李露，張賢勇，孫小義

?

變精度粗糙集的近似冪集空間

李露，張賢勇*，孫小義

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都 610068）

變精度粗糙集是重要的量化模型，但其近似算子不具有保并性與保交性。本文針對(duì)變精度粗糙集，挖掘補(bǔ)平邊界（算子），修正近似算子的集合運(yùn)算，建立近似冪集空間。具體地，構(gòu)建四種補(bǔ)平邊界（算子），分析容錯(cuò)特征；建立近似算子的保并等式與保交等式，重新定義近似集的并交補(bǔ)運(yùn)算；定義近似冪集空間，得到關(guān)于經(jīng)典冪集空間的同態(tài)性質(zhì)。本文從算子論與集合論的雙重視角深化了變精度粗糙集，并量化擴(kuò)張了定性粗糙集相關(guān)結(jié)果。

變精度粗糙集；近似算子；集合運(yùn)算；補(bǔ)平邊界（算子）；近似冪集空間

引言

粗糙集理論是一種基礎(chǔ)的不確定性數(shù)學(xué)理論，具有數(shù)據(jù)挖掘的廣泛應(yīng)用。其經(jīng)典的承載模型為定性模型（記為PawlakRS）[1]，具有一定局限性，如數(shù)據(jù)過(guò)擬合。對(duì)比地，量化粗糙集模型具有適用性，能有效解決實(shí)際的數(shù)據(jù)噪聲問(wèn)題。概率粗糙集提供了基本的量化框架，具有可測(cè)性、泛性與彈性等優(yōu)點(diǎn)[2]。變精度粗糙集Variable precision rough sets（記為VPRS）則是其中的重要代表。VPRS主要引進(jìn)錯(cuò)誤分類率度量與量化閾值進(jìn)行建模[3]。從而，VPRS具有相關(guān)的錯(cuò)誤容忍機(jī)制，并擴(kuò)張了PawlakRS。當(dāng)前，VPRS具有深入研究。例如，文[4]基于容差關(guān)系粒度構(gòu)建VPRS，從概念格角度擴(kuò)張PawlakRS；文[5,6]研究VPRS屬性約簡(jiǎn)及算法。特別地，文[7]比較研究VPRS與程度粗糙集，并針對(duì)粗糙集量化提出基于相對(duì)量化與絕對(duì)量化的雙量化完備刻畫(huà)。

粗糙集理論具有“算子論”與“集合論”兩種解釋[8]。“算子論”認(rèn)為，粗糙集理論是在經(jīng)典集合算子上添加了上、下近似兩個(gè)一元算子，是經(jīng)典集合理論的拓展；而“集合論”認(rèn)為，粗糙集理論沒(méi)有引進(jìn)新的算子，只是改變了集合的運(yùn)算。在傳統(tǒng)的定性模型中，近似算子部分保持集合并交運(yùn)算。針對(duì)剩余的不保持部分，文[9]挖掘補(bǔ)平邊界（算子），定義近似的新型并交補(bǔ)運(yùn)算，確立近似算子保持集合運(yùn)算的良性，進(jìn)而構(gòu)建近似冪集空間。

VPRS近似算子完全不保持集合并交運(yùn)算。對(duì)此，本文主要基于文[9]的研究，擬將良性集合運(yùn)算從定性近似算子拓展到量化VPRS近似算子，并最終建立基于新型集合運(yùn)算的VPRS近似冪集空間。具體地，針對(duì)VPRS，引入四種邊界（算子）進(jìn)行修正；重新定義近似集的集合運(yùn)算，得到近似算子對(duì)集合運(yùn)算的保持良性；確立近似冪集空間，并分析對(duì)于常規(guī)冪集空間的同態(tài)特性。相關(guān)研究將從“算子論”和“集合論”深化VPRS，并量化擴(kuò)張已有的PawlakRS定性結(jié)果。

1 粗糙集與近似算子性質(zhì)

本節(jié)基于文[1,3,8]回顧PawlakRS與VPRS，并提供相應(yīng)的定性與定量近似算子的性質(zhì)。這里，論域與等價(jià)關(guān)系組建近似空間，對(duì)象的等價(jià)類表示知識(shí)粒，為目標(biāo)概念，符號(hào)表示集合補(bǔ)運(yùn)算。

定義1 PawlakRS中，上下近似定義如下：

性質(zhì)1 PawlakRS上下近似算子對(duì)于集合并交運(yùn)算具有性質(zhì)：

PawlakRS即為經(jīng)典定性粗糙集，其近似算子具有不完全的保并性與保交性（性質(zhì)1）。對(duì)此，文[9]進(jìn)行了等式修正，下面提供一種變形刻畫(huà)。

性質(zhì)2 PawlakRS中，兩種補(bǔ)平邊界（算子）能夠修正近似算子的并交運(yùn)算到如下等式：

針對(duì)PawlakRS近似算子的非保并性與非保交性（性質(zhì)1），定義2提出兩種補(bǔ)平邊界（算子），性質(zhì)2得到近似算子的并交運(yùn)算等式。進(jìn)而，文[9]還提出近似集的新型并交補(bǔ)運(yùn)算與近似冪集空間，獲得運(yùn)算保持與同態(tài)良性。

針對(duì)PawlakRS量化缺陷，VPRS引入錯(cuò)誤分類率與量化閾值確立模型。粒關(guān)于概念的錯(cuò)誤分類率為：

定義3 VPRS中，上下近似定義如下：

性質(zhì)4 VPRS上下近似算子對(duì)于集合并交運(yùn)算具有如下不等式：

對(duì)比性質(zhì)1與性質(zhì)4可見(jiàn)，在量化擴(kuò)張過(guò)后，VPRS近似算子完全不保持集合并交運(yùn)算，相關(guān)等式補(bǔ)平成為一個(gè)問(wèn)題。

2 變精度粗糙集的補(bǔ)平邊界與補(bǔ)平算子

針對(duì)VPRS算子實(shí)施集合并交運(yùn)算的不等性（性質(zhì)3），本節(jié)主要建立四種補(bǔ)平邊界與補(bǔ)平算子。

引理1 VPRS近似算子具有如下作差性質(zhì)：

引理1主要基于性質(zhì)4實(shí)施作差比較，挖掘影響等式的集合因素。其正確性可由VPRS近似算子定義（定義3）保證。引理1揭示了性質(zhì)4中VPRS近似算子并交不保持的差額部分，進(jìn)而自然確定四種邊界（算子）以實(shí)施補(bǔ)平作用。

它們分別稱為上內(nèi)邊界、上外邊界、下內(nèi)邊界、下外邊界，統(tǒng)稱為補(bǔ)平邊界。其中，

定理1 VPRS中，四種補(bǔ)平邊界（算子）修正近似算子的并交運(yùn)算到如下等式：

定理2 VPRS四種補(bǔ)平邊界（算子）量化擴(kuò)張了PawlakRS補(bǔ)平邊界（算子），后者是前者的特殊情況。時(shí)的具體退化結(jié)果如下：

根據(jù)引理1，定義4自然確立四種邊界（算子）。在定理1中，補(bǔ)平邊界（算子）通過(guò)差額修正，自然補(bǔ)平VPRS近似算子對(duì)集合的并交運(yùn)算。因此，定理1改進(jìn)性質(zhì)4中的不等式為等式。此外，定理2表明VPRS補(bǔ)平邊界（算子）對(duì)于PawlakRS補(bǔ)平邊界（算子）的量化擴(kuò)張性，其中有兩種VPRS補(bǔ)平邊界在時(shí)退化為空集。

VPRS補(bǔ)平邊界與補(bǔ)平算子具有意義。關(guān)于“算子論”，四種邊界算子被引入，并能實(shí)施VPRS補(bǔ)平功能；關(guān)于“集合論”，四種邊界集合被引入，并調(diào)平VPRS近似算子的集合并交運(yùn)算。此外，相關(guān)結(jié)果擴(kuò)張了PawlakRS的基本結(jié)果。

鑒于邊界與算子的一致性，下面主要聚焦補(bǔ)平邊界作深入分析。首先，依據(jù)定義4，可以歸納四種邊界的錯(cuò)誤分類率特征，如表1。

表1 四種邊界的錯(cuò)誤分類率特征

基于定義4與表1，可以基本定位四種邊界。為此，下面給出相關(guān)的圖1。其中，集合為一般的相交關(guān)系，相關(guān)小矩形描述四種邊界（或其組成粒）。

圖1 VPRS的四個(gè)補(bǔ)平邊界示意圖

3 變精度粗糙集的近似冪集空間

基于上節(jié)的VPRS補(bǔ)平邊界與補(bǔ)平算子，可以構(gòu)造VPRS近似的新型并交運(yùn)算，得到保持并交運(yùn)算的良性。再加上對(duì)補(bǔ)運(yùn)算的重新定義，本節(jié)主要構(gòu)建VPRS近似冪集空間，并分析相關(guān)的同態(tài)性質(zhì)。

根據(jù)補(bǔ)平邊界（算子）及近似算子的補(bǔ)運(yùn)算，定義5提出了VPRS近似的一種新型并交補(bǔ)運(yùn)算。適用于VPRS近似但依賴于基礎(chǔ)概念，與經(jīng)典的不同，具有相關(guān)的修正?？梢暈榈耐茝V，因?yàn)榧?xì)化為單點(diǎn)粒結(jié)構(gòu)時(shí)前者退化為后者，且概念精確可定義時(shí)兩者變得一致。兩者可以根據(jù)應(yīng)用環(huán)境進(jìn)行區(qū)別確認(rèn)。

證明 前四條由引理1、定理1與定義5可得?；诙x5與VPRS性質(zhì)，

即（5）得證，同理可證（6）?！?/p>

定理3表明，VPRS上下近似算子能夠保持集合并交補(bǔ)運(yùn)算。因此，新增加的具有意義，特別是從“集合論”角度。對(duì)VPRS近似運(yùn)算具有封閉性，因此能夠組建相關(guān)的代數(shù)空間。下面定義VPRS近似冪集空間，并分析同態(tài)性質(zhì)。

VPRS近似冪集空間的對(duì)象是確定的，但其依賴于冪集空間，因?yàn)榻萍倪\(yùn)算具有對(duì)基礎(chǔ)概念的依賴性。

的同態(tài)滿射。

4 結(jié)論

PawlakRS具有定性絕對(duì)性，文[9]針對(duì)PawlakRS近似算子性質(zhì)，提出兩種補(bǔ)平邊界與補(bǔ)平算子，獲取近似算子對(duì)集合運(yùn)算的相等式與保持性，并最終建立近似冪集空間。本文主要在文[9]的基礎(chǔ)上，將相關(guān)工作向量化VPRS進(jìn)行了擴(kuò)張推廣。針對(duì)VPRS，構(gòu)造了四種補(bǔ)平邊界與補(bǔ)平算子，構(gòu)建了新型的并交補(bǔ)運(yùn)算（即），讓近似算子具有保持集合運(yùn)算的良性，進(jìn)而構(gòu)建的近似冪集空間具有對(duì)于經(jīng)典冪集空間的同態(tài)特性。此外，所得VPRS結(jié)果具有對(duì)于PawlakRS相關(guān)結(jié)果的量化擴(kuò)張性。

本文研究深化了VPRS。從“算子論”的角度，添加四個(gè)二元算子，把現(xiàn)有的VPRS系統(tǒng)

推進(jìn)到

[1] PAWLAK Z. Rough sets [J]. International Journal of Computer and Information Sciences, 1982, 11(5): 341-356.

[2] Yao Y. The superiority of three-way decisions in probabilistic rough set models [J]. Information Sciences, 2011, 181(6): 1080-1096.

[3] WOJCIECH Z. Variable precision rough sets model [J]. Journal of Computer and System Sciences, 1993, 46: 39-59.

[4] KANG X P, MIAO D Q. A variable precision rough set model based on the granularity of tolerance relation [J]. Knowledge-Based Systems, 2016, 102: 103-115.

[5] CHEN D G, YANG Y Y, DONG Z. An incremental algorithm for attribute reduction with variable precision rough sets [J]. Applied Soft Computing, 2016, 45: 129-149.

[6] Mi J S, Wu W Z, Zhang W X. Approaches to knowledge reduction based on variable precision rough set model [J]. Information sciences, 2004, 159(3-4): 255-272.

[7] ZHANG X Y, MO Z W, XIONG F, et al. Comparative study of variable precision rough set model and graded rough set model [J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2012, 53(1): 104-116.

[8] Yao Y Y. Two views of the theory of rough sets in finite universes [J]. International of Approximate Reasoning, 1996, 15: 291-317.

[9] Zhang X Y, Mo Z W, Shu L. Operators of approximation and approximate power sets space [J]. Journal of Electronic Science and Technology of China, 2004, 2(2): 91-96.

[10] XU W H, GUO Y T. Generalized multigranulation double-quantitative decision-theoretic rough set [J]. Knowledge-Based Systems, 2016, 105: 190-205.

Approximate Power Set Space of Variable Precision Rough Sets

LI Lu, ZHANG Xianyong*, SUN Xiaoyi

(College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610068, China)

Variable precision rough sets (VPRS) act as a fundamental quantitative model, but their approximation operators can not maintain intersection and union operations. Aiming at VPRS, this paper mines supplement boundaries (operators), amends set operations of approximation operators, and constructs approximate power set space. Concretely, four types of supplement boundaries (operators) are proposed, and their fault-tolerance features are analyzed; intersection and union preservation equations of approximation operators are gained, so union, intersection, and complement operators of approximations are redefined; approximate power set space is determined, and its homomorphism feature regarding the classical power set space is achieved. This study adopts double views of operators and sets to enrich VPRS, and quantitatively expands relevant results of qualitative rough sets.

variable precision rough set; approximation operator; set operation; supplement boundary (operator); approximate power set space

1672-9129(2016)01-0006-05

TP18

A

2016-06-17;

2016-06-27。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目61203285；四川省教育廳科研項(xiàng)目15ZB0028。

李露(1993-)，女，重慶云陽(yáng)人，碩士研究生，主要研究方向：粗糙集、數(shù)據(jù)挖掘；張賢勇(*通信作者、第一作者)(1978-)，男，四川成都人，副教授，博士后，碩導(dǎo)，主要研究方向：粗糙集、粒計(jì)算、數(shù)據(jù)挖掘；孫小義(1992-)，女，四川達(dá)州人，碩士研究生，主要研究方向：粗糙集、數(shù)據(jù)挖掘。

（*通信作者電子郵箱：xianyongzh@sina.com)