易三莉，陳 勇，賀建峰

（昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南昆明650500）

建立新型邊緣泄露補(bǔ)償機(jī)制的四階方程圖像平滑方法

易三莉，陳 勇，賀建峰

（昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南昆明650500）

針對傳統(tǒng)的四階偏微分方程（四階方程）降噪算法容易造成圖像邊緣泄露的問題，本文提出了一種基于邊緣檢測理論的泄露修補(bǔ)算法.該算法首先用非線性的雙邊濾波器對噪聲圖像進(jìn)行預(yù)處理，得到邊緣結(jié)構(gòu)較好的預(yù)處理圖像，然后基于梯度算子具有檢測圖像邊緣特征的特點(diǎn)，提出將結(jié)果圖像和預(yù)處理圖像二者梯度差值的二范數(shù)平方作為邊緣保持約束項(xiàng)，并將其加入到四階方程算法的能量泛函中.另外，基于圖像局部方差構(gòu)造了自適應(yīng)的拉格朗日乘子，從而實(shí)現(xiàn)對邊緣保持約束項(xiàng)的自適應(yīng)調(diào)整，以提高其邊緣保持性能.實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果表明，本文算法不僅繼承了傳統(tǒng)四階算法具有的優(yōu)點(diǎn)，而且增強(qiáng)了對邊緣結(jié)構(gòu)的保持能力.

四階偏微分方程；邊緣泄露；邊緣檢測；邊緣保持約束

1 引言

數(shù)字圖像在獲取和傳輸過程中，均要受一定程度的噪聲污染.受噪聲污染的圖像不僅影響其視覺效果，而且限制了其后續(xù)處理及分析利用，如圖像分析及內(nèi)容理解部分都需要較高質(zhì)量的信號，因此圖像的降噪復(fù)原成為了計(jì)算機(jī)底層視覺研究中的熱點(diǎn)問題.

對圖像進(jìn)行降噪關(guān)鍵是要解決好去除噪聲和保護(hù)邊緣特征的這一對矛盾.目前，常用的圖像降噪方法有：基于貝葉斯框架的統(tǒng)計(jì)模型［1］、小波方法［2］、稀疏表示方法［3］及基于偏微分方程的方法.其中，基于偏微分方程的方法因其具有簡單有效、數(shù)學(xué)理論完備等技術(shù)優(yōu)點(diǎn)而受到了廣泛的重視.以Witkin等人［4］提出線性的各向同性擴(kuò)散算法作為此類算法的開端，Perona等人［5［6］提出以高斯平滑后的梯度來代替擴(kuò)散函數(shù)中的梯度計(jì)算；Black等人［7］提出了魯棒各向異性擴(kuò)散（RAD），該類算法指出了魯棒統(tǒng)計(jì)學(xué)模型和各向異性擴(kuò)散模型的聯(lián)系；余慶軍等人［8］以圖像的局部方差作為屏蔽函數(shù)，提出了基于人類視覺系統(tǒng)的各向異性擴(kuò)散方法；Gilboa等人［9］的復(fù)數(shù)域擴(kuò)散算法，提出以復(fù)擴(kuò)散函數(shù)代替實(shí)擴(kuò)散函數(shù)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了高斯和拉普拉斯金字塔的多尺度分析；針對階梯效應(yīng)的問題，朱立新等人［10］提出在經(jīng)典的二階方程擴(kuò)散算法中耦合了梯度保真項(xiàng)；王志明等人［11］依據(jù)像素點(diǎn)在其鄰域內(nèi)的灰度關(guān)系，提出對像素點(diǎn)進(jìn)行分類平滑；Yang等人［12］依據(jù)中心像素點(diǎn)鄰域內(nèi)外區(qū)域之間的像素灰度相似性關(guān)系，提出了基于非鄰域均值理論的P-M算法.值得特別注意的是，Yu等人［13］分析了經(jīng)典二階方程算法使結(jié)果圖像存在階梯效應(yīng)的原因，并提出了四階方程算法，該算法從理論上保證了所得結(jié)果圖像為分段平面圖像，并且該算法對高頻噪聲具有較強(qiáng)的平滑能力，但是該算法容易造成結(jié)果圖像的邊緣泄露而降低了其保護(hù)邊緣特征的能力.針對四階方程出現(xiàn)邊緣泄露的問題，Li等人［14］提出將全變分算法和四階方程算法相加權(quán)，并以此降低四階方程部分在邊緣等特征區(qū)域的平滑速度；Zhang等人［15］在四階方程所對應(yīng)的能量泛函中，將梯度算子和拉普拉斯算子相加權(quán)，以更好地測量圖像的平滑性.以上算法雖然一定程度上改進(jìn)了傳統(tǒng)的四階方程算法，但由于引入了全變分項(xiàng)，因此在平滑中帶來了一定程度的階梯效應(yīng)，所以該問題仍值得更多地關(guān)注.

本文針對以上傳統(tǒng)四階方程算法在降噪過程中存在的問題，提出將邊緣保持項(xiàng)作為其對應(yīng)能量泛函的約束項(xiàng)，這樣最小化能量泛函的過程就相當(dāng)于平滑圖像的同時(shí)使結(jié)果圖像和原圖像二者的邊緣特征盡量保持一致；然后，基于對局部方差理論的分析，構(gòu)造出具有自適應(yīng)調(diào)整能力的拉格朗日乘子；最后，給出了本文模型的凸性證明.

2 傳統(tǒng)四階方程算法

用傳統(tǒng)的二階方程對圖像進(jìn)行降噪，容易使結(jié)果圖像朝著分段常量圖像演變.為了解決這一問題，Yu等人分析了問題的原因，并提出如下圖像范圍Ω內(nèi)的能量泛函［13］：

式中，▽2為拉普拉斯算子，φ（·）≥0且φ（·）為單調(diào)增函數(shù)，即φ′（·）＞0.因此最小化式（1）就相當(dāng)于平滑圖像u，通過泛函極值處理，可以得到式（1）對應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程為：

3 本文的四階方程算法

3.1加入邊緣保持約束項(xiàng)的四階方程算法

針對上述四階方程容易使結(jié)果圖像產(chǎn)生邊緣泄露的問題.本文根據(jù)梯度算子▽具有檢測圖像邊緣特征的特點(diǎn)，提出將結(jié)果圖像u和原始圖像u（0）的梯度作差值，并將差值的二范數(shù)作為測量結(jié)果圖像邊緣和原始圖像邊緣差異的量度，然后將其二范數(shù)平方作為式（1）能量泛函的約束項(xiàng).因此，加入邊緣保持約束的能量泛函如下：

式中，λ（λ≥0）為拉格朗日乘子.BF（u（0））為原始圖像u（0）經(jīng)雙邊濾波器［17］預(yù)濾波的輸出圖像.雙邊濾波器的濾波過程如下：

式中，S是以p為中心像素點(diǎn)的鄰域像素集，q為S中的像素點(diǎn)，σ為高斯核.‖p-q‖、|u（p）-u（q）|分別為像素點(diǎn)p到q的Euclidean空間距離測量和像素灰度相似性距離測量.由于雙邊濾波器具有簡單及非線性等技術(shù)優(yōu)點(diǎn)，因此該濾波器預(yù)處理的圖像能較好的保持原始圖像的邊緣特征，克服了傳統(tǒng)的高斯濾波器作為預(yù)處理濾波器易導(dǎo)致圖像邊緣模糊的不足.

因此，式（3）具有如下形式的歐拉-拉格朗日方程：

經(jīng)過簡單的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，式（3）對應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程為：

式中，拉格朗日乘子 λ起著平衡的作用，平衡平滑項(xiàng)（右邊第一項(xiàng)）平滑圖像和邊緣保持約束項(xiàng)（右邊第二項(xiàng)）阻止發(fā)生邊緣泄露.

3.2拉格朗日乘子λ的自適應(yīng)

式（10）中邊緣保持項(xiàng)的拉格朗日乘子λ，應(yīng)滿足如下要求：自適應(yīng)性，即能夠根據(jù)圖像的局部結(jié)構(gòu)特征自適應(yīng)地調(diào)整邊緣保持項(xiàng)的權(quán)值；穩(wěn)定性，即 λ值不應(yīng)過大，以防止造成算法的不穩(wěn)定性.

文獻(xiàn)［18］認(rèn)為，相較于梯度信息，圖像的局部方差信息能更好地反映圖像的局部結(jié)構(gòu)特征，并且圖像在邊緣等異質(zhì)區(qū)域的局部方差要大于同質(zhì)區(qū)域的局部方差.圖像的局部方差定義為：

式中，m（x，y）為像素點(diǎn)（x，y）在尺寸為（2N+1）×（2N +1）分析窗口內(nèi)的局部均值.

式中，λ0（λ0≥0）為可調(diào)參數(shù).式（12）提出的λ自適應(yīng)方案充分地利用了反正切函數(shù)的有界性質(zhì)，即因此，合理地設(shè)置參數(shù)λ0，可以防止λ越界，進(jìn)而保證算法式（10）的穩(wěn)定性.

根據(jù)式（10）與式（12）我們可以看出拉格朗日乘子λ具有以下特點(diǎn)：

基于上述分析，我們可以看到，本文算法由于引入了自適應(yīng)的拉格朗日乘子，使式（10）中的邊緣保持項(xiàng)能夠更好地發(fā)揮作用，從而使本文算法具有更好的自適應(yīng)性和魯棒性.

3.3本文模型凸性證明

對于邊緣停止函數(shù)c（·），本文采用文獻(xiàn)［8］中的方法進(jìn)行定義：

式中，k（k＞0）為控制算法平滑范圍的閾值.

對式（14）的φ′（s），求出其導(dǎo)數(shù)為：

然后，對任意常數(shù)a，b＞0（a+b=1），并對于圖像u1、u2，由三角不等關(guān)系有：

由于φ（s）為單調(diào)遞增函數(shù)，并結(jié)合式（16），有如下不等關(guān)系成立：

由式（15）知：φ″（s）＞0，即函數(shù)φ（s）是凸性的.結(jié)合式（17），故有如下不等關(guān)系成立：

最后，又有如下不等關(guān)系：

式中，〈·〉表示向量內(nèi)積運(yùn)算.式（19）中，應(yīng)用到了不等式：

由式（18）（19），并且λ≥0，有如下不等關(guān)系：

由不等關(guān)系式（21）知，本文能量泛函式（3）是凸性的，表明本文算法在加入邊緣保持約束項(xiàng)后，唯一全局最優(yōu)解的性質(zhì)保持不變.

3.4數(shù)值實(shí)現(xiàn)及算法步驟

首先將本文算法式（10）數(shù)值化為：

式中，Δt為迭代的時(shí)間步長.

算法主要流程如下：

步驟1：確定參數(shù) Δt、λ0、k、σd、σr、N和預(yù)濾波窗口S的大小，輸入噪聲圖像u（0）；

步驟2：確定最大迭代次數(shù)nitermax.若迭代次數(shù)niter≤nitermax則進(jìn)入步驟3；否則進(jìn)入步驟4；

步驟4：退出迭代，以u（n+1）作為降噪后的結(jié)果圖像.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

針對本文算法的特點(diǎn)：既保留了傳統(tǒng)四階方程算法所具有的優(yōu)點(diǎn)，又較好地解決了傳統(tǒng)四階方程算法易使結(jié)果圖像出現(xiàn)邊緣泄露的問題，增強(qiáng)了對圖像邊緣的保持能力，并且降低了圖像質(zhì)量對迭代次數(shù)（平滑時(shí)間）的敏感性.本文分別用不同類型的圖像展開如下4部分實(shí)驗(yàn)，并用峰值信噪比（PSNR（dB））及平均結(jié)構(gòu)相似度（MSSIM）［20］指標(biāo)對前三部分的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖像展開定量評價(jià).其中，PSNR值越高，表明結(jié)果圖像和原圖像的差異越??；MSSIM∈［0，1］值越接近1，表明結(jié)果圖像和原圖像在亮度、對比度、結(jié)構(gòu)相似度的信息上越接近.另外，在實(shí)驗(yàn)中將本文算法的參數(shù)取為：Δt=0.25、λ0=1、σd=1.5、σr=0.6、N=5、S=5，閾值參數(shù) k根據(jù)不同圖像的對比度進(jìn)行合理選取，建議在k=0.5鄰近選取.

相較于經(jīng)典的二階方程算法，為了驗(yàn)證本文算法和傳統(tǒng)四階方程算法的優(yōu)勢.本文將不同噪聲水平（噪聲方差）的高斯噪聲疊加到Lena原圖像中，并用本文算法及各個(gè)時(shí)期較為經(jīng)典的算法：P-M算法、RAD擴(kuò)散、復(fù)數(shù)域擴(kuò)散及傳統(tǒng)四階方程方法對噪聲圖像進(jìn)行降噪處理，所得結(jié)果如表1所示.為了便于從結(jié)果圖像的視覺效果上說明各算法的特點(diǎn)，本文將情況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示在圖1（c）～（h）中.

由圖1（c）可見，λ（n=0）圖像在一定程度上剔除了噪聲的干擾，并反映出原圖像的絕大部分特征信息.由圖1 （d）～（h）中各算法降噪后的結(jié)果圖像可以看到，P-M算法降噪后的結(jié)果圖像如圖1（d），可見圖像中部分顆粒噪聲并沒有得到有效去除，且圖像中存在階梯效應(yīng)；RAD擴(kuò)散降噪后的結(jié)果圖像如圖1（e），可見該算法與P-M算法類似，仍難以消除顆粒噪聲的干擾；復(fù)數(shù)域擴(kuò)散降噪后的結(jié)果圖像如圖1（f），圖像受所謂的“棋盤”效應(yīng)的影響，在去除顆粒噪聲方面與前面兩種算法類似；傳統(tǒng)四階方程算法迭代14次后（為了說明問題，進(jìn)行14次迭代）的結(jié)果圖像如圖1（g），圖像各部分區(qū)域較為平滑而不受階梯效應(yīng)的影響，但圖像出現(xiàn)了邊緣泄露的問題，造成結(jié)果圖像的邊緣較為模糊；本文算法迭代14次后的結(jié)果圖像如圖1（h），可見本文算法的降噪效果較為明顯，圖像中各部分區(qū)域也較為平滑，但和使用相同迭代次數(shù)的傳統(tǒng)四階方程算法不同的是，本文算法由于邊緣保持項(xiàng)發(fā)揮了作用，因而使結(jié)果圖像的邊緣等特征信息較為清晰，一定程度上遏制了邊緣泄露現(xiàn)象的發(fā)生.

表1　各算法的評價(jià)指標(biāo)值

為了驗(yàn)證3.2節(jié)所述的拉格朗日乘子自適應(yīng)方案的特點(diǎn)，將本文算法與上述實(shí)驗(yàn)對比算法作迭代實(shí)驗(yàn)的比較.首先將方差為0.015的高斯噪聲疊加到Peppers原圖像中，然后分別用本文算法和對比算法對所得到的噪聲圖像展開25組迭代實(shí)驗(yàn)（2次迭代～50次迭代，步長為2次），并根據(jù)MSSIM指標(biāo)的特點(diǎn)，用MSSIM指標(biāo)定量評價(jià)各次迭代的結(jié)果圖像，所有結(jié)果圖像的MSSIM評價(jià)值如圖2所示.其中，傳統(tǒng)四階方程算法及本文算法在 n=8，16，24，32，40及48次迭代時(shí)的結(jié)果圖像分別展示于圖3～4中.

從圖2可以看到，本文算法在2次迭代時(shí)的MSSIM值低于傳統(tǒng)四階方程算法，但隨著迭代次數(shù)的增加，本文算法的MSSIM值都要顯著高于傳統(tǒng)四階方程算法及其它對比算法，并且這種趨勢越來越明顯.這些都表明，由于本文算法的邊緣保持項(xiàng)及拉格朗日自適應(yīng)方案的作用，一定程度上克服了傳統(tǒng)四階方程算法使結(jié)果圖像出現(xiàn)邊緣泄露而模糊邊緣的問題，并且降低了結(jié)果圖像的質(zhì)量對迭代次數(shù)增加的敏感性.另外，根據(jù)圖3～4中的結(jié)果圖像，可以從視覺效果上確認(rèn)本文算法的這一特點(diǎn).

相較于文獻(xiàn)［14，15］所改進(jìn)的四階方程算法，為了驗(yàn)證本文算法的優(yōu)勢，本文將不同噪聲水平的高斯噪聲疊加到Goldhill原圖像中，并用本文算法和文獻(xiàn)［14，15］中的算法對噪聲圖像進(jìn)行降噪處理，所得結(jié)果如表2所示.并將情況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示在圖5（a）～（e）中.

由圖5（c）～（e）中各算法降噪后的結(jié)果圖像可以看到，文獻(xiàn)［14］算法降噪后的結(jié)果圖像如圖5（c）和文獻(xiàn)［15］算法降噪后的結(jié)果圖像如圖5（d），兩圖像均受一定程度的階梯效應(yīng)的影響，這是由于該兩種算法都在傳統(tǒng)四階方程算法中引入了全變分項(xiàng)，并以此防止邊緣泄露的發(fā)生，但由于全變分項(xiàng)的作用，使圖像局部朝著分段常量圖像演變，進(jìn)而產(chǎn)生階梯效應(yīng).本文算法降噪后的結(jié)果圖像如圖5（e），如前述，取得較好的降噪效果.另外，從各噪聲水平下的降噪情況來看，表2中的數(shù)據(jù)說明本文算法在 PSNR和MSSIM評價(jià)值上要優(yōu)越于另外兩種算法.

表2　各算法的評價(jià)指標(biāo)值

上文實(shí)驗(yàn)均為對人為合成的噪聲圖像進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，為了驗(yàn)證本文算法對真實(shí)噪聲圖像進(jìn)行降噪的有效性.本文選用3幅不同層面的含Rician噪聲的腦部MRI擴(kuò)散加權(quán)圖像（DWI）進(jìn)行測試.3幅原圖像如圖6 （a）所示，使用傳統(tǒng)四階方程方法降噪后的結(jié)果圖像如圖6（b）所示，本文算法降噪后的結(jié)果圖像如圖6（c）所示.

相較于圖6（b）中使用傳統(tǒng)四階方程方法得到的結(jié)果圖像（均迭代8次），由圖6（c）中本文算法的結(jié)果圖像（均迭代14次）可見，圖像在背景區(qū)域內(nèi)較為平滑，信號區(qū)域的邊緣、紋理信息保持的較為完好和清晰.因此，表明了本文算法對真實(shí)噪聲圖像進(jìn)行降噪的有效性和實(shí)用性.

5 結(jié)論

通過對傳統(tǒng)四階方程算法添加邊緣保持約束，較好地解決了傳統(tǒng)四階方程算法容易使結(jié)果圖像出現(xiàn)邊緣泄露的問題，增強(qiáng)了對邊緣的保持能力，并降低了圖像質(zhì)量對迭代次數(shù)增加的敏感性.通過展開一系列實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性和實(shí)用性.為了進(jìn)一步增強(qiáng)本文算法的邊緣保持能力，下一步研究的重點(diǎn)將是如何改進(jìn)邊緣保持約束項(xiàng)中邊緣檢測算子的魯棒性，以更精確地從噪聲圖像中獲取其邊緣信息.另外，還可以將本文算法的邊緣保持約束項(xiàng)推廣應(yīng)用到其它四階方程算法［21，22］，以獲得更好的效果.

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易三莉 女，1977年12月出生，湖南岳陽人.2011年畢業(yè)于中南大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系，取得博士學(xué)位，2012年進(jìn)入昆明理工大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系從事醫(yī)學(xué)圖像處理方面的研究.

E-mail：152514845@qq.com

賀建峰（通信作者） 男，1965年7月出生，云南開遠(yuǎn)人.教授，主要研究方向?yàn)獒t(yī)學(xué)影像與模式識別.

E-mail：jfenghe@qq.com

陳 勇 男，1986年11月出生，四川瀘縣人.碩士研究生.主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖像處理與模式識別.

E-mail：2269134036@qq.com

A Novel Compensation Mechanism of Edge Leakage for Fourth Order Equation Smoothing Image

YI San-li，CHEN Yong，HE Jian-feng

（Faculty of Information Engineering and Automation，Kunming University of Science and Technology，Kunming，Yunnan 650500，China）

As the traditional fourth order partial differential equation（fourth order equation）algorithm causes edge leakage of image，a leakage compensation method is proposed based on edge detection theory.Firstly the noise image is preprocessed by a nonlinear bilateral filter to obtain the better edge preservation image.Based on the feature of the gradient operator on the detection of image edge and the squared two-norm of gradient difference which is between the result image and the preprocessed image，a constraint item is built.Then the constraint item is added to the corresponding energy functional of fourth order equation.Finally，to adaptively adjust the edge preservation constraint item and improve the performance of edge preservation，an adaptive Lagrange multiplier which is based on image local variance is constructed.The experimental results show that the proposed algorithm not only inherits the advantage of traditional fourth order equation，but also enhances its ability of edge preservation.

fourth order partial differential equation；edge leakage；edge detection；edge preservation constraint

TP391.41

A

0372-2112（2016）04-0813-08

電子學(xué)報(bào)URL：http：//www.ejournal.org.cn 10.3969/j.issn.0372-2112.2016.04.009

2014-10-21；

2015-01-20；責(zé)任編輯：孫瑤

國家自然科學(xué)基金（No.11265007）；教育部回國人員科研啟動(dòng)基金（No.2010-1561）；云南省人培基金（No.KKSY201203030）