瞿麗娟

摘 要： 數(shù)列求和問(wèn)題是高考重要考點(diǎn)，數(shù)列求和有多種方法，要讓學(xué)生分清每種求和方法適用的題目類(lèi)型。本文主要從公式求和、整體求和、分項(xiàng)求和等幾大方面入手，通過(guò)實(shí)例介紹每種求和方法的具體應(yīng)用，讓學(xué)生靈活掌握多種數(shù)列求和方法。

關(guān)鍵詞： 數(shù)列求和 公式求和 分項(xiàng)求和

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，同時(shí)數(shù)列求和問(wèn)題是高考的重要考點(diǎn)。近幾年高考中數(shù)列求和問(wèn)題的出題形式越來(lái)越靈活，且很有可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)讓學(xué)生進(jìn)行不等式證明，作為整張?jiān)嚲淼膲狠S題，這種題目的難度不言而喻。盡管數(shù)列求和有很多種方法，有些學(xué)生可能覺(jué)得無(wú)從下手，但是只要分清每種求和方法的適用題目類(lèi)型，那么數(shù)列求和這個(gè)難題便會(huì)很快被攻克，下面我將對(duì)數(shù)列求和方法進(jìn)行總結(jié)。

一、公式求和，熟練記憶

等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩類(lèi)是兩種最基本數(shù)列，其他一些較復(fù)雜的數(shù)列往往是在這兩種數(shù)列基礎(chǔ)上變形、轉(zhuǎn)化得來(lái)的，所以說(shuō)掌握這兩種數(shù)列求和方法是學(xué)好數(shù)列求和基本條件。

這兩種數(shù)列的求和都有固定的公式，并不需要學(xué)生耗費(fèi)太多精力。如等差數(shù)列的求和公式：Sn= =a n+ n（n-1）d。等比數(shù)列的求和公式：Sn= （q≠1）。除此之外，數(shù)列求和還有其他固定公式，如Sn=1+2+3+…n= n（n+1），Sn=1 +2 +3 +…n = n（n+1）（2n+1），Sn=1 +2 +3 +…n =[ n（n+1）] 。這些公式都是學(xué)生進(jìn)行復(fù)雜數(shù)列求和的基礎(chǔ)，所以一定要熟練記憶。

對(duì)于有些題目來(lái)說(shuō)，可能題干中并沒(méi)有明確指出數(shù)列類(lèi)型，但是經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)列的深入分析后便可以得出該數(shù)列等差數(shù)列或是等比數(shù)列這樣的結(jié)論，就可以套用公式求和。所以我們要引導(dǎo)學(xué)生在做題過(guò)程中仔細(xì)思考、沉著應(yīng)對(duì)，努力使題目向所學(xué)知識(shí)靠攏。

二、整體求和，分清類(lèi)型

對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和時(shí)，有些數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，無(wú)法用公式求和，這時(shí)就需要學(xué)生采用其他方法求和。有些數(shù)列通過(guò)對(duì)數(shù)列整體進(jìn)行變形和運(yùn)算巧妙求出數(shù)列的和，如數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法和倒序相加法就運(yùn)用這種思想。

錯(cuò)位相減求和適用于通項(xiàng)公式為等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的形式：如“a =3n-1，b =2 ，c =a b ，求c 的前n項(xiàng)和Tn”。仔細(xì)觀察之后不難發(fā)現(xiàn)，a 為等差數(shù)列，b 為等比數(shù)列，c 為等差數(shù)列與等比數(shù)列的積，所以這道題毫無(wú)疑義要用錯(cuò)位相減法。需要讓學(xué)生寫(xiě)出Tn的展開(kāi)式，然后寫(xiě)出2Tn的展開(kāi)式，兩式相減可得-Tn的展開(kāi)式，而這時(shí)-Tn的和正好可以用等比數(shù)列的求和公式，就可以得到Tn=8+（3n-4）2 。而對(duì)于倒序相加法來(lái)說(shuō)，有著很廣的應(yīng)用范圍，如可以用來(lái)推導(dǎo)等差數(shù)列的求和公式：Sn=a +a +a +…a ，Sn=a +a +a +…a ，因此將二者相加可得2Sn=（a +a ）n，則Sn= 。這種求和適用于第k項(xiàng)與第（n+1-k）項(xiàng)的和為定值的情況。

因此，需要讓學(xué)生分清整體求和中每種方法適用的題目類(lèi)型。有效引導(dǎo)學(xué)生做題時(shí)仔細(xì)觀察題干中數(shù)列的特點(diǎn)，爭(zhēng)取將每種類(lèi)型典型例題和解題思路都銘記于心，這樣做起題目來(lái)才會(huì)得心應(yīng)手。

三、分項(xiàng)求和，對(duì)癥下藥

這里所說(shuō)的分項(xiàng)求和有兩重含義，一個(gè)是將每項(xiàng)拆分成多項(xiàng)求和，這種思路對(duì)應(yīng)的是裂項(xiàng)相消求和法。而另一種則是將數(shù)列中所有項(xiàng)的同一類(lèi)型的項(xiàng)分為一類(lèi)，這種思路對(duì)應(yīng)的則是分組求和法。

對(duì)于裂項(xiàng)相消求和法，針對(duì)不同項(xiàng)往往會(huì)有不同裂項(xiàng)方法，下面我總結(jié)了一些比較常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式： = - ， = （ - ）， = （ - ），那么裂項(xiàng)之后又是如何求和的呢？通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，裂項(xiàng)之后的每一項(xiàng)的減數(shù)部分與其下一項(xiàng)的被減數(shù)部分正好相同，所以相加之后兩者相消，這樣的話中間相都被消去，只需用首項(xiàng)和末項(xiàng)的剩余部分進(jìn)行求解即可。而分組求和這種方法則相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，通過(guò)對(duì)數(shù)列進(jìn)行觀察將數(shù)列中同類(lèi)型的數(shù)歸為一組，然后分別求和即可，如對(duì)于數(shù)列“Sn=0.9+0.99+0.999+…0.9…9（n個(gè)9）”的求和，可以讓學(xué)生將0.9拆分成1-0.1，將0.09拆分成1-0.01并以此類(lèi)推，該數(shù)列最后就可以變形成一個(gè)全1數(shù)列的和與一個(gè)等比數(shù)列的差，這道題解答時(shí)充分利用分組求和思想。

總之，要讓學(xué)生充分掌握分組求和要領(lǐng)，仔細(xì)區(qū)分每一種方法對(duì)應(yīng)的數(shù)列特點(diǎn)，然后對(duì)癥下藥，確保每種方法的應(yīng)用過(guò)程都了然于胸，這樣學(xué)生做題時(shí)才能心中有數(shù)、萬(wàn)無(wú)一失。

四、其他求和，活學(xué)活用

除了以上這些數(shù)列求和方法之外，還有一種比較常用的方法就是構(gòu)造求和法。這種方法應(yīng)用得十分廣泛，出題方式靈活多變，更需要靈活掌握。

構(gòu)造求和法的出題形式一般都是給出一個(gè)遞推公式，學(xué)生剛接觸可能覺(jué)得和之前介紹的哪種方法都靠不上，因此可能感覺(jué)有些力不從心。其實(shí)，這種類(lèi)型的題目并不難做，需要讓學(xué)生依據(jù)題干給出的關(guān)系式進(jìn)行變形和構(gòu)造，爭(zhēng)取將其改造成我們熟悉的等差和等比數(shù)列，這樣就可以選擇套用公式進(jìn)行求解。比如：“數(shù)列a 中a =1，a =0.5a +1（n>1），求Sn?！蓖ㄟ^(guò)對(duì)a =0.5a +1進(jìn)行變形可得a -2=0.5（a -2），這樣將（a -2）構(gòu)造成了一個(gè)等比數(shù)列，根據(jù)公式可以求出a 的通項(xiàng)，進(jìn)而求出Sn。這種方法的出題方式非常靈活，很難像之前介紹的那些方法一樣有固定的解題套路，那么我們能做的就只有掌握好最基礎(chǔ)的部分，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

此外，還有一些數(shù)列求和方法如導(dǎo)數(shù)求和法、數(shù)學(xué)歸納法及通項(xiàng)分析法等，由于其并不太常見(jiàn)因此這里不再詳細(xì)介紹，但前面提到的構(gòu)造法是需要學(xué)生重點(diǎn)掌握的，教學(xué)中要有意識(shí)地讓學(xué)生對(duì)此方法多加練習(xí)，爭(zhēng)取做題時(shí)將該方法應(yīng)用得爐火純青。

總之，數(shù)列求和問(wèn)題是高中教學(xué)的一大重點(diǎn)也是一大難點(diǎn)，要讓學(xué)生們克服畏難情緒，認(rèn)真分析每一種求和方法適用的題目類(lèi)型，然后做題時(shí)針對(duì)數(shù)列的具體特點(diǎn)選擇合適的方法求解。相信在老師和學(xué)生的共同努力下，數(shù)列求和這個(gè)難關(guān)一定會(huì)被攻克，數(shù)列求和這個(gè)“重頭戲”一定會(huì)被唱得異常精彩。

參考文獻(xiàn)：

[1]王建文.數(shù)列求和方法總結(jié)[J].新校園，2011（01）.

[2]付偉.數(shù)列求和問(wèn)題的研究[J].中國(guó)校外教育，2012（04）.