廖春艷

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巧用等價(jià)性判斷函數(shù)斂散性

廖春艷

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南 永州 425199）

文章主要介紹在數(shù)學(xué)分析中巧用等價(jià)函數(shù)判斷函數(shù)的斂散性問題，恰當(dāng)?shù)囊氲葍r(jià)的函數(shù)來判斷函數(shù)的斂散性，只需要一些簡單的步驟即可判斷出結(jié)果且不容易出錯(cuò)。

等價(jià)代換；無窮級(jí)數(shù)；反常函數(shù)；斂散性

函數(shù)的等價(jià)判別法是一種思路靈活、應(yīng)用廣泛的解題方法，它通過對(duì)題中給出的已知條件進(jìn)行函數(shù)等價(jià)變換、調(diào)整，使得函數(shù)關(guān)系，性質(zhì)更加明確，清晰，從而使得問題得到順利解決。

1　利用等價(jià)性判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性

在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，很多函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)比較難判斷,或者說利用基本的判斷定理判斷起來比較復(fù)雜，因?yàn)槲覀兺茈y直接找到它的參照函數(shù)，如果我們能夠引入等價(jià)性,直接通過觀察或者簡單的計(jì)算就能夠找到它的參照函數(shù)，就能極大的簡化我們的運(yùn)算。

引理1

本結(jié)論直接是上述引理的特殊形式。

例1.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性。

有些題目若用一般的判別法判斷解題過程較繁瑣不易求出，但恰當(dāng)?shù)睦玫葍r(jià)性質(zhì)則相對(duì)來說容易且不容易出錯(cuò)。

（2）

分析，最初看到這道題目我們無法下手去判斷，用比較判別法，沒有辦法找到比較的參函數(shù)，用正向級(jí)數(shù)的判別法來判斷的話，比較不容易，但是如果用等價(jià)性來判斷的話就很容易了。

定理2

解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法去做的話并不容易，求極限比較復(fù)雜，我們不妨試試等價(jià)性來做：

分析：這道題目利用我們基本的判別法，似乎也無從下手解，甚至是無法求解，但是利用等價(jià)性來判斷的話，問題就很輕松了。

2　利用等價(jià)性判斷反常積分的斂散性

2.1用等價(jià)性判斷無窮限反常積分的斂散性

定理3

分析：這道題目如果用我們平時(shí)比較熟悉的反常積分判斂法去做比較麻煩，但是如果用等價(jià)性來做的話就要簡單的多了。

分析：這道題目如果用等價(jià)性，顯得由為便捷，利用我們熟悉的等價(jià)條件，自然有，

2.2 利用等價(jià)性判斷非負(fù)無界函數(shù)的斂散性

證明參照定理3。

分析：這道題目有兩個(gè)瑕點(diǎn)，所以利用我們之前判斷瑕積分的方法去做需要找到他的參照函數(shù)，我們通過觀察找到它的等價(jià)函數(shù):

分析：在這道題目中既有無窮積分，也有瑕積分，所以判斷起來比較復(fù)雜，我們需將這個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩類反常積分單獨(dú)來判斷。

綜上所述，可知原式收斂。

以上各例子若用我們平時(shí)所學(xué)的判別法去求的話會(huì)比較的復(fù)雜，解題過程繁瑣不易求出，引入恰當(dāng)?shù)牡葍r(jià)函數(shù)來判斷則需要一些簡單的步驟即可求出結(jié)果且不容易出錯(cuò)。

[1]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析 (上下冊(cè),第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]華東師大數(shù)學(xué)系系.數(shù)學(xué)分析(上下冊(cè),第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[3]劉玉璉,傅沛仁等.數(shù)學(xué)分析講義(上下冊(cè),第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[4]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中典型問題與方法(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2006.

[5]錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹(第二版)[M].湖北:湖北長江出版集團(tuán).2009.

(責(zé)任編校：何俊華)

2016－01－25

湖南科技學(xué)院科研項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)2015XKY011）。

廖春艷（1984－）女，江西吉安，講師，研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。

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1673-2219（2016）05-0011-03