王賀元

（遼寧工業(yè)大學理學院，遼寧錦州121001）

二維不可壓縮Navier-Stokes方程的七模類Lorenz方程組的動力學行為及其數(shù)值模擬

王賀元

（遼寧工業(yè)大學理學院，遼寧錦州121001）

本文研究了平面不可壓縮的Navier-Stokes方程一個七模類Lorenz方程組的混沌行為問題.利用模式截斷的方法，獲得了一個七模類Lorenz方程組，證明了該方程組吸引子的存在性，并對其全局穩(wěn)定性進行了分析和討論.基于分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)、龐加萊截面、功率譜揭示了系統(tǒng)混沌行為的普適特征，仿真分析了系統(tǒng)動力學行為的演化過程.

Navier-Stokes方程；奇怪吸引子；李雅普諾夫函數(shù)

1　引言

流動現(xiàn)象是自然界及人類生產(chǎn)科研活動中最為常見的一種物理現(xiàn)象，流動穩(wěn)定性是流動現(xiàn)象最為關(guān)鍵的問題.作為流動現(xiàn)象應普遍遵循的Navier-Stokes方程是一種典型的非線性偏微分方程，刻劃著流體的運動規(guī)律，如大氣運動、海洋流動、軸承潤滑、透平機械內(nèi)部流動等，研究它對人們認識和控制湍流至關(guān)重要.1963年美國氣象學家E.Lorenz在研究大氣對流時，首次給出了著名的Lorenz方程［9］.所采用的方法是對Navier-Stokes方程和熱傳導方程進行傅立葉級數(shù)展開，截取級數(shù)的前三項，得到三模的Lorenz系統(tǒng).20世紀后期Valter Franceschini又在此方向上進一步擴展，多次和其他學者合作，將二維正方形區(qū)域T2=［0，2π］×［0，2π］上不可壓縮的Navier-Stokes方程

（其中u為速度場函數(shù)；p為液體之間的壓力；f為外力場函數(shù)，ν為動力粘性系數(shù)）進行傅立葉展開并截取其中的有限項，得出五模和七?；蛘呷我饽５姆蔷€性微分方程組（見文獻［1-4］），討論當雷諾數(shù)變化時方程組解的動力學行為.這種截斷后來被擴展到三維空間，1988 年V.Franceschini，Inglese和Tebaldi在Commun.Mech.Phys.上發(fā)表了三維空間上的有關(guān)Navier-Stokes方程五模截斷的文章［7］；1991年Franceschini和Zanasi在三維空間上對此方程傅立葉展開，進行七模截斷后得到十四個非線性微分方程組成的方程組，隨后又對這個復雜的方程組進行了詳細的討論［3］.國內(nèi)王賀元等人選取不同的截斷模式，并把這方面的研究擴展到磁流體，得到相應類Lorenz方程組并分析了系統(tǒng)的動力學行為［10，11］.Franceschini 在1981年給出的一個七模類Lorenz方程組［1］，討論了這個七模模型定常解的線性穩(wěn)定性，并對分歧行為進行了數(shù)值模擬.本文對此模型的動力學行為進行深入的分析和探討，證明了該模型吸引子的存在性，并討論了其全局穩(wěn)定性，從而在理論上保證了數(shù)值模擬的有效性，并且數(shù)值模擬了分歧和混沌吸引子的發(fā)生過程.

2　七模類Lorenz方程組

下面對二維區(qū)域［0，2π］×［0，2π］上Navier-Stokes方程進行傅立葉展開.即對速度函數(shù)u，外力場函數(shù)f和流體之間的壓力p進行如下傅立葉展開

其中K=（h1，h2）是波向量，K⊥=（h2，-h1），rK=rK（t）為時間t的函數(shù).將（2.1）-（2.3）式代入到方程組（1.1），經(jīng)過一系列運算得到如下形式的微分方程組［1，2］

其中L為波向量集合，并且滿足若K∈L，則-K∈L.文獻［1］取

其中

在ν=1時，分別令K為K1，K2，K3，K4，K5，K6，K7，代入到方程組（2.4）經(jīng)大量計算，利用實條件作代換

為

這里xi=xi（t）（i=1，2，···，7）為譜展開系數(shù).截得了七模非線性微分方程組的形式和Lorenz方程組相似，稱其為類Lorenz系統(tǒng).

3　平衡點及穩(wěn)定性分析

由于系統(tǒng)（2.6）在平衡點處Jacobi矩陣與時間無關(guān)，故李雅普諾夫矩陣的特征指數(shù)就是Jacobi矩陣的特征值的實部［5，6］，它是刻畫吸引子性質(zhì)的重要指標，尤其對混沌吸引子更為重要.下面對類Lorenz方程組（2.6）線性化，然后根據(jù)各個平衡點的李雅普諾夫矩陣的特征指數(shù)的變化來討論平衡點的穩(wěn)定性.令

對F（X，Re）關(guān)于X求導數(shù)得到如下李雅普諾夫矩陣

由F（X，Re）=0求出（2.6）式的平衡點，下面根據(jù)Liapunov矩陣的特征指數(shù)的變化情況討論各平衡點的穩(wěn)定性（具體參見文獻［1］）.

其中σ=±1，此時平衡點（1）變得不穩(wěn)定，兩個新平衡點（2）是穩(wěn)定的.

3）當Re＞R2時，所有平衡點（1），（2）都是不穩(wěn)定的.

4　吸引子的存在性和全局穩(wěn)定性分析

耗散動力系統(tǒng)的混沌行為是由于存在著一個復雜的吸引子而引起的［8］，而這個吸引子就是系統(tǒng)的所有軌道當時間趨于無窮時收斂到的集合，可能是一個分形或康托集或康托集和一個區(qū)間的乘積.很自然地這個“吸引子”就成為數(shù)學上用來描述觀察到的不穩(wěn)定流的對象，它的復雜結(jié)構(gòu)就是導致觀察到的混沌現(xiàn)象的原因.因此，研究吸引子的存在性和數(shù)值模擬就成為一個重要的問題.下面就來證明系統(tǒng)（2.6）的吸引子存在性.

取H=R7，u（t）=（x1，...，x7），對Navier-Stokes方程的七模類Lorenz方程組（2.6）作如下運算

得

因此有

因此有

故有

非線性系統(tǒng)具有全局穩(wěn)定性時，其軌線所收斂的單連通閉區(qū)域稱為系統(tǒng)的捕捉區(qū).只要能證明捕捉區(qū)的存在，不論其中的定常解是否穩(wěn)定，系統(tǒng)均具有全局穩(wěn)定性.而研究系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性主要借助于李雅普諾夫函數(shù)方法［5，6］.李雅普諾夫函數(shù)方法的基本思想是構(gòu)造一個函數(shù)，然后利用它的性質(zhì)和這個函數(shù)沿方程（2.6）的軌線方向的全導數(shù)的性質(zhì)以確定（2.6）式平衡點的穩(wěn)定性，以確定系統(tǒng)的捕捉區(qū).

對系統(tǒng)（2.6）構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為令V（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）=K，很明顯，當K是一正常數(shù)時，上式表示H上的一球面，記為E.求V的導數(shù)，并利用（2.6）式

于是若把K取得充分大，E即可包圍C.這樣從式（4.1）式可知在C外面＜0，由李雅普諾夫定理［5］的分析得知E外（2.6）式的解軌線都將進入E內(nèi).可見E就是類Lorenz系統(tǒng)（2.6）的捕捉區(qū).雖然這時系統(tǒng)平衡點（1），（2）都不穩(wěn)定，但系統(tǒng)仍具有全局穩(wěn)定性：系統(tǒng)最終要收縮到捕捉區(qū)內(nèi)，而區(qū)內(nèi)又無收點，因此系統(tǒng)只能在區(qū)內(nèi)不停的振蕩.于是軌線最終要在捕捉區(qū)內(nèi)形成一個不變集合，這就是所謂的吸引子.人們稱混沌運動這種具有獨特性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的吸引子為奇怪吸引子.它是整體穩(wěn)定性和局部不穩(wěn)定性一對矛盾的結(jié)合體.其具體形式如何呢？下面就來數(shù)值模擬系統(tǒng)（2.6）的奇怪吸引子.

5　數(shù)值模擬

隨著雷諾數(shù)的增大，Lorenz方程組（2.6）的穩(wěn)定性發(fā)生了變化，出現(xiàn)了Hopf分岔和混沌等非線性現(xiàn)象.下面就來詳細數(shù)值模擬系統(tǒng)（2.6）從分岔到混沌的全過程.

1）當Re＜R2=30.2123時，系統(tǒng)（2.6）的新平衡點是穩(wěn)定的，解軌線為螺旋線（如圖1，2）.

圖1：Re=15.60

圖2：Re=20.04

2）通過數(shù)值計算得方程組（2.6）在Re=R2時平衡點p±處的李雅普諾夫矩陣的一對復共軛特征值穿越虛軸，其實部由負變正，因而系統(tǒng)（2.6）發(fā)生了Hopf分岔.從不穩(wěn)定平衡點p±分叉出閉軌線.如圖3-6.

圖3：Re=30.2122

圖4：Re=30.2124

圖5：Re=30.2123

圖6：Re=30.2123

3）當Re=71.31時，平衡點p±處分叉出閉軌線開始不穩(wěn)定，分叉處環(huán)面，如圖7，8.

4）當Re進一步增大時出現(xiàn)了滯后現(xiàn)象（各種吸引子共存），如圖9-13.當Re=248.23時系統(tǒng)發(fā)生混沌，出現(xiàn)奇怪吸引子，如下圖14-16分別給出了不同雷諾數(shù)時奇怪吸引子的大體狀態(tài).通過數(shù)值計算表明系統(tǒng)在高雷諾數(shù)下一直是混沌狀態(tài)，這與文獻［1］的結(jié)論是一致的.

圖7：Re=71.4

圖8：Re=72.0

圖9：Re=72.5

圖10：Re=73.8

圖11：Re=202.4

圖12：Re=220.54

圖13：Re=230.24

圖14：Re=248.23

圖15：Re=249.44

圖16：Re=255.64

圖17：分叉圖

圖18：最大李雅普諾夫指數(shù)

5）圖17，18分別給出了系統(tǒng)分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù)，從分岔圖17表明：當Re＜71.31時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，當Re=71.31時，系統(tǒng)開始不穩(wěn)定，分叉處環(huán)面，之后系統(tǒng)出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，當Re=248.23時系統(tǒng)發(fā)生混沌，出現(xiàn)奇怪吸引子，算到Re=1000系統(tǒng)始終是混沌狀態(tài)，在高雷諾數(shù)下系統(tǒng)處于湍流狀態(tài)，這一點也與lorenz系統(tǒng)有明顯的區(qū)別.圖18中給出的最大李雅普諾夫指數(shù)與分岔圖17是相符的.

6）圖19給出了系統(tǒng)的龐加萊截面（Re=252.41），圖20給出了系統(tǒng)的功率譜（Re= 255.24），它們均表明了系統(tǒng)的混沌運動特征.

圖19：Re=252.41

圖20：Re=255.24

6　結(jié)論

本文首先給出了七模類Lorenz方程組的推導過程，對此方程組線性化穩(wěn)定性分析進行了簡單介紹.然后證明了此方程組全局吸引子的存在性，并對其全局穩(wěn)定性進行了分析和討論，最后數(shù)值模擬了雷諾數(shù)變化時系統(tǒng)經(jīng)由不變環(huán)面的失穩(wěn)到達混沌的過程，運用分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)、龐加萊截面和功率譜揭示了系統(tǒng)混沌行為的普適特征.

［1］Valter Franceschini，Claudio Tebaldi.A seven-modes truncation of the plane incompressible Navier-Stokes equations［J］.J.Stat.Phys.，1981，25（3）：397-417.

［2］Carlo Boldrighini，Valter Franceschini.A five-dimensional truncation of the plane incompressible Navier-Stokes equations［J］.Commun.Math.Phys.，1979，64：159-170.

［3］Franceschini V，Zanasi R.Three-dimensional Navier-Stokes equations trancated on a torus［J］.Nonl.，1992，4：189-209.

［4］Valter Franceschini，Claudio Tebaldi.Breaking and disappearance of tori［J］.Commun.Math.Phys.，1984，94：317-329.

［5］劉秉正，彭建華.非線性動力學［M］.北京：高等教育出版社，2004，406-415.

［6］謝應齊.非線性動力學數(shù)學方法［M］.北京：氣象出版社，2001，9-17.

［7］Franceschini V，Inglese G，Tebaldi C.A five-mode truncation of the Navier-Stokes equations on a three-dimensional torus［J］.Commun.Mech.Phys，1988，64：35-40.

［8］Chorin A，Marsden J，Smtle S.Mubalence seminar lecture notes in mathematics［M］.Berlin：Springer-Verlag，1988.

［9］Hilborn R C.Chaos and nonlinear dynamics［M］.Oxford：Oxford Univ.Press，1994．

［10］王賀元，姜悅嶺，平面不可壓縮Navier-Stokes方程新五模類Lorenz方程組的混沌行為［J］.數(shù)學雜志，2010，30（2）：269-272.

［11］高焱，磁流體動力學截斷方程組的動力學行為研究［J］.數(shù)學雜志，2013，33（4）：671-678.

［12］李開泰，馬逸塵.數(shù)理方程HILBERT空間方法（下）［M］.西安：西安交通大學出版社，1992.

THE DYNAMICAL BEHAVIOR AND THE NUMERICAL SIMULATION OF THE SEVEN-MODE TRUNCATION SYSTEM OF THE PLANE INCOMPRESSIBLE NAVIER-STOKES EQUATIONS

WANG He-yuan
（School of Sciences，Liaoning University of Technology，Jinzhou 121001，China）

The chaotic behavior of seven-mode Lorenz-like system for the plane incompressible Navier-Stokes equations is studied.By mode truncation，a seven-mode Lorenz equations is obtained.The existence of the attractor of the equations is proved，and the global stability of the equations is discussed.Based on numerical simulation results of bifurcation diagram，Lyapunov exponent spectrum，Poincare section and power spectrum of the system，general features of the system are revealed.The whole process，which shows a chaos behavior with the changing of Reynolds number，is simulated numerically.

Navier-Stokes equations；strange attractor；Liapunov function

MR（2010）主題分類號：65P20；65P40O175.14；O241.81

A

0255-7797（2016）05-1067-10

2014-07-13接收日期：2014-12-18

遼寧省教育廳科研基金（L2013248）；錦州市科學技術(shù)基金（13A1D32）資助；國家自然科學基金（11572146）.

王賀元（1963-），男，遼寧黑山，教授，主要研究方向：非線性系統(tǒng)的動力學行為及仿真.

2010 MR Subject Classification：65P20；65P40