張小紅，俞梁華

（江西理工大學(xué)信息學(xué)院，江西贛州341000）

變參數(shù)細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階可切換多元電路設(shè)計及仿真

張小紅，俞梁華

（江西理工大學(xué)信息學(xué)院，江西贛州341000）

構(gòu)建新的整數(shù)階三維細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，通過對其非線性動力學(xué)分析、數(shù)值計算與電路仿真，驗(yàn)證了該系統(tǒng)混沌吸引子的存在性及物理上的可實(shí)現(xiàn)性.同時通過調(diào)節(jié)線性參數(shù)b，研究了新的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在基于分?jǐn)?shù)階qi（i=1，2，3）不同組合條件下所表現(xiàn)出的混沌特性.結(jié)合分?jǐn)?shù)階電路理論分析分?jǐn)?shù)階電路中各單元電路形式，并設(shè)計了相應(yīng)參數(shù)b可變、階數(shù)值qi可切換的分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路系統(tǒng).經(jīng)統(tǒng)計本設(shè)計可實(shí)現(xiàn)13824種多元組合電路，并選取具有代表性組合電路進(jìn)行電路仿真.仿真結(jié)果表明，多元電路仿真和數(shù)值仿真具有相似的混沌相圖，從而證實(shí)了細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在分?jǐn)?shù)階條件下仍表現(xiàn)出豐富的動力學(xué)特性，具有靈活實(shí)用價值和現(xiàn)實(shí)推廣意義.

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；分?jǐn)?shù)階電路；混沌吸引子；電路仿真；可切換電路

1 引言

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Cellular Neural Networks，CNN）是一種具有強(qiáng)實(shí)時性和連續(xù)時間動力學(xué)性質(zhì)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，局部連接性質(zhì)簡單易于超大規(guī)模電路（VLSI）實(shí)現(xiàn)，可產(chǎn)生非線性動力學(xué)混沌現(xiàn)象甚至超混沌復(fù)雜行為. 自1988年Chua和Yang提出細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論［1，2］以來，CNN在預(yù)測學(xué)、圖像處理、模式識別、保密通信、邏輯陣列計算機(jī)的構(gòu)建等方面已經(jīng)取得了巨大的發(fā)展［3，4］，具有廣泛的應(yīng)用前景和工程實(shí)踐價值［5，6］.

分?jǐn)?shù)階微積分是研究任意階次的微分、積分算子特性及應(yīng)用的數(shù)學(xué)問題，是整數(shù)階微積分概念的延伸和拓展［7］.近年來分?jǐn)?shù)階非線性動力學(xué)系統(tǒng)中存在的混沌現(xiàn)象也引起了人們的廣泛興趣［8］，通過對Chua混沌電路、Lorenz混沌系統(tǒng)以及 Chen和超混沌系統(tǒng)等的研究過程發(fā)現(xiàn)，對于整數(shù)階的混沌系統(tǒng)，當(dāng)階數(shù)為分?jǐn)?shù)時，系統(tǒng)存在更豐富的動力學(xué)特性［9，10］.利用分?jǐn)?shù)階微積分算子更能準(zhǔn)確地描述現(xiàn)實(shí)世界的各種動力學(xué)特性和系統(tǒng)的實(shí)際物理現(xiàn)象.因此，對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究具有重要的理論研究價值.

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究至今為止大部分都是建立在整數(shù)階的條件下，而對于其在分?jǐn)?shù)階條件下所表現(xiàn)出的混沌特性的研究卻鮮有報道［11，12］.本文就分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌特性展開較系統(tǒng)的研究，在構(gòu)建一個簡單三維整數(shù)階CNN系統(tǒng)基礎(chǔ)上，通過理論分析、數(shù)值仿真及電路仿真，驗(yàn)證了該整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)混沌特性的存在性和物理可實(shí)現(xiàn)性，并發(fā)現(xiàn)改變線性參數(shù)b系統(tǒng)仍舊能夠產(chǎn)生混沌吸引子現(xiàn)象.利用Multisim軟件實(shí)現(xiàn)了階數(shù)值qi可靈活切換，線性參數(shù)b可調(diào)節(jié)的分?jǐn)?shù)階CNN多元電路，電路仿真結(jié)果與數(shù)值計算具有相似的吸引子圖，從而證實(shí)了本設(shè)計理論方法的正確性和現(xiàn)實(shí)可行性.

2 CNN系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及狀態(tài)方程描述

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本單元電路稱作一個細(xì)胞，它由線性與非線性電路元件組成，其電路原理圖如圖1（b）所示［13］.一個細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是由相鄰細(xì)胞元之間相互連接而成，圖1（a）所示即為一種簡單的連接方式.

C（i，j）表示第 i行、第 j列的神經(jīng)元，它只同周圍 r范圍內(nèi)的神經(jīng)元相連，而同其它的神經(jīng)元不連接.若用Nr（i，j）表示C（i，j）神經(jīng)元和鄰近其它神經(jīng)元的集合，在一個m×n的二維神經(jīng)元排列空間內(nèi)，CNN網(wǎng)絡(luò)的連接關(guān)系可以表示為［14］：

其中1≤k≤m；1≤l≤n，r為正整數(shù).

CNN中每個神經(jīng)元細(xì)胞的狀態(tài)可以用方程（1）來描述：

式中xij是第（i，j）個細(xì)胞的狀態(tài)變量；I表示網(wǎng)絡(luò)的外部輸出；ukl（t）表示第（i，j）個細(xì)胞相應(yīng)的輸入電壓；yu（t）是第（i，j）個細(xì)胞相應(yīng)的輸出，其輸出函數(shù)f（xij）是一個分段線性函數(shù)，其表達(dá)式為：

為了方便起見，本文引入簡化的推廣CNN細(xì)胞模型，由以下無量綱的非線性狀態(tài)方程描述：

其中，j為細(xì)胞標(biāo)號，aj為常數(shù)，f（xj）為狀態(tài)xj的輸出，Go和Gs分別表示鄰近連接細(xì)胞之間的狀態(tài)變量和對應(yīng)輸出的線性組合，~Ij為門限值.

3 整數(shù)階CNN構(gòu)建、分析及電路仿真

3.1CNN系統(tǒng)模型構(gòu)建

將式（3）中細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)推廣動態(tài)模型狀態(tài)方程展開，并取j=1，2，3得到本文研究的傳統(tǒng)三階細(xì)胞CNN模型的狀態(tài)方程，其描述如下：

式中xj是第j個細(xì)胞的狀態(tài)變量，f（xj）是第j個細(xì)胞相應(yīng)的輸出.

令系數(shù)矩陣

當(dāng)初始值為x1（0）=0.1，x2（0）=0.2，x3（0）= 0.2，步長h=0.01時，對系統(tǒng)（5）所描述的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)值仿真，得到二維吸引子相圖如圖2所示.

從圖2中可以看出，通過具體設(shè)定參數(shù)與初始值，系統(tǒng)（4）所描述的整數(shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生了雙渦旋混沌奇異吸引子，因此定性的證實(shí)了該CNN系統(tǒng)中產(chǎn)生了混沌現(xiàn)象.

數(shù)值仿真求得系統(tǒng) （4）的Lyapunov指數(shù)為（3.8651，-0.9996，-1.3355），其最大的Lyapunov指數(shù)大于 零，并 且系 統(tǒng)的Lyapunov維 數(shù)因此從理論上定量證明了該CNN系統(tǒng)中產(chǎn)生了混沌現(xiàn)象.

3.2CNN系統(tǒng)動力學(xué)特性理論分析

對于系統(tǒng)（5），由于

當(dāng)S11=-2.43，S22=0，S33=1時，有▽V＜0，因此系統(tǒng)（5）是一個耗散系統(tǒng)，且以式（8）指數(shù)形式收斂：

即當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)軌線會以指數(shù)率▽V收縮到零，所有的系統(tǒng)軌線最終將會被限制在吸引子上，這樣說明了系統(tǒng)吸引子的存在性.

令系統(tǒng)（5）中的每個微分方程右邊都等于零，即

對系統(tǒng)（5）進(jìn)行線性化處理，得到系統(tǒng)的Jacobi矩陣為：

由于非線性函數(shù)f（xi）的作用，對系統(tǒng)（5）的Jacobi矩陣求解應(yīng)分組討論，按照數(shù)學(xué)組合公式可得組合數(shù)為并對其進(jìn)行分類可得如表1所示.其中“+”表示 xi≥1，“-”表示 xi≤ -1，“0”表示

對于區(qū)域Ⅰ內(nèi)不難求得其平衡點(diǎn)為（0，0，0），Jacobi矩陣為

表1　f·（x1），f·（x2）取值分布

將參數(shù)值矩陣（6）代入得：

由于特征值λ2、λ3的實(shí)部為負(fù)實(shí)數(shù)，而λ1為正實(shí)數(shù)，這就意味著在（0，0，0）點(diǎn)是一個不穩(wěn)定的且為三維空間內(nèi)的一個鞍點(diǎn)，其不穩(wěn)定性也導(dǎo)致了可能會產(chǎn)生混沌的特性.

同理也可求得其他的區(qū)域編號內(nèi)的平衡點(diǎn)及特征值，如表2所示.該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)，滿足Shilnikov定理［15］，即對于三階自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)的特征值γ和σ±ωj，若滿足γσ＜0且|γ|＞|σ|，則系統(tǒng)的矢量場滿足產(chǎn)生混沌的鞍焦點(diǎn)條件，從而在理論上證明了系統(tǒng)（5）存在混沌特性的可能性.

表2　各區(qū)域平衡點(diǎn)的特征值及其平衡點(diǎn)類型

3.3線性參數(shù)S22對系統(tǒng)的影響

在一個動力學(xué)系統(tǒng)中隨著系統(tǒng)參數(shù)值的變化，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性也會發(fā)生相應(yīng)的變化，從而會使系統(tǒng)處于不同的狀態(tài).對于這種變化一般可以用Lyapunov指數(shù)譜圖（圖3）和分岔圖（圖4）直觀的表示出來.對于本文中的CNN系統(tǒng)（5），我們僅隨機(jī)選擇系統(tǒng)中的線性參數(shù)值S22來分析其對系統(tǒng)的影響，若選擇其它線性參數(shù)也會得到類似的結(jié)論.

S22-x1分岔圖如圖4所示，從圖中可以看出系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為隨著S22的變化而不斷改變.

3.4整數(shù)階CNN電路仿真

整數(shù)階電路采用線性電阻、線性電容、運(yùn)算放大器來實(shí)現(xiàn).運(yùn)算放大器采用 LM741來進(jìn)行電路的加減運(yùn)算.而對于非線性函數(shù)則用放大器TL082CD在 ±18V條件下來實(shí)現(xiàn)，放大電路的輸出端不能直接實(shí)現(xiàn) f（x）而是實(shí)現(xiàn)uout=-f（x），其具體的實(shí)現(xiàn)電路及仿真結(jié)果如圖5所示.

參數(shù)變化的控制模塊主要由滑動變阻器和單刀雙擲開關(guān)組成，其主要目的是為了實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階時對線性參數(shù)b的調(diào)節(jié)，端口1和2分別對應(yīng)輸出x2和-x2.圖中滑動變阻器選取最大值為Rm1=500kΩ，Rm2=10kΩ，電路原理圖如圖6所示.

依照系統(tǒng)（5）數(shù)學(xué)模型設(shè)計的電路原理圖及其仿真結(jié)果如圖7所示，電路圖中各元器件的值為Rf1=Rf2=Rf3=100kΩ，R1=R2=R3=R4=R5=R6=R7=R8= R9=Ra=Rb=10kΩ，R11=29.1kΩ，R12=9.3kΩ，R13= 11kΩ，R14=66.7kΩ，R21=100kΩ，R22=50kΩ，R23= 100kΩ，R31=6.67kΩ，R32=50kΩ，C1=C2=C3=33nF.

將Multisim仿真結(jié)果與Matlab數(shù)值仿真結(jié)果比較不難發(fā)現(xiàn)其波形十分吻合，因此電路仿真結(jié)果是有效的，從而也驗(yàn)證了該混沌系統(tǒng)電路是可以物理實(shí)現(xiàn)的.

4 分?jǐn)?shù)階CNN仿真分析

4.1分?jǐn)?shù)階微積分的定義

在分?jǐn)?shù)階微積分理論發(fā)展過程中，共有若干種定義，但是最常用的是Riemann-Liouville定義的分?jǐn)?shù)階微積分，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下［16］：

式中的Γ（·）為Gamma函數(shù)，n-1≤q≤n，q為分?jǐn)?shù)，n為整數(shù)，該式子的Laplace變換表達(dá)式為：

若函數(shù)f（t）的初始條件為零，則式（14）可表示為：

對于一個動力學(xué)系統(tǒng)其對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分方程可以表示成：

其中F（x，y）為系統(tǒng)輸入，G（x，y）為系統(tǒng)輸出，假設(shè)它們均滿足初始值為0的條件.對其做Laplace變換，可以得到分?jǐn)?shù)階微分方程的傳遞函數(shù)為：

從式（15）中不難看出可以在頻域中用傳遞函數(shù)H（s）=1/sq來表示分?jǐn)?shù)階微分算子q，因此工程中常常采用時域-復(fù)頻域轉(zhuǎn)換法來求解分?jǐn)?shù)階微分方程.本文3.1節(jié)通過仿真證實(shí)了傳統(tǒng)的整數(shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（5）能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)值分別為q1，q2，q3（0＜q1，q2，q3＜1）時，系統(tǒng)（5）變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)：

當(dāng)q1=q2=q3=1時退化為整數(shù)階系統(tǒng)（5）.依據(jù)Charef，Hartley等研究者所提出的分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值解法［17］可知：當(dāng)q1，q2，q3取值不同時，標(biāo)準(zhǔn)整數(shù)階算子逐漸逼近分?jǐn)?shù)階算子的方式也不同，如表 3所示.

表3　整數(shù)階逼近分?jǐn)?shù)階算子公式

4.2分?jǐn)?shù)階CNN數(shù)值仿真

將參數(shù)值矩陣（6）代入式（18）中，并令b=S22-1，則系統(tǒng)（18）變?yōu)?/p>

經(jīng)過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)對應(yīng)不同的階數(shù)值q1，q2，q3，當(dāng)改變系統(tǒng)（19）中的參數(shù)b時仍會表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象.數(shù)值仿真結(jié)果如表4所示（由于篇幅有限故只選取幾項(xiàng)進(jìn)行說明）.

從表4中不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)分?jǐn)?shù)階CNN取不同的階數(shù)值q1，q2，q3時，只要能夠選取不同的參數(shù)值 b，就能夠產(chǎn)生與整數(shù)階CNN系統(tǒng)相似的混沌吸引子.

4.3分?jǐn)?shù)階電路單元

分?jǐn)?shù)階電路的電路單元有四種［18～20］，分別為鏈型、樹型、混合型及新型.每種單元的電路結(jié)構(gòu)如表5所示.

表5單元電路中的n為A和B之間的等效電路復(fù)頻域表達(dá)式H（s）展開式中分母s的最高階.以鏈型單元中q=0.95為例，A和B之間的等效電路復(fù)頻域表達(dá)式為：

對應(yīng)的表3可知n=3，則

同理可求得其他類型單元電路在q=0.95時的復(fù)頻域表達(dá)式，見表5.

通過對式（21）做基本的數(shù)學(xué)變形并與表3進(jìn)行比較，通過比較可計算出各元件的參數(shù)值為R1=15.1kΩ，R2=1.51MΩ，R3=692.9MΩ；C1=3.616μF，C2= 4.602μF，C3=1.267μF.同理可得各個單元電路在不同q值（0.95、0.90、0.80）時各個元器件的參數(shù)值，如表6所示，其在“-”表示無元器件.

表6　分?jǐn)?shù)階各單元電路元件參數(shù)

4.4分?jǐn)?shù)階CNN電路仿真

4.4.1總體電路框圖設(shè)計

在整數(shù)階CNN系統(tǒng)電路原理圖（圖7（a））中引入分?jǐn)?shù)階電路單元，通過調(diào)節(jié)參數(shù)b來實(shí)現(xiàn)各階值產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，總體電路設(shè)計原理圖如圖8所示.

電路圖8中的TOTAL模塊即為CNN整數(shù)階電路（圖7），電路圖中的電容器件C1、C2、C3由分?jǐn)?shù)階單元電路替換，LINExx，TREExx，MIXxx和NEWxx模塊分別表示不同的分?jǐn)?shù)階電路單元（分別對應(yīng)表5中鏈型、樹型、混合型及新型，xx表示q值大?。瑢?shí)驗(yàn)時通過開關(guān)的閉合來控制q1，q2，q3的值.

4.4.2分?jǐn)?shù)階CNN多元電路仿真

對于一個特定的三維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，當(dāng)階值q1，q2，q3分別取電路可實(shí)現(xiàn)階數(shù)｛0.7，0.75，0.8，0.85，0.9，0.95｝中任意值時，由組合數(shù)學(xué)排列原理可知共有組合方式種.由于對每一階數(shù)值（q1，q2，q3）均有鏈型、樹型、混合型和新型4種電路單元選擇.所以對于任何一個三維的系統(tǒng)其電路單元設(shè)計的組合數(shù)有種.所以對于該三維的分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)其組合電路方式共有216×64=13824種.而對于每一種組合方式通過調(diào)節(jié)滑動變阻器改變線性參數(shù)b時，系統(tǒng)的混沌特性會出現(xiàn)相應(yīng)的變化，使得系統(tǒng)的實(shí)際電路種數(shù)不可估量.因此對于該分?jǐn)?shù)階的系統(tǒng)其混沌特性更豐富.

為了簡化設(shè)計而不失一般性，本文從三個階值全部相同、不全相同和全部不同中各選擇一組，所選擇的階值組合為q1=q2=q3=0.95，q1=q2=0.95，q3=0.9 和q1=0.95，q2=0.9，q3=0.8.仿真實(shí)驗(yàn)開關(guān)設(shè)置及實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表7所示.

5 結(jié)論

研究了一個新的三維細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)及其在不同分?jǐn)?shù)階qi組合下的混沌動力學(xué)特性.理論分析和數(shù)值計算結(jié)果表明，所構(gòu)建的新的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在整數(shù)階及分?jǐn)?shù)階下不僅均能產(chǎn)生復(fù)雜的混沌動力學(xué)行為，而且具有一定的拓?fù)湫?同時結(jié)合分?jǐn)?shù)階電路理論與多元組合電路思想，設(shè)計出參數(shù)可控的CNN可切換階值的電路原理圖.仿真結(jié)果表明電路仿真與數(shù)值仿真具有相似的混沌吸引子相圖，驗(yàn)證了該系統(tǒng)理論分析的正確性及實(shí)際物理上的可實(shí)現(xiàn)性，該設(shè)計方法具有一定的普適性和實(shí)用推廣性.

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張小紅 女，1966年8月出生，河北昌黎人.現(xiàn)為江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院教授、博士、碩士生導(dǎo)師.研究方向?yàn)闊o線傳感器網(wǎng)絡(luò)、非線性動力學(xué)理論、混沌保密通信.

E-mail：xiaohongzh@263.net

俞梁華 男，1989年2月出生，江西上饒人.2013年在江西理工大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為江西理工大學(xué)碩士研究生.主要從事細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面的研究工作.

Multi-Element Circuit Simulation of Alterable Parameters and Switchable Fractional-Order Cellular Neural Networks

ZHANG Xiao-hong，YU Liang-hua

（Jiangxi University of Science and Technology Information Institute，Ganzhou，Jiangxi 341000，China）

Designed a new integer-order and three-dimensional cellular neural networks system.Through nonlinear dynamics analysis，numerical calculation and circuit simulation，the existence of chaotic attractor and realizability in physical about the system were verified.At the same time，studied the system’s chaotic characteristics under the conditions of different combination about fractional order qi（i=1，2，3），by adjusting the linear parameter b.According to the theoretical analysis of each unit circuit of fractional-order circuit，designed a corresponding fractional order cellular neural networks system，which has variable parameter b and switchable qi.Statically，the design can realize 13824 kinds of multiple combination circuits.This paper selects several representative combinational circuits for circuit simulation.The simulation results show that multiple circuit simulation and numerical simulation have similar chaos phase diagram，which confirmed the system still has rich dynamic characteristics under the condition of the fractional-order，also has flexible application value and realistic significance.

cellular neural networks；fractional-order circuit；chaotic attractor；circuit simulation；switchable circuit

TP391.9/O415.5

A

0372-2112（2016）04-0933-11

電子學(xué)報URL：http：//www.ejournal.org.cn 10.3969/j.issn.0372-2112.2016.04.026

2014-09-16；

2015-03-14；責(zé)任編輯：孫瑤

國家自然科學(xué)基金（No.61363076，No.11062002）；江西省自然科學(xué)基金（No.20142BAB207020）；江西省教育廳科技項(xiàng)目（No.GJJ14465，No.GJJ14439）；江西省研究生創(chuàng)新專項(xiàng)資金（No.YC2014-S368）