楊　歷，陳恩偉，吝輝輝，劉正士

時(shí)變長度軸向移動(dòng)繩橫向受迫振動(dòng)數(shù)值分析

楊歷，陳恩偉，吝輝輝，劉正士

（合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009）

分別建立移動(dòng)集中載荷和移動(dòng)分布式載荷作用下時(shí)變長度軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的物理模型，基于Leibniz法和Hamilton原理推導(dǎo)具有時(shí)變參數(shù)的橫向受迫振動(dòng)方程，Galerkin法將其離散處理為一系列非線性常微分方程組，改進(jìn)的四階Runge-Kutta用于求解不同Galerkin截?cái)嚯A數(shù)的非線性常微分方程組，同時(shí)分析基于有限元法求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及Newmark-β數(shù)值計(jì)算的移動(dòng)集中載荷下變長度軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)橫向振動(dòng)特性。兩種方法數(shù)值分析吻合性及收斂性表明建立變長繩移系統(tǒng)模型可靠性及求解時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)方法有效性，同時(shí)變長度軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)在不同情況下采用恰當(dāng)?shù)腉alerkin截?cái)嚯A數(shù)能到達(dá)更好收斂性及保證計(jì)算精度。

振動(dòng)與波；時(shí)變長度移動(dòng)繩；Galerkin法；Newmark-β法；移動(dòng)載荷；橫向受迫振動(dòng)

實(shí)際工程中很多設(shè)備都可簡(jiǎn)化為變長度軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)，如繩系衛(wèi)星，電梯電纜，起重機(jī)纜繩等。在研究這些設(shè)備的橫向振動(dòng)時(shí)，不能簡(jiǎn)單地忽略各項(xiàng)外界因素的影響，尤其是外部載荷激勵(lì)作用，因此研究外部載荷作用尤其是移動(dòng)載荷作用下變長度軸向移動(dòng)繩橫向受迫振動(dòng)［2-5］及其振動(dòng)特性［8-12］對(duì)設(shè)備的設(shè)計(jì)及改造起到了很重要的作用。這類系統(tǒng)如移動(dòng)風(fēng)載荷作用下的起重機(jī)纜繩，安裝有隨動(dòng)導(dǎo)輪的傳輸電纜，移動(dòng)繩密度不均或磨損導(dǎo)致的質(zhì)量不均系統(tǒng)等。M.Pakdemiri利用哈密頓原理及Galerkin法求解定長軸向加速移動(dòng)繩橫向振動(dòng)，并利用Floquet原理分析其系統(tǒng)在不同條件下的穩(wěn)定性［1］。Salih NAkour則在2010年分析了具有彈性支承的非線性梁在周期性分布載荷作用下的振動(dòng)，應(yīng)用哈密頓原理建立振動(dòng)方程，對(duì)得到的拉格朗日方程離散化，最后使用龍格庫塔法數(shù)值仿真［2］。M. Ansari同樣利用哈密頓原理建立了歐拉-伯努利梁在非線性黏彈性基礎(chǔ)下受移動(dòng)載荷作用的振動(dòng)響應(yīng)，Galerkin將其離散，應(yīng)用multiple-scales method獲得不同條件下的內(nèi)外共振和不同諧波下的頻率響應(yīng)［3］。Ye-Wei Zhang利用具有非線性特性的能量轉(zhuǎn)移裝置減小風(fēng)載荷作用下軸向繩移系統(tǒng)的橫向振動(dòng)，牛頓第二定律用于建立振動(dòng)方程，Galerkin法將其離散化，最后的數(shù)值分析結(jié)果證明了此能量轉(zhuǎn)換裝置對(duì)橫向振動(dòng)控制的有效性［4］。Ji-hu Bao對(duì)變長度柔性提升鋼絲繩采用廣義哈密頓原理導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)方程，將Galerkin離散后的數(shù)值仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果基本一致，證明數(shù)學(xué)模型的有效性，同時(shí)分析系統(tǒng)在外部周期性激勵(lì)下的系統(tǒng)共振［5］。E. W.Chen等基于拉格朗日方程應(yīng)用有限元離散法求解了定長及變長軸向繩移系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，采用Newmark-β法及狀態(tài)方程法數(shù)值分析系統(tǒng)頻率及能量變化規(guī)律［6］。Qun Wu基于經(jīng)典的Runge_Kutta方法，提出改進(jìn)的Runge_Kutta方法的推導(dǎo)過程，并且基于改進(jìn)的Runge_Kutta方法求解了定長及變長軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)［7］。本文基于以上研究，應(yīng)用兩種不同運(yùn)動(dòng)方程求解方法及不同數(shù)值分析方法，對(duì)比分析了兩種方法在處理變長度移動(dòng)繩受迫振動(dòng)時(shí)的收斂性及精確性。

1　建模及運(yùn)動(dòng)方程求解

本文研究對(duì)象為時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)，用以簡(jiǎn)化模擬實(shí)際工程應(yīng)用中很多工程設(shè)備，圖1所示為時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)在受到移動(dòng)集中載荷作用下的物理模型，圖2所示為時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)在受到移動(dòng)分布載荷作用下的物理分解模型，其表示為求解寬度為a的移動(dòng)分布載荷做功等于寬度為vt的移動(dòng)分布載荷做功與寬度為vt-a的移動(dòng)分布載荷做功之差。

圖1　移動(dòng)集中載荷作用的時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)物理模型

圖2　移動(dòng)分布載荷作用下的時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)物理分解模型

圖1中P為移動(dòng)集中載荷，速度為v，p為單位長度載荷，a為移動(dòng)分布載荷寬度，其速度為v。繩長為l（t），A為移動(dòng)繩橫截面積，ρ為單位長度密度，E為楊氏彈性模量，T0為移動(dòng)繩的恒張力，v為移動(dòng)繩軸向移動(dòng)速度。x為繩上某點(diǎn)軸向位置的固定坐標(biāo)軸，x?即為繩上點(diǎn)的移動(dòng)速度，且?=v。y（x，t）為繩上固定點(diǎn)在時(shí)刻t及位置x處的橫向振動(dòng)位移。物理模型的建立基于以下3個(gè)假設(shè)：移動(dòng)繩具有連續(xù)和均勻性，且其線密度、橫截面積、彈性模量、張力在運(yùn)動(dòng)過程中保持不變；忽略移動(dòng)繩縱向振動(dòng)影響，且移動(dòng)繩的橫向振動(dòng)引起的彈性變形遠(yuǎn)小于繩長度；忽略移動(dòng)繩受到的各種阻尼、摩擦力及氣流影響。對(duì)繩系單元長度受力分析［13］，系統(tǒng)的能量可得［6］：

系統(tǒng)的動(dòng)能

系統(tǒng)的勢(shì)能

圖1中移動(dòng)集中載荷做功

圖2（a）中分布載荷做功為

圖2（b）中分布載荷做功為

圖2中分布載荷做功表示為

根據(jù)建模繩系兩端固定支承，故其邊界條件為

哈密頓原理有

將方程式（1）、式（2）、式（3）代入式（8）可得

由上式可看出積分上限l（t）為時(shí)變函數(shù)，因此標(biāo)準(zhǔn)的分部積分法不能采用，此處應(yīng)用Leibniz's和分部積分法相結(jié)合求解時(shí)變上限積分，且對(duì)上式中v 和y取變分可得

上式三項(xiàng)之和為零，即各項(xiàng)均為零，故移動(dòng)集中載荷作用下時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)橫向振動(dòng)方程為

需要控制好市政工程施工過程中出現(xiàn)的噪聲。噪聲污染對(duì)周圍的居民生活會(huì)產(chǎn)生極大的影響，主要是市政工程施工過程中大型機(jī)械設(shè)備的噪聲以及壓路機(jī)作業(yè)等發(fā)出的聲音。為了控制這些噪聲污染，施工需要使用符合標(biāo)準(zhǔn)要求的設(shè)備，還要對(duì)施工設(shè)備進(jìn)行定期維護(hù)。對(duì)施工現(xiàn)場(chǎng)的噪聲進(jìn)行監(jiān)測(cè)，保證施工噪聲不干擾附近居民，合理安排施工時(shí)間，避免在居民夜間休息時(shí)施工，施工時(shí)間盡可能選在白天，運(yùn)輸車輛需要低速行駛，禁止持續(xù)鳴笛，避免強(qiáng)噪聲作業(yè)，在噪聲敏感區(qū)域設(shè)置隔聲屏，最大程度降低噪聲。

同理移動(dòng)分布載荷作用下時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)橫向振動(dòng)方程為

2　運(yùn)動(dòng)方程離散化

應(yīng)用Galerkin截?cái)喾▽⑸鲜鰞蓚€(gè)非線性偏微分方程離散化為常微分方程，因x在區(qū)間［0，l（t）］取值，故定義新變量ξ=x/l（t），其變化區(qū)間為［0，1］

其中qi（t），（i=1，2...n）為廣義坐標(biāo)，n為模數(shù)，形函數(shù)具有如下表示

對(duì)式（14）分別對(duì)時(shí)間及位移求偏導(dǎo)有

將式（16）到式（20）分別代入式（12）和式（13），并兩邊同時(shí)乘以φj（ξ）（j=1，2，3，…，n），并對(duì)ξ在［0，1］上積分，結(jié)合正交化關(guān)系可將方程離散為如下形式

其中Q=［q1，q2…qn］T為廣義坐標(biāo)量，M、C、K及F分別為廣義質(zhì)量，阻尼，剛度及載荷矩陣，N為三次非線性項(xiàng)系數(shù)矩陣，這些矩陣每項(xiàng)分別表示為

3　數(shù)值仿真對(duì)比分析

在基于有限元法的Newmark-β法計(jì)算中［6］，假設(shè)繩子具有固定單元數(shù)，且單元長度均相等，因此這種情況下移動(dòng)集中載荷可以定義為載荷在每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)上依次作用相等的時(shí)間，從而通過改變作用時(shí)間的大小即可模擬載荷不同的移動(dòng)速度。每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)上載荷作用時(shí)間步為

其中n1單元數(shù)，Dt每一步的時(shí)間長度，v為載荷移動(dòng)速度，如取n1=30，Dt=0.02用以近似模擬移動(dòng)集中載荷速度v=1 m/s。

3.1自由振動(dòng)

初始條件設(shè)為

圖3中線型為：—，Newmark-β法；—+，2階Galerkin截?cái)?；?，4階Galerkin截?cái)?，橫坐標(biāo)為繩長，縱坐標(biāo)為橫向振動(dòng)位移。圖中表示不同時(shí)刻下，隨繩長增加，繩系的橫向振動(dòng)特性，（a）中繩長逐漸伸長，系統(tǒng)最大振幅基本保持不變，而系統(tǒng)振動(dòng)頻率減小，經(jīng)過相同時(shí)間，其振型相較于繩系縮短變化較??；（b）中繩長逐漸縮短，由于無阻尼存在系統(tǒng)最大振幅基本保持不變，系統(tǒng)振動(dòng)頻率增加，且其振型愈加復(fù)雜。三種方法在處理變長度移動(dòng)繩系統(tǒng)橫向自由振動(dòng)時(shí)振型基本吻合，證明了Galerkin法的可靠性，且取2階Galerkin截?cái)嗵幚頃r(shí)變自由度橫向自由振動(dòng)時(shí)就能達(dá)到較高的準(zhǔn)確性及收斂性。

圖3　變長度繩移系統(tǒng)不同速度下的橫向自由振動(dòng)

3.2移動(dòng)集中載荷作用下的橫向振動(dòng)

軸向移動(dòng)繩在移動(dòng)集中載荷作用下，取二者移動(dòng)速度均為1 m/s。結(jié)合工程實(shí)際，取集中載荷為正弦變化函數(shù)

其中A為載荷幅值，ω為載荷變化頻率

如圖4所示移動(dòng)集中載荷幅值A(chǔ)=0.1 N，頻率ω=0.3 Hz?！琋ewmark-β法；—+，2階Galerkin截?cái)?；?，4階Galerkin截?cái)?，可以看出繩中波在移動(dòng)載荷作用下從繩左端產(chǎn)生，并且逐漸傳播到右端，由于繩系右端固定，因此波傳遞到右端時(shí)會(huì)反射回來并傳遞到另一端，從而在繩中疊加成復(fù)雜的振動(dòng)，同時(shí)由于移動(dòng)載荷的不斷做功，繩系振幅及振動(dòng)頻率亦逐漸增加。圖4（a）、圖4（b）中三種求解結(jié)果在振型上基本吻合，Newmark-β與Galerkin截?cái)嘞鄬?duì)較大的誤差主要來源于其載荷間斷作用于不同節(jié)點(diǎn)，載荷不是連續(xù)作用于繩子上。并且由于變長度軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的繩長是隨時(shí)間逐漸伸長，而本文采用的是固定單元數(shù)的有限元離散化方法，即此時(shí)繩系單元長度是時(shí)變的，因此當(dāng)繩長伸長長度較大時(shí)，單元的長度也會(huì)變化較大，從而結(jié)合本文中對(duì)于有限元方法下的集中載荷模擬原理，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算精度下降，隨時(shí)間推移形成較大誤差。圖4（c）、圖（d）中明顯可以得出4階Galerkin截?cái)嗯cNewmark-β法具有更吻合的振型，因此在計(jì)算移動(dòng)繩受到移動(dòng)集中載荷作用下時(shí)至少4階Galerkin截?cái)嗖拍苋〉幂^好的收斂性，同時(shí)可以看出Galerkin截?cái)嘣谔幚硎艿揭苿?dòng)載荷作用的繩移系統(tǒng)橫向振動(dòng)的有效性，同時(shí)證明了改進(jìn)的4階Runge_Kutta法在數(shù)值計(jì)算非線性常微分方程組時(shí)的可靠性。

3.3移動(dòng)分布載荷作用下的橫向振動(dòng)

根據(jù)上面仿真分析結(jié)果，4階Galerkin截?cái)鄬?duì)于移動(dòng)載荷作用下的軸向繩移系統(tǒng)橫向振動(dòng)具有較高的收斂性，能較準(zhǔn)確地反映其橫向振動(dòng)，同時(shí)由于Newmark-β法在處理移動(dòng)載荷時(shí)的局限性及較大誤差，因此此部分采用4階Galerkin截?cái)嘟Y(jié)合改進(jìn)的Runge_Kutta法數(shù)值仿真移動(dòng)分布載荷作用下軸向繩移系統(tǒng)中點(diǎn)的橫向振動(dòng)。以下討論參數(shù)取值為繩移速度v=1 m/s，ω=0.3 Hz，p=0.025 N/m，a=4 m，同時(shí)移動(dòng)分布載荷形式與移動(dòng)集中載荷相同，為正弦函數(shù)。

圖5（a）所示為移動(dòng)分布載荷幅值相同，單元長度載荷及寬度不同時(shí)繩移系統(tǒng)中點(diǎn)的橫向振動(dòng)，載荷寬度越大，中點(diǎn)振動(dòng)初始幅值越大，振動(dòng)響應(yīng)越快，振動(dòng)會(huì)隨著載荷逐漸加載到繩子上而慢慢增加，同時(shí)P=0.1 N與p=0.8 N/m，a=0.125 m下的振型誤差較小，在實(shí)際應(yīng)用中，很多分布式載荷數(shù)學(xué)建模時(shí)可近似處理為移動(dòng)集中載荷，從而減少運(yùn)算難度。圖5（b）所示為移動(dòng)分布載荷移動(dòng)速度分別為0.5 m/s、1 m/s、1.5 m/s時(shí)繩系統(tǒng)中點(diǎn)的振動(dòng)，且繩移速度為1 m/s，載荷頻率取0.3 Hz。由于分布載荷是逐漸加載到繩子上，故載荷速度越大繩子初始振幅越大，整體幅值也越大，但載荷移動(dòng)速度對(duì)繩系振動(dòng)頻率沒有明顯影響，幾乎不變。對(duì)應(yīng)于實(shí)際工程應(yīng)用中，通過選擇合適的載荷移動(dòng)速度大小，可以達(dá)到控制振動(dòng)頻率及振幅的目的。圖5（c）為移動(dòng)分布載荷頻率分別為0.1 Hz、0.3 Hz、0.8 Hz時(shí)繩系中點(diǎn)的振動(dòng)，繩及載荷移動(dòng)速度均為1 m/s。由圖可以很明顯得出中點(diǎn)振動(dòng)頻率與移動(dòng)載荷頻率成正比，中點(diǎn)振幅與移動(dòng)載荷頻率成反比，即載荷頻率逐漸增加，中點(diǎn)振動(dòng)頻率越大，中點(diǎn)振幅越小。

圖4　移動(dòng)集中載荷作用下的時(shí)變長繩移系統(tǒng)在不同時(shí)刻下的振型

圖5　不同參數(shù)下移動(dòng)分布載荷作用的時(shí)變長繩移系統(tǒng)中點(diǎn)振動(dòng)

4　結(jié)語

本文以時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析了其在不同移動(dòng)載荷作用下橫向受迫振動(dòng)，應(yīng)用Leibniz法及Hamilton原理分別建立繩系在不同工況下的運(yùn)動(dòng)微分方程，同時(shí)應(yīng)用Galerkin不同階數(shù)的截?cái)鄬?duì)微分方程離散化，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與基于有限元離散的Newmark-β法進(jìn)行比較，得出以下結(jié)論：

（1）通過三種方法對(duì)時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)橫向自由振動(dòng)數(shù)值仿真對(duì)比，較高吻合度證明了Galerkin截?cái)嗵幚矸蔷€性偏微分方程的有效性，同時(shí)得出至少2階Galerkin截?cái)嗖庞休^好的近似模擬；

（2）時(shí)變長度軸向移動(dòng)繩在受到移動(dòng)載荷作用時(shí)，Newmark-β法和4階Galerkin截?cái)鄶?shù)值仿真結(jié)果具有較高的振型吻合度，可見這種情況下至少4階Galerkin截?cái)嗖庞休^好的近似值；

（3）研究了移動(dòng)分布載荷作用下時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)不同參數(shù)對(duì)振動(dòng)特性的影響，同時(shí)分布載荷在一定程度上可以簡(jiǎn)化為集中載荷，因此分布載荷寬度對(duì)振動(dòng)的影響可為進(jìn)一步研究打下理論基礎(chǔ)；

（4）實(shí)際工程應(yīng)用中有各種類型的移動(dòng)載荷，本文建立的移動(dòng)載荷作用下的變軸向繩移系統(tǒng)理論模型及動(dòng)態(tài)特性分析能為后續(xù)進(jìn)一步研究更復(fù)雜載荷提供一定的理論基礎(chǔ)，同時(shí)有助于時(shí)變長度軸向繩移系統(tǒng)的振動(dòng)控制及進(jìn)一步參數(shù)振動(dòng)特性研究。

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NumericalAnalysis of Transversely Forced Vibration for an Axially Travelling String with Time-Varying Length

YANGLi，CHEN En-wei，LIN Hui-hui，LIU Zheng-shi
（School of Mechanical andAutomotive Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

The physical models of an axially travelling string system with time-varying length under the action of moving concentrated load and moving distributed load are established.Two kinds of moving forced string models are considered with different means.The nonlinear transversely forced vibration equations with time varying parameters of the string under different conditions are derived using the extended Hamilton's principle and Leibniz's rule，and discretized using different order Galerkin method into a series of ordinary differential equations.The modified 4th-order Runge-Kutta method is employed to solve the nonlinear transverse vibration equations by means of Matlab code.The numerical results also obtained by the Newmark-β method based on finite element analysis.The effects of parameters changing with the moving loads are also simulated.The results demonstrate the correctness of the proposed physical and mathematical models and the effectiveness of the solutiion methods with time varying parameters.It also indicates that the proper choosing of Galerkin truncation order can achieve better convergence and calculation accuracy in different situations.

vibration and wave；travelling string with time-varying length；Galerkin method；Newmark-β method；moving force；transversely forced vibration

TB123

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.004

1006-1355（2016）03-0016-05+56

2015-06-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51305115）

楊歷（1989-），男，四川廣元人，碩士生。

陳恩偉（1979-），男，廣西合浦人，副研究員，碩士生導(dǎo)師。E-mail：cangxiyuanxi@163.com