李晶晶楊寶臣

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一種HJM框架下的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫的新方法

李晶晶1，2，楊寶臣2

（1. 天津科技大學(xué)金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理研究中心，天津 300222；2.天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072）

通過對(duì)HJM框架下隨機(jī)久期測(cè)度與久期匹配免疫策略的研究，指出了當(dāng)前被廣泛研究的應(yīng)用隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法存在的理論缺陷, 并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了新的HJM框架下的隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型及其相應(yīng)的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略，得到了一種理論上更為合理的應(yīng)用隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法。實(shí)證結(jié)果顯示，本文所提出的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法能夠得到較好的免疫效果，能夠體現(xiàn)出隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法在利率風(fēng)險(xiǎn)管理中的優(yōu)越性，在利率風(fēng)險(xiǎn)管理中具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

HJM框架；隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度；利率風(fēng)險(xiǎn)最小化免疫策略；久期匹配免疫策略

0引言

通過建立適當(dāng)?shù)睦曙L(fēng)險(xiǎn)免疫方法來對(duì)暴露在利率風(fēng)險(xiǎn)下的債券進(jìn)行套期保值是投資風(fēng)險(xiǎn)管理中一個(gè)非常重要的問題。自Macaulay[1]引入了久期測(cè)度的概念，并將其作為度量附息債券相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)大小的一個(gè)工具以來，久期已成為利率風(fēng)險(xiǎn)度量和管理中最為重要的概念之一。相應(yīng)的久期匹配免疫策略也成為了利率風(fēng)險(xiǎn)免疫操作中的經(jīng)典方法之一。在其后的研究發(fā)展中，眾多的相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)Macaulay久期測(cè)度模型進(jìn)行了擴(kuò)展和改進(jìn)，如Fisher和Wei[2]、Bierwag等[3]、Prisman和Tian[4]、de La Grandville[5]、朱世武等[6]、張繼強(qiáng)[7]等，但是該類測(cè)度模型都是在利率期限結(jié)構(gòu)在投資期內(nèi)只能發(fā)生一次性瞬時(shí)微小移動(dòng)的理論假設(shè)下建立的，這顯然與現(xiàn)實(shí)不符。針對(duì)傳統(tǒng)久期測(cè)度模型所存在的這一明顯的理論缺陷，Ingersoll，Skelton和Weil[8]、Cox，Ingersoll和Ross[9]、Wu[10]、Au和Thurston[11]、 Munk[12]等多篇文獻(xiàn)基于現(xiàn)代動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)理論框架（CIR和Heath – Jarrow – Morton (HJM)）建立了幾種隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型。將這一類測(cè)度模型與久期匹配免疫策略相結(jié)合使用，開辟了一種新的度量和管理投資中利率風(fēng)險(xiǎn)的重要方法。但是，眾多的模擬及實(shí)證研究結(jié)果（如Ho和Cadle等[13]、Agca[14]、Moraux和Francois[15]等）表明，基于現(xiàn)代動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)理論所建立的諸如Thurston隨機(jī)久期、CIR隨機(jī)久期等類型的利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，并沒有在很大程度上提高利率風(fēng)險(xiǎn)免疫效果。因此，當(dāng)前大多數(shù)針對(duì)固定收益證券利率風(fēng)險(xiǎn)方面的研究，仍然是基于傳統(tǒng)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度進(jìn)行的。這種現(xiàn)象主要是因?yàn)閭鹘y(tǒng)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的計(jì)算模型的同時(shí)，又能夠得到不差于復(fù)雜利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型的免疫效果。相較之下，動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)理論雖然給出了更為符合實(shí)際的理論假設(shè)，但是如何將其合理應(yīng)用于利率風(fēng)險(xiǎn)的度量和管理過程中，仍然是一個(gè)需要不斷進(jìn)行深入探索和嘗試的研究領(lǐng)域。

鑒于此，本文對(duì)動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)HJM框架下應(yīng)用隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的免疫方法進(jìn)行分析研究，在Thurston隨機(jī)久期測(cè)度模型基礎(chǔ)上，通過建立新的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法來提高應(yīng)用隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法的免疫效果。

第二節(jié)首先對(duì)隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度以及被廣泛使用的久期匹配免疫策略中存在的幾點(diǎn)問題進(jìn)行分析，這是本文建立新的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法的依據(jù)和基礎(chǔ)。第三節(jié)具體介紹了新的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法。最后通過實(shí)證比較了該方法與其他利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法的免疫效果優(yōu)劣。

1 現(xiàn)有應(yīng)用隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法存在的問題

本節(jié)所討論的應(yīng)用隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法主要是指包含了基于動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型建立的隨機(jī)久期測(cè)度以及廣泛用于利率風(fēng)險(xiǎn)免疫的久期匹配免疫策略的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法。

1.1 久期匹配免疫策略與隨機(jī)久期測(cè)度的理論一致性問題

Macaulay久期是以附息時(shí)間為權(quán)重對(duì)債券未來發(fā)生的現(xiàn)金流進(jìn)行加權(quán)求和而得到的，是一個(gè)用于衡量無違約、不可贖回債券利率風(fēng)險(xiǎn)的相對(duì)指標(biāo)。Fisher和Weil[2]在此基礎(chǔ)上提出了久期匹配免疫策略模型。由Fisher和Weil[2]對(duì)久期匹配免疫策略模型的推導(dǎo)過程可知，久期匹配免疫策略模型是基于投資期末所得價(jià)值的構(gòu)成公式(1)推導(dǎo)而出的，因此，該策略模型有效的一個(gè)基本條件就是式(1)的成立。而式(1)的成立依賴于這樣的假設(shè)——利率變動(dòng)發(fā)生在投資后瞬間，該變動(dòng)影響了在投資期內(nèi)所有附息值的投資以及在投資期末出售未到期債券的價(jià)格，且所有期限的利率變動(dòng)程度均相同。這個(gè)假設(shè)顯然是與現(xiàn)代動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)對(duì)收益率曲線變化形式的假設(shè)相悖的。當(dāng)應(yīng)用隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度進(jìn)行利率風(fēng)險(xiǎn)度量時(shí)，應(yīng)假設(shè)利率變化的特征完全服從動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型理論，而此時(shí)收益率曲線是基于動(dòng)態(tài)模型刻畫的軌跡不斷運(yùn)動(dòng)的，與傳統(tǒng)久期的假設(shè)條件不同，即式(1)所示的關(guān)系無法成立。因此，傳統(tǒng)的久期匹配免疫策略與隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型的理論假設(shè)是不一致的，將兩者相結(jié)合使用的方法并不完全合理。

1.2 久期匹配免疫策略的有效性問題

HJM模型框架下的利率期限結(jié)構(gòu)與Macaulay久期以及后來針對(duì)收益率曲線的形態(tài)和變化方式進(jìn)行改進(jìn)所得的FW久期、多因子久期等傳統(tǒng)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度所基于的利率期限結(jié)構(gòu)有一個(gè)本質(zhì)的區(qū)別，即HJM理論所假設(shè)的利率曲線是隨時(shí)間不斷變化的，且HJM模型下的隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度所度量的風(fēng)險(xiǎn)也不再是如傳統(tǒng)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度中假設(shè)的利率發(fā)生一個(gè)微小瞬時(shí)移動(dòng)所產(chǎn)生的利率風(fēng)險(xiǎn)，而是由波動(dòng)函數(shù)所刻畫的利率期限結(jié)構(gòu)無預(yù)期隨機(jī)波動(dòng)所產(chǎn)生的利率風(fēng)險(xiǎn)。

這種情況下是無法通過在投資組合中加入足夠多債券的方法，來使得針對(duì)所有可能存在的利率風(fēng)險(xiǎn)至少有一個(gè)債券的價(jià)值不受影響。這是因?yàn)樵诿庖呓M合中，每加入一個(gè)債券，該債券都會(huì)給投資組合帶來若干個(gè)再投資風(fēng)險(xiǎn)以及轉(zhuǎn)售所產(chǎn)生的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)。綜上所述，在假設(shè)實(shí)際利率服從HJM框架下的動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)理論時(shí)，完全免疫策略是無法被建立起來的。此時(shí)，可以考慮建立針對(duì)最糟糕波動(dòng)集合的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略，將無預(yù)期波動(dòng)所帶來的最大可能影響最小化，即建立一種極大極小策略(maximin strategy)。

Bierwag和Khang[17]證明當(dāng)利率平行變化時(shí)久期匹配免疫策略與一個(gè)極大極小策略相一致，此時(shí)所建立的免疫組合能夠保證當(dāng)利率變化最不利于投資收益時(shí)，所得投資終值是在同樣情況下所有可行組合中的最大值，而且只要保證該組合在最糟糕情況下所得的投資終值至少與投資初始時(shí)刻的預(yù)期收益相等，那么就可以建立一個(gè)完全免疫策略組合。Khang[18]在乘性變化等更廣泛的利率變化假設(shè)下也證明了久期匹配免疫與極大極小策略的等價(jià)性。研究表明，當(dāng)完全免疫條件成立時(shí)，免疫組合在利率變化最不利于投資時(shí)所得的最終收益等于期初的預(yù)期值，此時(shí)久期匹配免疫策略與極大極小策略是等價(jià)的。但是，Prisman和Shores[19]、Bowden[20]、Balbás和Ibá?ez[21]等均證明，在更多的情況下，更為合理的波動(dòng)設(shè)定使得這種建立完全免疫策略組合的方法不可行，在這種情況下傳統(tǒng)的久期匹配免疫策略不再是一個(gè)極大極小策略。

由此可見，當(dāng)假設(shè)利率期限結(jié)構(gòu)服從動(dòng)態(tài)隨機(jī)過程理論時(shí)，利率風(fēng)險(xiǎn)的完全免疫是無法成立的，因而傳統(tǒng)的久期匹配免疫策略也就不再是一個(gè)極大極小策略，無法保證債券投資組合受利率風(fēng)險(xiǎn)的影響最小化。

2 HJM框架下的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法

免疫策略與利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度之間的關(guān)系與利率風(fēng)險(xiǎn)免疫的定義以及對(duì)收益率曲線的形態(tài)與變化方式的假設(shè)有關(guān)。因此，為了建立應(yīng)用隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法，應(yīng)該重新推導(dǎo)免疫策略與利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度之間的這種關(guān)系?；趯?duì)第二節(jié)所提問題的分析和考慮，本節(jié)構(gòu)建了一種新的HJM框架下的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法。該方法中對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)的定義與Au和Thurston[11]中對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)的定義相一致，因而采用了與Thurston隨機(jī)久期類似的測(cè)度模型作為利率風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo)；所建立的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略是一個(gè)極大極小策略，可以使得建立的免疫策略在最糟糕波動(dòng)情況集合下所得投資價(jià)值最大化。

為了便于說明，首先基于單因子HJM模型構(gòu)建相應(yīng)的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法，然后基于多因子HJM模型對(duì)該方法進(jìn)行擴(kuò)展。

2.1 基于單因子HJM模型的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法

該利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法的構(gòu)建分為兩個(gè)部分。第一部分是對(duì)隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的構(gòu)建，第二部分是構(gòu)建相應(yīng)的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略模型。

2.1.1 隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度

Au和Thurston[11]將影響債券價(jià)格波動(dòng)的主要利率風(fēng)險(xiǎn)因素設(shè)定為瞬時(shí)即期利率，由隨機(jī)過程的Ito微分理論，推導(dǎo)建立了HJM單因子利率期限結(jié)構(gòu)框架下的隨機(jī)久期風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型(Thurston隨機(jī)久期)。該類隨機(jī)久期測(cè)度雖然與其他隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型相比具有相對(duì)簡(jiǎn)潔的表達(dá)形式，對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)的理論定義也更為明確，但是該測(cè)度在利率風(fēng)險(xiǎn)免疫應(yīng)用中也存在著一定的問題。在利率風(fēng)險(xiǎn)免疫中，Thurston隨機(jī)久期雖然將利率風(fēng)險(xiǎn)的度量與動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型中的波動(dòng)函數(shù)所描述的無預(yù)期變化相聯(lián)系，但是其對(duì)投資中利率風(fēng)險(xiǎn)的度量仍然是基于投資初始時(shí)刻的利率期限結(jié)構(gòu)建立的，因而，僅僅度量了投資初始時(shí)刻瞬間利率的無預(yù)期變化所帶來的利率風(fēng)險(xiǎn)。作為特例，當(dāng)波動(dòng)函數(shù)是一個(gè)常數(shù)時(shí)，所建立的Thurston隨機(jī)久期模型與FW久期相同。這也就意味著此時(shí)所度量的利率風(fēng)險(xiǎn)與FW久期所度量的利率風(fēng)險(xiǎn)類型相同，這也從一方面說明Thurston隨機(jī)久期與傳統(tǒng)久期對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)的定義所具有的一致性。從這種一致性以及隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的免疫效果并不優(yōu)于傳統(tǒng)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的眾多實(shí)證結(jié)果中可以推測(cè)出，Thurston隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度在利率風(fēng)險(xiǎn)度量和管理中可能并沒有比傳統(tǒng)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度更為合理。

鑒于以上原因，為了得到更為合理的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法，首先需要對(duì)基于動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)建立的隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型進(jìn)行重新構(gòu)建。

在假設(shè)HJM模型中的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率及零息債券價(jià)格的動(dòng)態(tài)方程服從馬爾科夫過程的條件下，每一時(shí)刻的瞬時(shí)波動(dòng)都是不相關(guān)的，因此投資中的利率風(fēng)險(xiǎn)源自所選擇建立免疫策略的附息債券其本身的特征。對(duì)于持有一個(gè)附息債券的投資者來說，投資期內(nèi)的利率風(fēng)險(xiǎn)來源于每一次息票再投資以及投資期末的債券出售價(jià)格，因此最糟糕的波動(dòng)集合意味著投資者在每一次息票再投資時(shí)刻都面臨了一次利率向下的瞬時(shí)波動(dòng)，而在最終債券出售時(shí)刻則面臨了一次利率向上的瞬時(shí)波動(dòng)。

由HJM模型及Ito定理，可得到兩部分利率風(fēng)險(xiǎn)的度量公式（式(3)和式(4)）。

(3)

這里需要注意以下兩點(diǎn)：

（1）在式(3)、式(4)中所含有的HJM模型波動(dòng)函數(shù)的參數(shù)均是在投資期初期時(shí)刻由已知數(shù)據(jù)集合求得的，實(shí)際上蘊(yùn)含了一個(gè)假設(shè)條件，即在投資期內(nèi)，用于刻畫債券價(jià)格動(dòng)態(tài)過程的微分方程形式是不變的，若波動(dòng)函數(shù)中不含有隨機(jī)變量，則確定期限利率對(duì)應(yīng)的波動(dòng)函數(shù)值不會(huì)隨著所考慮的計(jì)息開始時(shí)刻的變化而變化。

1)SOM對(duì)天氣模態(tài)分類的量化誤差小于2,平均拓?fù)湔`差小于0.02%,分型質(zhì)量較好。臨近天氣模態(tài)的累積概率分布較相似,距離較遠(yuǎn)的天氣模態(tài)累計(jì)概率分布差異較大。

比較式(3)與式(4)可知，在HJM框架下再投資與出售債券所面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)具有不同的模型形式，因此這兩部分利率風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)該進(jìn)行分別度量。式(5)給出了用于度量再投資風(fēng)險(xiǎn)的久期公式以及度量?jī)r(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的久期公式。

由上文的分析可知，再投資所得價(jià)值與出售債券所得價(jià)值受利率變化的影響方向是相反的，但是，由于這里只考慮了最糟糕波動(dòng)集合的情況，因此在這種情況下所有考慮時(shí)刻的投資其最終收益的變化值方向一致(均為負(fù))。為了使得久期定義更為清晰，式(5)中直接將久期表示為所度量利率風(fēng)險(xiǎn)的絕對(duì)值形式。

對(duì)定義的再投資風(fēng)險(xiǎn)久期和價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)久期進(jìn)行分析，假設(shè)兩個(gè)債券的附息時(shí)刻完全相同，且在投資期末時(shí)刻同時(shí)賣出，則具有較長(zhǎng)剩余期限的債券的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)較大，因而它的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)久期較大。而由于在投資期內(nèi)兩個(gè)債券的附息時(shí)刻完全相同，因而兩個(gè)債券的再投資風(fēng)險(xiǎn)久期相同。

該久期定義式與Thurston隨機(jī)久期的不同之處在于，對(duì)一個(gè)債券的利率風(fēng)險(xiǎn)度量不再僅僅是根據(jù)投資初期的利率期限結(jié)構(gòu)來建立，而是基于通過預(yù)測(cè)得到的每一次再投資時(shí)刻以及最終出售債券時(shí)刻的利率期限結(jié)構(gòu)得到。并且利率風(fēng)險(xiǎn)也不是以期初時(shí)刻債券價(jià)格的變化作為度量依據(jù)，而是直接將投資期末的投資所得終值的變化作為利率風(fēng)險(xiǎn)的度量依據(jù)。

2.1.2 利率風(fēng)險(xiǎn)最小化免疫策略模型

僅僅應(yīng)用上式并不能得到符合投資要求的免疫組合，根據(jù)利率風(fēng)險(xiǎn)免疫理論，利率風(fēng)險(xiǎn)免疫的目的是建立一個(gè)利率風(fēng)險(xiǎn)免疫投資組合，使得其在投資期的期望所得等于一個(gè)期限長(zhǎng)度與投資期長(zhǎng)度相等的純貼現(xiàn)債券在初始時(shí)刻收益率曲線條件下的投資所得，且初始時(shí)刻的投資額等于相應(yīng)純貼 現(xiàn)債券的期初價(jià)值。因此，免疫策略模型中還應(yīng)該加入等式約束條件式(7)、(8)。由此得到基于HJM模型的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫最優(yōu)化模型（式(9)）。

(8)

在HJM框架下，相對(duì)于初始時(shí)刻，每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上利率的變化均由兩部分組成，一部分是利率隨時(shí)間變化而發(fā)生的水平趨勢(shì)漂移，另一部分來源于維納過程所產(chǎn)生的隨機(jī)變化。在式(9)所給出的模型中，通過對(duì)HJM模型的估計(jì)和預(yù)測(cè)，能夠得到在未來進(jìn)行再投資和轉(zhuǎn)售債券時(shí)刻利率的預(yù)測(cè)值，而對(duì)于由波動(dòng)函數(shù)部分所刻畫的利率在每個(gè)瞬時(shí)時(shí)刻的變動(dòng)中的無預(yù)期波動(dòng)變化則通過對(duì)隨機(jī)久期指標(biāo)的最小化加以限制?；谠摲椒ㄋ⒌拿庖卟呗?，不僅如已有的基于隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度建立的久期匹配免疫策略一樣，考慮了利率因素的非預(yù)期變化對(duì)債券價(jià)格的影響，而且還有效利用了隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度所基于的動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)理論對(duì)利率變化特征的相關(guān)假設(shè)，消除了傳統(tǒng)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度中關(guān)于投資期內(nèi)收益率曲線瞬時(shí)一次性變動(dòng)的不合理假設(shè)。

2.2 基于多因子HJM模型的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法

當(dāng)債券投資受到單一風(fēng)險(xiǎn)因素影響時(shí)，只要對(duì)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)得到最優(yōu)化模型即可。當(dāng)所考慮的利率風(fēng)險(xiǎn)因素有多個(gè)時(shí)，例如基于兩因子HJM模型或三因子HJM模型的隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度建立利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略時(shí)，多因子隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型給出了關(guān)于多個(gè)利率風(fēng)險(xiǎn)因素的度量，此時(shí)在建立利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略時(shí)，需要采用多目標(biāo)規(guī)劃方法進(jìn)行模型的建立。以兩因子HJM模型條件下所建立的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略模型為例，在該條件下所建立的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略模型如式(10)所示。在求解中可以采用線性加權(quán)方法，針對(duì)各利率風(fēng)險(xiǎn)因素在利率風(fēng)險(xiǎn)度量中重要性的不同來選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)值條件。

(10)

3 實(shí)證分析

為了對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)最小化免疫方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，本節(jié)選取2002年1月到2011年6月的每月最后交易日的國(guó)債交易數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)樣本數(shù)據(jù)?？疾炝?003年1月至2010年6月之間可交易債券的所有可行免疫組合。

實(shí)證中設(shè)定目標(biāo)債券為到期收益率服從初始收益率曲線的零息債券，期限長(zhǎng)度與所設(shè)定的債券組合投資期相同。假設(shè)無交易費(fèi)用，所有債券的面值均為100元。以相應(yīng)的投資期期限長(zhǎng)度為界將樣本數(shù)據(jù)分為兩組，從兩組樣本中隨機(jī)選取國(guó)債建立投資組合，通過多次免疫操作可以得到同一免疫要求下的多組免疫結(jié)果，從而能夠檢驗(yàn)不同利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法的準(zhǔn)確性、有效性和穩(wěn)定性。以債券投資期設(shè)定為1年的情況為例，在進(jìn)行實(shí)證的過程中，首先基于2003年1月至2010年6月的每月最后交易日數(shù)據(jù)，通過所選擇的利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型和免疫策略得到免疫組合；然后再以2004年1月至2011年6月的每月最后交易日的日數(shù)據(jù)得到每個(gè)免疫組合的最終投資所得，并基于該結(jié)果求出用于比較免疫效果的相應(yīng)指標(biāo)值；最后根據(jù)每種方法下所得的免疫結(jié)果對(duì)不同的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法進(jìn)行分析和比較。

由于利率期限結(jié)構(gòu)的不斷變化，持有投資組合期間需要對(duì)投資期期初建立的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫組合進(jìn)行再平衡，實(shí)證中采用統(tǒng)一的每隔1年進(jìn)行一次再平衡的設(shè)定方式。每一次進(jìn)行再平衡時(shí)，均采取自融資的方式，將再平衡時(shí)刻投資組合的實(shí)際價(jià)值作為總的投資額，通過對(duì)組合中的債券進(jìn)行買入和賣出完成再平衡操作。進(jìn)行再平衡時(shí)，如果組合中存在已到期債券，則通過隨機(jī)抽取的方式從再平衡時(shí)刻可交易債券中重新進(jìn)行選擇，所選擇的債券應(yīng)保證重新得到的投資組合中同時(shí)存在剩余期限分別長(zhǎng)于和短于投資期的兩種債券。

免疫效果的優(yōu)劣由最優(yōu)投資組合受利率波動(dòng)影響的大小來衡量，即無論利率如何波動(dòng)，投資組合的最終投資價(jià)值在理論上都應(yīng)不受影響，此時(shí)免疫效果的優(yōu)劣由指標(biāo)衡量，表示的是各免疫方法所得的投資期內(nèi)到期收益率與目標(biāo)債券收益率之間的絕對(duì)離差分別小于0.025和0.015的債券組合數(shù)占該投資期所有債券組合總數(shù)的百分比。其中，絕 對(duì)離差公式為。所得指標(biāo)值的結(jié)果越接近1，說明相應(yīng)免疫方法的免疫效果越好。該指標(biāo)不僅刻畫了利率風(fēng)險(xiǎn) 免疫效果的準(zhǔn)確性，而且也反映了利率風(fēng)險(xiǎn)免疫效果的穩(wěn)定性。

實(shí)證內(nèi)容分為兩個(gè)部分。第一部分實(shí)證以兩因子HJM模型為例，對(duì)不同權(quán)值假設(shè)下所得到的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫效果進(jìn)行檢驗(yàn)?？紤]不同權(quán)值假設(shè)對(duì)免疫效果的影響大小。第二部分實(shí)證選擇了Macaulay久期，以及單因子、兩因子和三因子HJM模型相應(yīng)的隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，分別應(yīng)用傳統(tǒng)的久期匹配免疫策略和利率風(fēng)險(xiǎn)最小化免疫策略進(jìn)行利率風(fēng)險(xiǎn)免疫操作，對(duì)各種方法的免疫效果優(yōu)劣性進(jìn)行比較和分析。

3.1 權(quán)值設(shè)定對(duì)免疫效果影響的實(shí)證分析

實(shí)證以兩因子HJM模型（式(11)）刻畫債券市場(chǎng)的利率期限結(jié)構(gòu)，考察不同權(quán)值假設(shè)對(duì)免疫效果的影響大小。實(shí)證中考慮了三種權(quán)值設(shè)定的形式，第一種是將兩個(gè)利率風(fēng)險(xiǎn)因素的權(quán)值均設(shè)為0.5，即假設(shè)兩種利率風(fēng)險(xiǎn)因素對(duì)債券價(jià)格波動(dòng)的影響程度相同。第二種分別將利率風(fēng)險(xiǎn)因素的權(quán)值設(shè)為0.8和0.2，第三種將利率風(fēng)險(xiǎn)因素權(quán)值設(shè)為0.2和0.8。

需要注意的是，本文所提出的建立利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略的方法是一個(gè)最優(yōu)化方法，如果將每一時(shí)刻的所有債券用于建立最優(yōu)投資組合，那么在同一時(shí)刻、同一投資期長(zhǎng)度條件下只能得到一種最優(yōu)的策略。因此為了能夠基于更多的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫結(jié)果驗(yàn)證該方法的免疫效果，本節(jié)及下面小節(jié)的實(shí)證中，將采用在每一時(shí)刻都通過隨機(jī)選擇有限數(shù)量附息債券，然后通過最優(yōu)化策略進(jìn)行最優(yōu)權(quán)值選擇的方法進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。例如，當(dāng)以單因子HJM模型作為建?；A(chǔ)時(shí)，隨機(jī)抽取三個(gè)債券作為免疫工具，使得所建立的免疫組合在滿足每種策略的等式約束的條件下滿足最大化或最小化目標(biāo)函數(shù)，從而建立相應(yīng)策略下的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫組合。

表1 利率風(fēng)險(xiǎn)因素權(quán)值設(shè)定對(duì)免疫效果的影響(單位：%)

實(shí)證所得免疫結(jié)果如表1所示。

3.2 利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略的實(shí)證比較

這一實(shí)證中選擇了四類利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型（Macaulay久期模型，以及單因子、兩因子、三因子HJM模型下相應(yīng)的利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度模型）建立傳統(tǒng)的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略來與本文所提出的利率風(fēng)險(xiǎn)最小化免疫方法進(jìn)行比較。所采用的各模型形式如下所示。

(1) FW久期模型：

(2) 隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度所對(duì)應(yīng)的各HJM模型形式

模型1：?jiǎn)我蜃親JM模型

模型:2：兩因子HJM模型：

(14)

模型3：三因子波動(dòng)模型

表2給出了各利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法相應(yīng)的免疫效果。

表2 各利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫結(jié)果

由表2的實(shí)證結(jié)果可以看出，當(dāng)再平衡時(shí)間很短時(shí)傳統(tǒng)的Macaulay久期與久期匹配免疫策略相結(jié)合的免疫方法有比較穩(wěn)定的免疫效果，而將隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度與久期匹配免疫策略相結(jié)合的免疫方法，其免疫效果隨著HJM模型復(fù)雜度的增加會(huì)變得不再穩(wěn)定，也就是說，即使所建立的利率期限結(jié)構(gòu)模型與實(shí)際利率期限結(jié)構(gòu)更為接近，其免疫效果也并沒有因此而有所提高，甚至更為不穩(wěn)定。這種情況發(fā)生的主要原因之一就是久期匹配免疫策略與隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度在對(duì)于利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)方式的理論假設(shè)上是相悖的。

考察本文所提出的利率風(fēng)險(xiǎn)最小化免疫方法。當(dāng)再平衡間隔很小時(shí)，該方法提高了隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫效果，使之不再出現(xiàn)利率期限結(jié)構(gòu)越復(fù)雜免疫效果反而有所下降的不合理情況。當(dāng)再平衡間隔增加為1年時(shí)，免疫效果的優(yōu)劣則更明顯的與利率期限結(jié)構(gòu)模型的復(fù)雜度成正比，即更為合理的利率期限結(jié)構(gòu)模型可以得到更為理想的免疫效果，利率風(fēng)險(xiǎn)最小化免疫策略的免疫效果也較久期匹配免疫策略的免疫效果更好。該實(shí)證結(jié)果說明，以動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)作為利率風(fēng)險(xiǎn)度量與管理的理論基礎(chǔ)在本文所提出的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法中得到了合理的利用且通過建立更加準(zhǔn)確的利率期限結(jié)構(gòu)模型，能夠達(dá)到提高利率風(fēng)險(xiǎn)管理的效果，使得所提方法具有很大的改進(jìn)和發(fā)展空間。

4 結(jié)論

本文從隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度與傳統(tǒng)的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫策略理論之間的不一致性這一角度，解釋了基于顯然更為合理的動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)理論所建立的隨機(jī)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的免疫效果并沒有顯著優(yōu)于傳統(tǒng)利率風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度免疫效果的原因。

文中所提出的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法不僅考慮了利率在同一時(shí)點(diǎn)上的非平行移動(dòng)，而且考慮了在投資期內(nèi)不同時(shí)點(diǎn)上的利率變化之間的關(guān)系，充分利用了動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)理論對(duì)于利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)過程的模型刻畫優(yōu)勢(shì)，將對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)的靜態(tài)的粗略度量改進(jìn)為動(dòng)態(tài)的更為細(xì)致的度量。實(shí)證結(jié)果顯示，本文所提出的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫方法能夠得到更好、更穩(wěn)定的利率風(fēng)險(xiǎn)免疫效果，能夠體現(xiàn)出基于動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)理論所建立的利率風(fēng)險(xiǎn)度量方法的優(yōu)越性，具有較大的應(yīng)用價(jià)值，和改進(jìn)、發(fā)展的空間。

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A New Method of Interest Rate Risk Immunization under the HJM Framework

LI Jing-jing1，2, YANG Bao-chen2

(1. Research Center of Finance Engineering and Risk Management，Tianjin University of Science and Technology Tianjin 300222, China; 2. College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Interest rate risk is mainly inevitable in the field of fixed income securities investment. As drastic fluctuation of market interest rate is caused by the development and liberalization of financial market, management of interest rate risk has inevitably become a significant issue. Meanwhile, along with gradually increased understanding about the nature of interest rate term structure, a new type of stochastic interest rate risk measures based on dynamic term structure of interest rate is introduced to measure and manage interest rate risk. Nevertheless, according to the related simulations and empirical studies, the results show that this new method makes less contribution to the improvement of interest rate risk immunization effect.

This paper points out inconsistency of theoretical hypothesis between stochastic duration measures and duration matching immunization strategy under the Heath-Jarrow-Morton (hereafter HJM) framework. In addition, this paper also analyzes the validity of duration matching immunization strategy under the dynamic term structure of interest rate, which can explain the phenomenon that immunization effect of stochastic interest rate risk measures in empirical study can’t be better than traditional measures. Based on the above analysis, a new stochastic interest rate risk measure and the corresponding interest rate risk immunization strategy are derived under the HJM framework, which is more reasonable than the traditional interest rate risk measure.

The stochastic interest rate risk measure in this strategy is based on the definition of interest rate risk in Thurston Stochastic Duration. Formulas are provided to measure reinvestment risk and price risk. In contrast with Thurston Stochastic Duration, this measure is based on the term structures of interest rate at every reinvestment time and selling bonds moments. These moments are obtained by forecasting instead of the term structure of interest rate which is at the initial investment moment. The measure of interest rate risk is based on the change of final value of investment income instead of bond price changing at the beginning of investment.

In this method, the immunization strategy is based on optimization methods. This strategy not only considers the influence of interest rate’s unanticipated changes to bond prices, but also effectively uses related assumptions on change characteristics in interest rates, which are given from the dynamic term structure of interest rate theory. The immunization strategy eliminates unreasonable assumption about instantaneous one-time changes of the yield curve in investment horizon.

Finally, the empirical result proves that the method presented in this paper is superior to immunization effect and higher application value in the interest rate risk management.

HJM framework; stochastic interest rate risk measure; interest rate risk minimization immunization strategy; duration matching immunization strategy

中文編輯：杜 健；英文編輯：Charlie C. Chen

F832.5

A

1004-6062(2016)02-0195-07

10.13587/j.cnki.jieem.2016.02.024

2013-08-09

2013-12-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71171144) ；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20130032110016）；教育部長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目( IRT1028)

李晶晶 (1983—), 女, 天津人,天津科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院講師, 主要從事金融風(fēng)險(xiǎn)度量與管理方面的研究。