丁毓，謝建明，李小南*

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區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣

丁毓，謝建明，李小南*

(西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安市郵編；710071)

圖與擬陣有著密切的聯(lián)系。本文研究區(qū)間值模糊圖與模糊擬陣之間的關(guān)系。對(duì)于任意一個(gè)區(qū)間值模糊圖，通過(guò)區(qū)間排序誘導(dǎo)出一個(gè)模糊圖。由截模糊圖得到一系列分明圖，又因?yàn)槊總€(gè)分明圖都可以得到一個(gè)圈擬陣，從而可獲得擬陣序列。最后由擬陣序列構(gòu)造出一個(gè)模糊擬陣。最后指出區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣之間不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

區(qū)間排序；區(qū)間值模糊圖；模糊擬陣；擬陣序列

引言

自1965年Zadeh[1]提出模糊集合的概念以后，諸多的數(shù)學(xué)工作者開(kāi)始致力于模糊集合的數(shù)學(xué)理論研究，開(kāi)辟了許多模糊數(shù)學(xué)的研究方向和領(lǐng)域?，F(xiàn)在模糊集合幾乎滲入了基于經(jīng)典集合論的所有純數(shù)學(xué)分支中，如拓?fù)?、代?shù)、幾何、算術(shù)、測(cè)度論、概率論、范疇論等。在1975年，Zadeh[2]提出了區(qū)間值模糊集的概念。同年，作為歐拉圖論的一個(gè)分支，Rosenfeid[3]提出了模糊圖的概念、定義了模糊集之間的模糊關(guān)系，并將分明圖論中許多概念和結(jié)論推廣到了模糊圖理論中。此后國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者也都致力于模糊圖理論的研究，提出了許多新見(jiàn)解、新理論、新方法。關(guān)于模糊圖理論及應(yīng)用方面的進(jìn)展可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。之后，許多學(xué)者提出了各種模糊集的推廣理論。例如，區(qū)間值模糊集和直覺(jué)模糊集是模糊集合的兩種重要的推廣，且這兩種模糊集的推廣理論現(xiàn)在已經(jīng)和圖論的研究結(jié)合在了一起，參見(jiàn)Akram和Dudek[5]。

擬陣首先由Whitney[6]提出。作為同時(shí)推廣了圖和向量空間中的某種獨(dú)立結(jié)構(gòu)，擬陣和圖及向量空間有著密切的關(guān)系。1988年，Goetschel和Voxman[7]首次定義并研究了模糊擬陣。既然圖和擬陣有如此密切的聯(lián)系，那么研究模糊圖包括區(qū)間值模糊圖和直覺(jué)模糊圖，與模糊擬陣的聯(lián)系就是非常自然的事情了。本文將研究區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣之間的聯(lián)系。

本文首先考慮區(qū)間的排序問(wèn)題，通過(guò)某種規(guī)則將區(qū)間值模糊圖中的邊排序，然后根據(jù)邊的權(quán)序截得到一列分明圖，進(jìn)而得到一列分明擬陣。根據(jù)模糊集的分解定理，可由分明擬陣列構(gòu)造一個(gè)模糊集族，最后證明了這個(gè)模糊集族構(gòu)成一個(gè)模糊擬陣。這樣就建立了區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣之間的聯(lián)系。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1 設(shè)U是論域，稱映射

定義1.2 (Oxley[8]) 擬陣是這樣一個(gè)二元組(),其中E是一個(gè)有限的集合，I是集合E的一個(gè)非空子集族，且滿足以下兩個(gè)條件：

設(shè)M=(E,I)是一個(gè)擬陣。集合I中的元素被稱作擬陣M的獨(dú)立集。

定義1.3 (Goetschel和Voxman[7]) 設(shè)X是一個(gè)有限集，且是一個(gè)非空的模糊集族，滿足以下條件

定義1.4 設(shè)是一個(gè)非空有限集合，是由中元素組成的無(wú)序?qū)?，則稱（,）為一個(gè)（分明）圖。中的元素稱為圖的頂點(diǎn)，中的元素稱為邊。

定義1.5 區(qū)間值模糊圖[5]：設(shè)是一個(gè)非空有限集,是的子集。設(shè)，分別是和上區(qū)間值模糊集，且滿足

(4)

2 區(qū)間值模糊圖誘導(dǎo)模糊擬陣

特別地：

圖1 區(qū)間值模糊圖G=(A,B)

模糊圖是一種特殊的賦權(quán)圖，而區(qū)間值模糊圖又是模糊圖的推廣，權(quán)值由點(diǎn)變?yōu)閰^(qū)間。對(duì)于一個(gè)區(qū)間數(shù)，取其點(diǎn)為代表元（根據(jù)不同的實(shí)際情況可適當(dāng)取值，一般情況下可取=1/2），用代表元來(lái)表示這個(gè)區(qū)間數(shù)，則區(qū)間值模糊圖G=（A,B）可以表示為成為一個(gè)模糊圖=，稱之為由區(qū)間值模糊圖誘導(dǎo)出的點(diǎn)模糊圖。

例2.1 設(shè)=（,）（如圖1所示）是一個(gè)區(qū)間值模糊圖，求它誘導(dǎo)的模糊圖。取0.5 。

注意本文所涉及的集合都是有限集，因此由模糊圖誘導(dǎo)出的擬陣的個(gè)數(shù)也是有限的。通過(guò)命題2.1 還可以得出下面的推論。

注2.1 區(qū)間值模糊圖每條邊的權(quán)值為區(qū)間。這里 采用的是區(qū)間數(shù)的序，而且前面已經(jīng)指出 常常取為1/2。這樣就產(chǎn)生了兩個(gè)問(wèn)題：

1.若采用其它的區(qū)間數(shù)排序方法，也會(huì)得到相應(yīng)的分明圖序列從而產(chǎn)生分明擬陣序列，那么這樣得到的擬陣序列和采用本文中用到的方法有何區(qū)別？

2.本文中取為1/2，那么若取其它值，得到的分明擬陣列會(huì)不同嗎？

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，也即采用其它的區(qū)間數(shù)排序法來(lái)討論區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣的聯(lián)系，將是 以后的一個(gè)研究課題。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題， 很容易舉例說(shuō)明，取值不同，得到的分明擬陣序列有可能不同。

所以，對(duì)于任意的一個(gè)區(qū)間值模糊圖=（,），其誘導(dǎo)的點(diǎn)模糊圖為，取其基礎(chǔ)序列中的每一個(gè)數(shù)()，都可以截得一個(gè)分明圖，是分明圖的圈擬陣，其獨(dú)立集族為，令。則，…，是上的擬陣序列，且滿足條件，其中。

在接下來(lái)的例子中將會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于不同的區(qū)間值模糊圖，卻有可能誘導(dǎo)出相同的擬陣序列。

例2.3考慮圖4中的兩個(gè)區(qū)間值模糊圖（a）和（b）。

（a）?????? ??????(b)

圖5 模糊圖（a）和(b)誘導(dǎo)的模糊圖

任意給一個(gè)區(qū)間值模糊圖G=（A, B），就會(huì)存在唯一的一個(gè)擬陣序列與之對(duì)應(yīng)。而又可以由模糊集的分解定理:設(shè)是一個(gè)論域U上的模糊集，對(duì)于任意的，有可得。如果知道一個(gè)模糊集的所有a-截集，那么就可以通過(guò)它的a-截集來(lái)反過(guò)來(lái)求出這個(gè)模糊集。

解：

故

由上述的討論知道，任意給一個(gè)區(qū)間值模糊圖，都可以得到其全部由a-截得的獨(dú)立集序列（有限）。因此可以用模糊集的分解定理構(gòu)建一個(gè)“模糊獨(dú)立集族”（類似例2.4的方法）。接下來(lái)給出一個(gè)例子來(lái)詳細(xì)說(shuō)明。

例2.5依然考慮例2.1中的區(qū)間值模糊圖。

證明：區(qū)間值模糊圖G=(A,B)的每條邊的權(quán)值為區(qū)間。根據(jù)定義2.1中介紹的區(qū)間的排序，可知此區(qū)間值模糊圖在經(jīng)過(guò)排序后可以看作等價(jià)于一個(gè)模糊圖，即此時(shí)邊的權(quán)值為[0,1]中的數(shù)。由前所述，此時(shí)可以誘導(dǎo)出一個(gè)分明圖列，進(jìn)而誘導(dǎo)出以個(gè)擬陣序列。由命題2.1這樣的擬陣序列是單調(diào)的。最后由[7]中定理2.3可知是某個(gè)模糊擬陣的模糊獨(dú)立集族，即是一個(gè)模糊擬陣。

3 區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系

上節(jié)給出了從區(qū)間值模糊圖構(gòu)造模糊擬陣的方法，本節(jié)指出區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣不是一一對(duì)應(yīng)的。下面 先看一個(gè)例子。

例 3.1 考察圖6和圖7中的兩個(gè)區(qū)間值模糊圖。設(shè)圖6導(dǎo)出的模糊擬陣為。則容易驗(yàn)證

圖 6 區(qū)間值模糊圖G

圖7 區(qū)間值模糊圖G2

注 3.1 本文中所提出的從區(qū)間值模糊圖導(dǎo)出模糊擬陣的方法是建立在區(qū)間值數(shù)的排序法基礎(chǔ)上的（）。本節(jié)給出了兩個(gè)不同區(qū)間值模糊圖導(dǎo)出同一個(gè)模糊擬陣的例子，其實(shí) 還可以給出不同的區(qū)間值模糊圖由取不同值而導(dǎo)出同一個(gè)模糊擬陣的例子。

4 結(jié)語(yǔ)

模糊圖理論是經(jīng)典圖論的推廣。目前在模糊圖論的應(yīng)用領(lǐng)域的研究已經(jīng)極為廣泛，比如聚類分析、系統(tǒng)分析、神經(jīng)網(wǎng)路、地理信息系統(tǒng)等。區(qū)間值模糊圖則是模糊圖論的一個(gè)重要推廣，在某些問(wèn)題上有一些較模糊圖更好的性質(zhì)。本文研究了區(qū)間值模糊圖與模糊擬陣之間的關(guān)系。任意給一個(gè)區(qū)間值模糊圖G=(A,B)，提出了一種構(gòu)造模糊擬陣的方法。下面列出下一步要進(jìn)行的工作：

(1) 如前所述，本文從區(qū)間值模糊圖構(gòu)造模糊擬陣的關(guān)鍵一步是對(duì)區(qū)間數(shù)排序。現(xiàn)在已有許多區(qū)間數(shù)排序的方法，那么用不同于本文所采用的序法從區(qū)間值模糊圖出發(fā)所得到的模糊擬陣與本文中的模糊擬陣有何關(guān)系？

(2) 現(xiàn)在已經(jīng)有多種圖的推廣理論，例如模糊圖，直覺(jué)模糊圖、區(qū)間值直覺(jué)模糊圖等（參考[10]）。是否可以由這些圖的推廣理論用類似本文的方法誘導(dǎo)出模糊擬陣？

（3）G-V模糊擬陣的研究已經(jīng)取得了很多重要成果（參考[11,12]）。研究基于區(qū)間值模糊圖的導(dǎo)出擬陣的性質(zhì)是一個(gè)值得研究的課題。

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[2] Zadeh L A. The concept of a Linguistic variable and its application to approximate reasoning I [ J ]. Information Science, 1975, 8: 199- 249.

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Interval-Valued Fuzzy Graphs and Fuzzy Matroids

DING Yu, XIE Jianming, LI Xiaonan

(College of mathematics and statistics, Xidian University, 710071, China;)

Graphs and matroids have a close relationship. In this paper, we study the relation between interval valued fuzzy graph and fuzzy matroid. For any interval valued fuzzy graph, it can induce a fuzzy graph by interval ordering. And then a sequence of crisp graphs can be obtained by cuts of the fuzzy graph. Since a crisp graph can induce a cycle matroid, a sequence of matroids will be constructed. We finally construct a fuzzy matroid from the induced sequence of matroids. Finally, we point out that there is no one-to-one correspondence between interval-valued fuzzy graphs and fuzzy matroids.

Interval ranking; interval-valued fuzzy graph; fuzzy matroids; matroid sequence

672-9129(2016)01-0001-05

O151

A

2016-06-14；

2016-06-23。

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金（No.61202178）。

丁毓(1993-)，女，新疆伊犁人，2016級(jí)碩士；謝建明（1990-），男，新疆石河子人，2015級(jí)碩士；李小南(1981-)，男，陜西西安人，副教授，主要研究方向：擬陣推廣理論、粗糙集及三支決策。

(*通信作者電子郵箱：lxn2007@163.com)