0.5時(shí)，系統(tǒng)(10)的相圖

從圖2可以看出，無(wú)病平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.即滿足不同初始值的軌線最終趨向于無(wú)病平衡點(diǎn)，從而疾病最終消除.

從圖3可以看出，正平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.即系統(tǒng)(10)從不同初值出發(fā)的軌線最終趨于這一點(diǎn)，傳染病最終不會(huì)消除而成為地方病長(zhǎng)期存在.

圖3　b=0，A=40，d=0.01，γ=0.02，k=0.05，a=0.6，c=0.4，α=0，β=0.9時(shí)，系統(tǒng)(10)的相圖

情形2：b≠0，取a=0.6,b=0.1,c=0.3.

當(dāng)α=0,β=0.5時(shí)，滿足定理7的條件，則計(jì)算機(jī)模擬的系統(tǒng)(17)的相圖如下：

圖4　A=40,d=0.01,γ=0.02,k=0.05,a=0.6,b=0.1,c=0.3,α=0,β=0.5時(shí)，系統(tǒng)(17)的相圖

從圖4以看到，系統(tǒng)(17)的唯一地方病平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，即從不同初值出發(fā)的軌線最終都趨向于地方病平衡點(diǎn)，此時(shí)疾病最終不會(huì)消除而成為地方病.

5　結(jié)　　論

本文分別研究了染病者無(wú)遷入和染病者有遷入且傳染率為一般形式的幼年患病的傳染病系統(tǒng)，由于考慮了種群的遷入及不是具體表達(dá)式的一般接觸率，從而使研究的難度加大，所得結(jié)果不能盡善.但通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬，作者猜測(cè)定理5可以完善為

(i)當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(4)的無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定；

(ii)系統(tǒng)(4)只要地方病平衡點(diǎn)存在即全局漸近穩(wěn)定.定理8可以完善為：系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)無(wú)條件存在且無(wú)條件全局穩(wěn)定.這些情況是否成立還有待進(jìn)一步研究.

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Stability of a Stage-Structured Epidemiological Model with General Incidence Rates

CHENGXiao-yun1,2,HUZhi-xing3

(1.Genera l Education Center, Xi’an Peihua University, Xi’an 710065, China;2. School of Mathematics, Northwest University, Xi’an 710069, China;3. School of Applied Science, Beijing University of Science and Technology, Beijing 100083, China)

The paper deals with a stage-structured edpidemological model with general incidence rates. By Hurwitz criterion and the theory of limiting systems, etc. When b=0 and b≠0 the local stability and the global stability of the disease free equilibriums and the epidemic equibriums are discussed, respectively. We get some important results and also simulate them.

epidemic model; equilibrium; local asymptotically stability; global asymptotically stability

2016-01-15；[修改日期]2016-04-19

國(guó)家自然科學(xué)基金(61174209)

程曉云(1978-)，女， 博士研究生， 講師，從事生物數(shù)學(xué)及邏輯代數(shù)研究.Email：chengxiaoyun2004@163.com

O175.1

A

1672-1454(2016)03-0014-10