桑波

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059）

一類Z2對(duì)稱五次微分系統(tǒng)的中心條件和極限環(huán)分支

桑波

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059）

本文研究了一類Z2對(duì)稱五次微分系統(tǒng)的中心條件和小振幅極限環(huán)分支.通過(guò)前6階焦點(diǎn)量的計(jì)算，獲得了原點(diǎn)為中心的充要條件，并證明系統(tǒng)從原點(diǎn)分支出的小振幅極限環(huán)的個(gè)數(shù)至多為6.最后通過(guò)構(gòu)造后繼函數(shù)，給出系統(tǒng)具有6個(gè)圍繞原點(diǎn)的小振幅極限環(huán)的實(shí)例.

五次系統(tǒng)；焦點(diǎn)量；極限環(huán)；后繼函數(shù)

1　引言

考慮n次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)

其中max（deg（Pn），deg（Qn））=n≥2，μ=（μ1，μ2，···，μm）∈Rm，0≤|δ|?1.當(dāng)δ=0時(shí)，由于非線性項(xiàng)的影響，系統(tǒng)（1.1）以原點(diǎn)為中心或細(xì)焦點(diǎn).如何區(qū)分稱為中心焦點(diǎn)判定問(wèn)題？

其中vk（μ）稱為系統(tǒng)在原點(diǎn)的第k階焦點(diǎn)量.

一方面，當(dāng)多項(xiàng)式系統(tǒng)在原點(diǎn)處的各階焦點(diǎn)量都為零時(shí)，系統(tǒng)以該點(diǎn)為中心；另一方面由Hilbert有限基定理，所有焦點(diǎn)量生成的有理數(shù)域上的多項(xiàng)式理想是有限生成的，因此中心焦點(diǎn)問(wèn)題可在有限步內(nèi)解決.為了獲得系統(tǒng)（1.1）具有中心的充要條件，首先需要計(jì)算系統(tǒng)（1.1）的前面各階非零焦點(diǎn)量并對(duì)它們進(jìn)行零點(diǎn)分解，從而得到中心的必要條件；然后利用首次積分、形式首次積分、積分因子、時(shí)間可逆性等方法證明所得條件都是充分的.

Bautin解決了二次系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)判定問(wèn)題；Sibirskii解決了一類Z2對(duì)稱三次系統(tǒng)的中心判定問(wèn)題；Sadovskii等［1］利用Cherkas方法解決了一類可約化為L(zhǎng)i′enard系統(tǒng)的三次系統(tǒng)的中心判定問(wèn)題；然而對(duì)于一般三次系統(tǒng)以及三次以上系統(tǒng)，目前還沒有徹底的結(jié)論.

近二十多年以來(lái)出現(xiàn)了很多焦點(diǎn)量算法，比如借助奇點(diǎn)量算法［2，3］、基于偽除的形式冪級(jí)數(shù)法［4］和基于攝動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)形算法［5］.但當(dāng)Pn，Qn為非齊次多項(xiàng)式時(shí)，系統(tǒng)（1.1）的焦點(diǎn)量非常復(fù)雜且難于約化，為此作者［6］基于重新參數(shù)化法給出了焦點(diǎn)量的約化方法.

一般來(lái)講，中心焦點(diǎn)問(wèn)題的最終解決依賴于焦點(diǎn)量的計(jì)算，但當(dāng)計(jì)算量過(guò)大時(shí)，可以通過(guò)增加條件的方法加以解決.例如：劉一戎等［2］定義基本李不變量，給出了廣義對(duì)稱原理；Lloyd等［7］、Cozma［8］以Gr¨obner基為工具，尋找雙線性變換將一類多項(xiàng)式系統(tǒng)化為時(shí)間可逆系統(tǒng)，從而確定中心條件.

設(shè)（δ，μ）=（0，μc）時(shí)，系統(tǒng)（1.1）以原點(diǎn)為M≥1階細(xì)焦點(diǎn)，則當(dāng)參數(shù)（δ，μ）通過(guò)點(diǎn)（0，μc）時(shí)，系統(tǒng)（1.1）從原點(diǎn)分支出的小振幅極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)H0（n）至多為M，其中H0（n）也稱為系統(tǒng)（1.1）在原點(diǎn)處的環(huán)性.

關(guān)于小振幅極限環(huán)的構(gòu)造，一般總是利用焦點(diǎn)量三角化后解出主變?cè)_(dá)到目的；但當(dāng)無(wú)法精確求解主變?cè)獣r(shí)，需要借助陸征一等［9］的實(shí)根分離算法實(shí)現(xiàn)構(gòu)造.

對(duì)三次系統(tǒng)而言，Chen等［10］利用正則鏈理論和三角列分解方法證明了H0（3）≥9；Yu等［11］證明H0（3）≥12，這是目前已知最好的結(jié)果.

引理1.1［12］設(shè)系統(tǒng)（1.1）的前k階焦點(diǎn)量依次為

如果

則對(duì)系統(tǒng)（1.1）δ=0，μ=μc進(jìn)行適當(dāng)?shù)南禂?shù)微擾，相應(yīng)系統(tǒng)在原點(diǎn)可分支出k個(gè)小振幅極限環(huán).

考慮一類具有齊五次項(xiàng)的Z2對(duì)稱系統(tǒng)

Chavarriga等［13］給出其在原點(diǎn)可積的若干充分條件；為了簡(jiǎn)化計(jì)算，F(xiàn)ercec等［14］轉(zhuǎn)而研究相應(yīng)的復(fù)系統(tǒng)，對(duì)四組僅有8個(gè)參數(shù)的特例給出了可積的充分條件；Chavarriga等［15］將中心條件的推導(dǎo)列為公開問(wèn)題.

考慮一類特殊五次系統(tǒng)

下面將給出系統(tǒng)（1.2）以原點(diǎn)為中心的充要條件，并證明其從原點(diǎn)至多可分支出6個(gè)小振幅極限環(huán)，最后給出具有6個(gè)極限環(huán)的實(shí)例.

2　系統(tǒng)）1.2）的中心條件

根據(jù)文［6］的計(jì)算方法，系統(tǒng)（1.2）δ=0的前6階非零約化焦點(diǎn)量（不計(jì)非零常數(shù)因子）為

其中v10，v14分別是五次多項(xiàng)式、七次多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)分別為53項(xiàng)、64項(xiàng).

定理2.1系統(tǒng)（1.2）δ=0以原點(diǎn)為中心的充要條件是下列6組條件之一成立

其中

證必要性：通過(guò)求解多項(xiàng)式集G=｛v2，v4，v6，v8，v10，v14｝，共得到定理中的6組獨(dú)立系數(shù)條件，從而必要性得證.

充分性：當(dāng)條件（i）成立時(shí)，系統(tǒng)（1.2）δ=0的向量場(chǎng)關(guān)于直線

對(duì)稱，因此它以原點(diǎn)為中心.

當(dāng)條件（ii）成立時(shí)，系統(tǒng)（1.2）δ=0以

為積分因子，因此它以原點(diǎn)為中心.

當(dāng)條件（iii）成立時(shí)，系統(tǒng)（1.2）δ=0的向量場(chǎng)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，因此它以原點(diǎn)為中心.

當(dāng)條件（iv）成立時(shí)，系統(tǒng)（1.2）δ=0的向量場(chǎng)關(guān)于直線

對(duì)稱，因此它以原點(diǎn)為中心.

當(dāng)條件（v）成立時(shí)，系統(tǒng)（1.2）δ=0的向量場(chǎng)關(guān)于y軸對(duì)稱，因此它以原點(diǎn)為中心.

當(dāng)條件（vi）成立時(shí)，系統(tǒng)（1.2）δ=0是Hamilton系統(tǒng)，因此它以原點(diǎn)為中心.定理證畢.

由系統(tǒng)（1.2）δ=0的焦點(diǎn)量結(jié)構(gòu)和定理2.1，可得

推論2.1系統(tǒng)（1.2）在原點(diǎn)鄰近至多存在6個(gè)小振幅極限環(huán).

3　系統(tǒng)）1.2）的小振幅極限環(huán)分支

下面總設(shè)a0=1，a3=b0=-1.通過(guò)計(jì)算得到

其中J是十次多項(xiàng)式，長(zhǎng)達(dá)1171項(xiàng).

定理3.1設(shè)系統(tǒng)（1.2）的系數(shù)滿足

則系統(tǒng)以原點(diǎn)為14階細(xì)焦點(diǎn)；對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)南禂?shù)擾動(dòng)，從原點(diǎn)可分支出6個(gè)小振幅極限環(huán).

證在定理的系數(shù)條件下，通過(guò)計(jì)算可得系統(tǒng)（1.2）的前14階焦點(diǎn)量和J依次為

從而滿足引理1.1的條件，故定理得證.

定理3.2假設(shè)系統(tǒng)（1.2）滿足

則當(dāng)0＜|?|?1時(shí)，在原點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)，系統(tǒng)（1.2）恰有6個(gè)小振幅極限環(huán)，其位置分別在圓x2+y2=k2?2附近，k=1，2，···，6.

證當(dāng)0＜|?|?1時(shí)，系統(tǒng)（1.2）的第0階至第14階焦點(diǎn)量依次為

所以系統(tǒng)（1.2）在原點(diǎn)鄰域的擬后繼函數(shù)為

從而由文［3］知系統(tǒng)（1.2）在原點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)恰有6個(gè)小振幅極限環(huán)，其位置分別在圓x2+y2=k2?2附近，k=1，2，···，6.

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CENTER CONDITIONS AND BIFURCATIONS OF LIMIT CYCLES FOR A CLASS OF QUINTIC DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH Z2SYMMETRY

SANG Bo
（School of Mathematical Sciences，Liaocheng University，Liaocheng 252059，China）

In this paper，the center conditions and bifurcations of small amplitude limit cycles for a class of quintic systems with Z2symmetry are investigated.By the computations of the first six focal quantities，the necessary and sufficient conditions for the origin to be center are derived，and the maximal number of small amplitude limit cycles is proved to be 6.Finally，by constructing displacement function，a concrete example of quintic system is proved to have six small amplitude limit cycles around the origin.

quintic system；focal quantity；limit cycle；displacement function

MR（2010）主題分類號(hào)：34C05；34C07O175.12

A

0255-7797（2016）05-1040-07

2014-03-24接收日期：2014-05-12

數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目（11226041）.

桑波（1976-），男，山東肥城，副教授，主要研究方向：常微分方程定性理論和符號(hào)計(jì)算.

2010 MR Subject Classification：34C05；34C07