林琳，馮曉梅

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具有斑塊結(jié)構(gòu)的捕食-食餌系統(tǒng)的最優(yōu)捕獲

林琳1，馮曉梅2

（1. 運(yùn)城農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，山西 運(yùn)城 044000；2. 運(yùn)城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運(yùn)城 044000）

研究了一類具有斑塊結(jié)構(gòu)的Lotka-Volterra型捕食-食餌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，討論了該系統(tǒng)生態(tài)經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)的存在性，為了使得利益最大化，通過(guò)應(yīng)用Pantryagin最大值原理給出了最優(yōu)的捕獲策略．

斑塊結(jié)構(gòu)；捕食者-食餌系統(tǒng)；生態(tài)經(jīng)濟(jì)平衡態(tài)；最優(yōu)捕獲

在大自然的生存環(huán)境中，許多自然現(xiàn)象對(duì)物種的生存和發(fā)展起著至關(guān)重要的作用．為了有效地發(fā)揮有利要素的作用，防止有害要素的影響，有必要研究處于善變環(huán)境中的自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型．近年來(lái)，不少學(xué)者對(duì)空間分散行為的多種方式進(jìn)行了研究，同時(shí)探討了不同空間分散行為對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響，特別是對(duì)在斑塊環(huán)境中擴(kuò)散的種群模型的研究也取得了突飛猛進(jìn)的進(jìn)展[1-4]．文獻(xiàn)[5]以Lotka-Volterra模型[6]為基礎(chǔ)，建立了一類具備斑塊結(jié)構(gòu)的2種群食餌-捕食模型，本文在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了更深層次的研究．

1　模型假設(shè)及建立

假定各個(gè)斑塊都是自治的，斑塊1中既有食餌種群又有捕食者種群，斑塊2中僅有有庇護(hù)所效應(yīng)的食餌種群．庇護(hù)所效應(yīng)對(duì)食餌種群可形成一個(gè)保護(hù)性的作用，即在此斑塊中，不允許對(duì)食餌種群進(jìn)行捕撈．同時(shí)假設(shè)食餌種群可以在這２個(gè)斑塊間隨意地遷移．根據(jù)假定，以Lotka-Volterra模型為基礎(chǔ)，建立了模型：

文獻(xiàn)[5]根據(jù)常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[7]對(duì)系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)進(jìn)行了較詳細(xì)的動(dòng)力學(xué)行為分析．本文將討論系統(tǒng)（1）的生態(tài)經(jīng)濟(jì)平衡及其最優(yōu)捕獲策略．

2　生態(tài)經(jīng)濟(jì)平衡

當(dāng)收獲的總收益等于其收獲的總成本時(shí)，也就達(dá)到了其生態(tài)經(jīng)濟(jì)平衡．生態(tài)經(jīng)濟(jì)平衡由給出．設(shè)單位捕獲努力量的成本消耗為常數(shù)，收獲種群的單位價(jià)格也為常數(shù)，則凈收益為

3　最優(yōu)捕獲策略

現(xiàn)實(shí)生活中，人們往往充分利用并開發(fā)生物資源以便捕獲種群所得的經(jīng)濟(jì)利益最大Pantryagin化．應(yīng)用最大值原理[8]尋求一個(gè)最優(yōu)的捕獲努力量，使得長(zhǎng)期資源開發(fā)中得到的已貼現(xiàn)凈經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)

構(gòu)建該最優(yōu)控制問(wèn)題的現(xiàn)值Hamilton函數(shù)[8]

因此，最優(yōu)捕獲策略是

這暗示了，在穩(wěn)定狀態(tài)收獲單位努力的成本等于其將來(lái)邊際利潤(rùn)的貼現(xiàn)值．

此時(shí)，伴隨方程為

由式（8）及式（14），可得到奇異軌線

參考文獻(xiàn)：

[1] Bereta E，Solimano F，Takeuchi Y．Global stability and periodic orbits for two patch predator-prey diffusion-delay models[J]．Math Biosci，1987（85）：153-183

[2] Yang Kuang，Yasuhiro Takeuchi．Predator-prey dynamics in models of prey dispersal in two-patch invironments[J]．Math Biosci， 1994，120：77-98

[3] Freedaman H I，Takeuchi Y．Global stability and predator dynamics in a model of prey dispersal in a patchy environment[J]． Nonlinear Anal TMA，1989（13）：993-1002

[4] 謝旺生，翁佩萱．一類具有斑塊擴(kuò)散與反饋控制的捕食者-食餌模型周期解的存在性[J]．華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué) 版， 2012，44（1）：42-47

[5] 林琳，雒志學(xué)．具有斑塊結(jié)構(gòu)的捕食-食餌系統(tǒng)的研究[J]．溫州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，35（1）：1-5

[6] 陳蘭蓀．?dāng)?shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法[M]．北京：科學(xué)出版社，1988：129-131

[7] 馬知恩，周義倉(cāng)．常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M]．北京：科學(xué)出版社，2001：46-71

[8] Colin W C．MATHEMATICAL BIOECONOMICS[M]．Beijing：Wiley，2010：102-107

The optimal harvesting policy of the predator-prey system with species for prey in patchy environment

LIN Lin1，F(xiàn)ENG Xiao-mei2

（1. Department of Primary Education，Yuncheng Polytechnic College of Agriculture，Yuncheng 044000，China；2. Department of Applied Mathematics，Yuncheng University，Yuncheng 044000，China）

The Lotka-Volterraprey-predator system with two species for prey in patchy environment is considered and their dynamic behavior is investigated．The existence of the economic equilibrium is discussed．By applying the Pantryagin′smaximum principle，an optimal harvesting policy is obtained in order to obtain greater profits ．

patches environment；predator-prey system；economic equilibrium；optimal harvesting

1007-9831（2016）10-0003-05

O175.1∶Q141

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.002

2016-07-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11501498）

林琳（1983-），女，山西運(yùn)城人，講師，碩士，從事生物數(shù)學(xué)研究．E-mail：linlin418@163.com