李會榮，鄭　輝，2，楊浩森，米永振

波紋芯體夾層板分頻段隔聲性能多參數(shù)優(yōu)化

李會榮1，鄭輝1，2，楊浩森1，米永振1

（1.上海交通大學(xué) 振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240）

應(yīng)用遺傳算法與梯度算法相結(jié)合的混合優(yōu)化算法，在結(jié)構(gòu)質(zhì)量及整體剛度約束下，分兩個頻段對波紋芯體夾層板在中置點聲源激勵下平均透射聲功率進行單參數(shù)和多參數(shù)優(yōu)化分析，其中優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即夾層板透射聲功率用譜元法和Rayleigh積分進行建模計算。優(yōu)化結(jié)果表明，單參數(shù)和多參數(shù)優(yōu)化都能明顯改善波紋芯體夾層板在高頻段（701 Hz～1 500 Hz）的隔聲性能，但兩種方法在低頻段（1 Hz～700 Hz）效果均不顯著，證明單純針對結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化能夠有效地抑制由局部模態(tài)引起的透射聲峰值，但是對結(jié)構(gòu)整體模態(tài)引起的透射聲峰值影響有限。進一步對比表明，對具有多個結(jié)構(gòu)參數(shù)的波紋芯體夾層板，其隔聲性能多參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于單參數(shù)優(yōu)化結(jié)果。

聲學(xué)；夾層板；波紋芯體；聲透射；參數(shù)優(yōu)化；譜元法

波紋芯體夾層板是上下兩層金屬板之間由波紋狀芯體板連接而成，因其具有剛度-質(zhì)量比（比剛度）和強度-質(zhì)量比（比強度）大的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于對輕量化要求較高的高速載運工具。通常來說，高速運載工具在行駛時隨著運載工具運行速度的提高，往往艙室噪聲會急劇增大。為保證乘客擁有良好的乘坐舒適性，要求作為壁板的波紋芯體夾層板具有良好的隔聲性能。關(guān)于夾層板隔聲性能的研究很多。在理論研究方面，Lee和Kim采用針對周期性夾層板的空間諧波建模方法，在將筋板簡化為剛體的基礎(chǔ)上研究了加筋板的聲透射問題［1］。Xin等在研究三明治夾層板中的聲透射問題采用波傳導(dǎo)模型，考慮了筋板剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)運動，理論模型相對完整［2］。孫加平等采用傳遞矩陣法研究了三明治板的材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)對高速列車底板隔聲性能的影響［3］。除了理論研究外，數(shù)值計算方法在對夾層板的振動-聲學(xué)問題的研究中也被廣泛應(yīng)用。黃勇和馬克儉根據(jù)空腹夾層板的構(gòu)造特點，提出了基于板-塊體元模型的空腹夾層板有限元分析方法［4］。陳波等也使用有限元方法研究了工程中常見的夾層板結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)［5］。畢波等在考慮夾層板的剪切變形的同時計入了芯板的橫向變形，建立了等效單層模型的有限元動力學(xué)方程［6］。

夾層板結(jié)構(gòu)的隔聲性能與結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)和幾何參數(shù)密切相關(guān)，因此很多學(xué)者致力于研究夾層板結(jié)構(gòu)參數(shù)對其振動聲學(xué)性能的影響，特別是針對夾層板結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化。Anthony等使用遺傳算法對一個二維加筋懸臂梁進行了尺寸優(yōu)化，使傳遞到最外端梁的振動能量最?。?］。Wang用高階夾層梁理論研究了在滿足機械剛度與隔聲性能前提下結(jié)構(gòu)的輕量化問題［8］。李智等用有限元法對復(fù)合層板建立了數(shù)值模型，分析了板的結(jié)構(gòu)的材料和幾何參數(shù)對減振降噪的作用［9］。這些研究中基本都采用了有限元計算方法。然而，有限元方法建模過程復(fù)雜，變參數(shù)計算中結(jié)構(gòu)參數(shù)每次變化都需要重復(fù)建模。同時，為保證較好的高頻計算精度，要求單元尺寸足夠小，導(dǎo)致高頻域隔聲性能優(yōu)化時間過長。

相對而言，譜元法（spectral element method，SEM）則為需要多次循環(huán)計算的優(yōu)化問題提供了一種更好的選擇。該方法于1984年被提出，最初用于流體力學(xué)計算［10］。之后學(xué)者們又將譜元法應(yīng)用到結(jié)構(gòu)振動方面的研究。Chakraborty和Gopalakrishnan用譜元法研究了夾層板中的波傳播問題［11］。Lee U采用譜元法研究了兩梁之間接頭的動力學(xué)特性，且計算結(jié)果與實驗符合得較好［12］。吳志靜等建立了譜單元動力學(xué)剛度矩陣，對鋼架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)進行了分析，證明了譜元法相較于傳統(tǒng)有限元法具有計算精度高的優(yōu)點，特別是高頻計算精度高［13］。Wu等研究了周期性板結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，證明了譜元法應(yīng)用于周期性結(jié)構(gòu)振動建模計算的高效性［14］。譜元法的這些優(yōu)勢使其非常適合用于求解波紋芯體夾層板這類周期結(jié)構(gòu)隔聲優(yōu)化問題時所需的循環(huán)計算。

本文以波紋芯體夾層板為研究對象，采用遺傳算法和梯度算法組合構(gòu)成的優(yōu)化算法對中置點聲源激勵下構(gòu)件的頻段平均透射聲功率分別進行了單參數(shù)和多參數(shù)優(yōu)化。優(yōu)化以結(jié)構(gòu)質(zhì)量及整體剛度為約束條件、分低頻和高頻兩個頻段進行，目標(biāo)為頻段平均透射聲功率最小。其中優(yōu)化頻段的選取基于波紋芯體夾層板參考模型的振動模態(tài)分布，低頻段中所有結(jié)構(gòu)模態(tài)均為整體模態(tài)，高頻段則包含部分局部模態(tài)；而優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即結(jié)構(gòu)在聲激勵下的輻射聲功率，先運用譜元法計算得到結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)、然后通過Rayleigh積分計算得到。最后對兩個不同頻段的多參數(shù)和單參數(shù)優(yōu)化結(jié)果進行對比分析討論。

2　透射聲功率計算模型

2.1結(jié)構(gòu)及聲透射計算理論模型

典型波紋芯體夾層板由上板、波紋芯體板和下板組成，其三維結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　波紋芯體夾層板三維結(jié)構(gòu)

圖2給出夾層板的二維截面圖。夾層板總長為L，空腔高度（上下面板間距）為H，上下面面板厚度分別為h1、h3，中間波紋芯體板厚為h2，筋板傾角為α。

因為夾層板平面內(nèi)沿波紋垂直方向的橫向彎曲剛度遠大于波紋方向，通常假設(shè)夾層板沿波紋垂直方向無限延伸，使得三維夾層板的隔聲問題簡化為圖2所示的二維結(jié)構(gòu)（夾層梁）的隔聲問題，其聲透射計算模型如圖3所示。

圖2　波紋芯體夾層板二維尺寸圖

圖3　波紋芯體夾層梁聲透射示意圖

在圖3所示的聲透射計算模型中，波紋芯體夾層梁兩端簡支并置于半無限長聲障板之中，下簡支梁受到點聲源的激勵而振動，其振動能量通過芯梁結(jié)構(gòu)及梁內(nèi)聲腔傳至上梁，引起上梁振動并向外輻射聲波?？紤]到波紋芯體夾層梁剛度較空氣剛度大很多，可將空腔的聲傳遞路徑忽略［15］，僅考慮結(jié)構(gòu)路徑傳聲。

2.2結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的譜元法計算

基于圖3所示聲透射模型，采用譜元法（Spectral element method，SEM）計算結(jié)構(gòu)在聲激勵下的振動響應(yīng)。譜元法結(jié)合了傳統(tǒng)有限元方法和譜方法的優(yōu)點，與傳統(tǒng)有限元方法的區(qū)別在于此方法基于動態(tài)剛度矩陣求解［16］。李蘭清等關(guān)于加筋雙層板聲透射的研究中通過有限元方法驗證了譜元法計算夾層板結(jié)構(gòu)的精度［17］，該文中給出了譜元法計算夾層板在入射簡諧聲波激勵下振動響應(yīng)的詳細數(shù)學(xué)推導(dǎo)，此處不再贅述。圖4給出了譜元法及傳統(tǒng)有限元計算波紋芯體夾層梁在下梁受到1 Hz～2 000 Hz平面波聲激勵作用下上梁振動能量的結(jié)果比較。

圖4　上梁振動能量譜元法計算結(jié)果與有限元對比

從圖4可以看出，譜元法和有限元法得到的振動能量-頻率曲線在整個計算頻段內(nèi)吻合很好。更重要的是，譜元法計算耗時不超過有限元法計算時間的5%。這對于下文將要討論的波紋芯體結(jié)構(gòu)的隔聲優(yōu)化具有重要意義。

2.3聲輻射計算

應(yīng)用譜元法計算得到結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)后，結(jié)合Rayleigh積分可以計算結(jié)構(gòu)向外的輻射聲場［18］。根據(jù)Rayleigh積分，圖3中半徑為R的半圓面上任意一點由結(jié)構(gòu)上梁振動所引起的聲壓為

在整個半圓面S上對聲強積分即可得到波紋芯體夾層梁通過上梁向外輻射的聲功率，即結(jié)構(gòu)的透射聲功率［19］

3　隔聲性能的優(yōu)化分析

在進行波紋芯體夾層梁的隔聲性能優(yōu)化之前，需要首先確定參考模型，并根據(jù)參考模型的頻響特性選擇優(yōu)化目標(biāo)頻段以及優(yōu)化約束條件。

3.1優(yōu)化頻段選擇

參考模型截面如圖2所示，芯體為6周期波紋梁（12筋梁），上、下梁及芯體的材料都相同，結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)和幾何參數(shù)如表1所列。對參考模型進行模態(tài)分析，得出參考模型橫向振動模態(tài)在1 Hz～700 Hz頻段全部為整體彎曲模態(tài)，頻率超過700 Hz后局部模態(tài)才開始出現(xiàn)，701 Hz～1 500 Hz頻段內(nèi)整體模態(tài)占比約為50%。因此，為了研究結(jié)構(gòu)模態(tài)對隔聲性能優(yōu)化的影響，將優(yōu)化的目標(biāo)頻段分為1 Hz～700 Hz（低頻段）和701 Hz～1 500 Hz（高頻段）。

表1　參考模型的材料及幾何參數(shù)

3.2優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述

3.2.1單參數(shù)優(yōu)化問題表述

相對于隔聲領(lǐng)域廣泛研究的單層板和雙層板結(jié)構(gòu)，波紋芯體夾層梁影響隔聲性能優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)較多，若進行多參數(shù)優(yōu)化，容易產(chǎn)生計算量大、優(yōu)化效率低的問題，對于需要考慮時間成本的情況，單參數(shù)優(yōu)化是較好的選擇，因此首先進行單參數(shù)優(yōu)化。

以入射聲波頻段內(nèi)平均透射聲功率來評價構(gòu)件在該頻段的隔聲性能，將目標(biāo)頻段內(nèi)的平均透射聲功率最小化作為優(yōu)化目標(biāo)，分別進行兩個目標(biāo)頻段的優(yōu)化：低頻段（1 Hz～700 Hz）和高頻段（701 Hz～1 500 Hz）。目標(biāo)函數(shù)計算式為

其中ωh、ωl分別為頻段的圓周頻率上下限。

考慮到對結(jié)構(gòu)有輕量化要求，限定其總質(zhì)量不得超過參考模型的質(zhì)量，即其截面面積不得超過參考模型的截面面積。另外，為了保證夾層梁具有一定的整體剛度，其1階固有頻率不可過低［20］，因此要求第1階固有頻率不得低于參考模型的1階固有頻率值。

波紋芯體夾層梁結(jié)構(gòu)參數(shù)中影響透射聲功率的主要參數(shù)有上下梁厚度h1、h3，芯體厚度h2以及芯體傾角α［21］。在單參數(shù)優(yōu)化中，僅保留一個設(shè)計參數(shù)作為優(yōu)化變量，并通過附加面積不變約束條件建立與其他設(shè)計變量的關(guān)系，從而將其引入優(yōu)化問題中。據(jù)此，設(shè)計了兩個單參數(shù)優(yōu)化組，優(yōu)化組一（Optimization I）和優(yōu)化組二（Optimization II），其中優(yōu)化組一考察了上梁厚度的優(yōu)化效果，而優(yōu)化組二是考察了芯體傾角的優(yōu)化效果。單參數(shù)優(yōu)化兩個優(yōu)化組的優(yōu)化變量取值范圍以及約束條件如表2所列。

表2　單參數(shù)優(yōu)化變量及約束

3.2.2多參數(shù)優(yōu)化問題表述

考慮到若同時優(yōu)化對目標(biāo)函數(shù)有影響的四個主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)，則有可能得到更好的優(yōu)化效果，進一步進行多參數(shù)的聯(lián)合優(yōu)化。多參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和單參數(shù)優(yōu)化相同。優(yōu)化變量及其取值范圍為

約束條件為截面積約束和1階固有頻率約束

其中S為夾層梁截面積，S0為參考模型夾層梁截面積；f為11階固有頻率，f0為參考模型的1階固有頻率。

3.3優(yōu)化方法

對上述優(yōu)化問題使用遺傳算法和梯度算法的組合優(yōu)化算法進行優(yōu)化計算。遺傳算法因計算的隨機性使其具有良好的全局搜索能力，然而后期計算效率低。而梯度算法則能快速地找到局部最優(yōu)解。因此利用遺傳算法的全局探索能力找到全局優(yōu)化解，然后將此全局優(yōu)化解作為梯度優(yōu)化算法的初始值，在其周圍進行局部搜索，尋找更加精確的最優(yōu)解。

為了保證優(yōu)化解的可靠性，遺傳算法每次優(yōu)化至少60代，每代個體數(shù)為500，當(dāng)連續(xù)4代最優(yōu)結(jié)果相對誤差小于0.1%時，即認為優(yōu)化收斂。

3.4優(yōu)化結(jié)果及討論

3.4.1單參數(shù)優(yōu)化

低頻段為1 Hz～700 Hz，在此頻段內(nèi)分別根據(jù)優(yōu)化組一和優(yōu)化組二對夾層梁的透射聲功率進行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果以及優(yōu)化模型與參考模型性能指標(biāo)參數(shù)對比如表3所示。這里僅給出了優(yōu)化變量的優(yōu)化結(jié)果，其余設(shè)計變量可通過約束條件求出，或與參考模型保持一致。

表3　低頻段單參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

由表3可知，兩個優(yōu)化組透射聲功率相對于參考模型均降低了1.1 dB，降幅較小。將優(yōu)化模型與參考模型在優(yōu)化頻段內(nèi)的透射聲功率譜進行對比，圖5給出了兩組優(yōu)化結(jié)果與參考模型的透射聲功率頻譜曲線對比。從圖中可以看出，兩個單參數(shù)優(yōu)化組在低頻段內(nèi)對透射聲功率優(yōu)化效果表現(xiàn)在各峰值有所降低，然而峰值個數(shù)并沒有減少，優(yōu)化效果不明顯。

高頻段為701 Hz～1 500 Hz，同樣分別對兩個優(yōu)化組進行單參數(shù)優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如表4所列。優(yōu)化前后的頻譜特性曲線如圖6所示。

表4　高頻段單參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

由表4可以看出在高頻段下，相對于參考模型，兩個優(yōu)化組的優(yōu)化模型平均透射聲功率大幅降低，其中優(yōu)化組一降低了31.3 dB；優(yōu)化組二降低了29.9 dB。

從圖6可以看出，高頻段下兩組單參數(shù)優(yōu)化相對于參考模型均得到了較好的優(yōu)化效果：頻段內(nèi)平均透射聲功率大幅降低；頻段內(nèi)峰值個數(shù)也有減少。

圖5　低頻段下兩組單參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

圖6　高頻段下兩組單參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

3.4.2多參數(shù)優(yōu)化

多參數(shù)優(yōu)化仍然分別在低頻段（1 Hz～700 Hz）和高頻段（701 Hz～1500 Hz）進行，優(yōu)化后模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表5所示。表6給出了優(yōu)化后模型的1階固有頻率、對應(yīng)頻段的平均透射聲功率及截面相對面積（相對于參考模型）。

表5　優(yōu)化后模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)

表6　優(yōu)化后模型的性能指標(biāo)

圖7和圖8分別給出了兩個頻段優(yōu)化前后模型的透射聲功率曲線。從圖7所示的透射聲功率頻譜曲線比較可以看出，對于低頻段，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)相對于參考模型峰值個數(shù)并沒有減少，只是使一些峰值有所降低。圖8中結(jié)果表明，在高頻段，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)隔聲性能明顯優(yōu)于參考模型，優(yōu)化后模型不僅擁有更低的透射聲功率峰值，而且透射峰數(shù)量相對于參考模型也大量減少。

經(jīng)過多參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化，相對參考模型，低頻段平均透射聲功率降低了2.6 dB，高頻段平均透射聲功率降低了35.6 dB。

3.4.3單參數(shù)優(yōu)化與多參數(shù)優(yōu)化結(jié)果比較

表7列出了分別使用單/多參數(shù)優(yōu)化得到的優(yōu)化結(jié)果?？梢钥闯觯瑢Φ皖l段而言，不管采用單參數(shù)優(yōu)化還是多參數(shù)優(yōu)化方法，透射聲功率降低效果都不明顯；反之，對高頻段，兩種優(yōu)化方法都得到了很好的優(yōu)化效果。

由優(yōu)化目標(biāo)頻段選取可知，參考模型在低頻段內(nèi)結(jié)構(gòu)的模態(tài)全部為整體模態(tài)，而高頻段中約50%為局部模態(tài)。本文對波紋芯體夾層梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化是幾何尺寸的優(yōu)化，而不改變模型的拓撲構(gòu)型。單純進行尺寸優(yōu)化對結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)影響有限，因而對低頻段的優(yōu)化效果不佳；幾何尺寸優(yōu)化會改變局部模態(tài)從而使因局部模態(tài)引起的共振峰值有效降低，故對于有較多局部模態(tài)的高頻段優(yōu)化效果顯著。

圖7　低頻段透射聲功率優(yōu)化結(jié)果

圖8　高頻段透射聲功率優(yōu)化結(jié)果

表7　單參數(shù)與多參數(shù)優(yōu)化結(jié)果比較

為進一步證明這一結(jié)論，本文選取了更高的頻率段，即1 000 Hz～2 000 Hz，對參考模型在此進行了多參數(shù)優(yōu)化。參考模型的模態(tài)分析結(jié)果顯示，此頻段內(nèi)局部模態(tài)占比為約70%。優(yōu)化結(jié)果如圖9所示。從圖中可以看出，優(yōu)化模型在優(yōu)化頻段內(nèi)相對于參考模型透射聲功率大幅度降低，透射聲功率峰值數(shù)量減少很多。

圖9　1 000 Hz～2 000 Hz優(yōu)化結(jié)果

將單參數(shù)優(yōu)化與多參數(shù)優(yōu)化進行同頻段優(yōu)化結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)多參數(shù)優(yōu)化不但使透射聲功率降低更多，并且使結(jié)構(gòu)剛度增大、結(jié)構(gòu)變輕。因此多參數(shù)優(yōu)化效果明顯優(yōu)于單參數(shù)優(yōu)化。

4　結(jié)語

本文針對波紋芯體夾層梁的隔聲性能分別進行了單參數(shù)和多參數(shù)優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果表明，針對高頻段（700 Hz～1 500 Hz）的隔聲性能優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于低頻段（1 Hz～700 Hz），這是由于隨著頻率的增加，結(jié)構(gòu)局部模態(tài)增多，改變夾層梁芯體結(jié)構(gòu)參數(shù)能夠有效地改變局部模態(tài)，但是對整個結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)影響有限。

通過對比多參數(shù)優(yōu)化與單參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果說明，對于結(jié)構(gòu)參數(shù)較多的復(fù)雜構(gòu)型，多參數(shù)優(yōu)化能夠更大限度地提高整體結(jié)構(gòu)的隔聲性能。雖然如此，考慮到結(jié)構(gòu)在低頻段隔聲性能通過單純結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化難以得到很好的效果，若要進一步提高結(jié)構(gòu)的隔聲性能，應(yīng)從其他途徑考慮，如阻尼處理、主動控制等。

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Multi-parameter Optimization of the Sound Insulation Performance of a Corrugated Core Sandwich Plate in Two Different Frequency Ranges

LI Hui-rong1，ZHENGHui1，2，YANG Hao-sen1，MI Yong-zhen1
（1.Institute of Vibration，Shock and Noise，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China；2.Collaborative Innovation Center forAdvanced Ship and Deep-sea Exploration（CISSE），Shanghai 200240，China）

A hybrid optimization combining genetic algorithm with gradient-based algorithm is applied to minimize the average radiation sound power of a corrugated-core sandwich plate under point sound source excitation in two specific frequency bands with its structural mass and stiffness constrained.With the sound transmission power of the sandwich plate as the target function of optimization，the spectral element method and Rayleigh's integral are applied to the model establishment and analysis.The results show that the optimization results of both single-variable and multi-variable optimizations can significantly improve the isolation performance of the corrugated core sandwich plate in the high frequency band（701 Hz-1500 Hz）.But both optimization methods are less effective in low frequency band（1 Hz-700 Hz）.It implies that the corrugated core parameters optimization can effectively suppress the sound radiation peaks caused by local modes，but has very little suppression effect on the peaks caused by global modes.Further comparison of the results obtained through single-variable optimization and multi-variable optimization shows that for the structure of corrugated core sandwich plate with multiple parameters，the multi-variable optimization is much better than the single-variable optimization in soundinsulating performance.

acoustics；sandwich plate；corrugated core；sound transmission；parameter optimization；spectral element method

O327 O42

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.039

1006-1355（2016）03-0190-07

2015-11-16

國家自然科學(xué)基金資助項目（51275285）

李會榮（1990-），女，湖北省漢川市人，碩士研究生，主要研究方向為噪聲與振動控制。

鄭輝，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：huizheng@sjtu.edu.cn