蘇麗

（大連科技學(xué)院　基礎(chǔ)部，遼寧　大連　116052）

函數(shù)極限的幾種特殊求法

蘇麗

（大連科技學(xué)院基礎(chǔ)部，遼寧大連116052）

極限是貫穿數(shù)學(xué)分析全過程的重要概念，極限理論是研究連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)的基本工具，然而求解函數(shù)極限的方法很多，需要根據(jù)函數(shù)表達(dá)式具體存在的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，使得求解的過程更簡單.

極限；洛必達(dá)；兩邊夾法則；泰勒公式；定積分

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，函數(shù)極限是其重要組成部分，由于類型比較廣泛，復(fù)雜涉及連續(xù)性，有界性，無窮小量等，所以在求解函數(shù)極限的過程中要全面考察函數(shù)的狀態(tài)，力求靈活運(yùn)用方法，本文總結(jié)了幾種在高數(shù)的教學(xué)過程中常用求函數(shù)極限的方法.

（1）用洛必達(dá)法則結(jié)合無窮小等價(jià)替換；

（2）冪指函數(shù)變形；

（3）用兩邊夾準(zhǔn)則；

（4）用泰勒公式.

（5）定積分求解

下面就函數(shù)f（x）的形式給出其求法.

例1求函數(shù)的極限

2當(dāng)f（x）為冪指函數(shù)［φ（x）］ψ（x）型的不定型時(shí)，可以采用取對(duì)數(shù)后再求，但為1∞型時(shí)亦可用求之.

例2求極限

分析：（1）此題為1∞型，可考慮利用已知極限

分析（2）此題是1∞型極限，應(yīng)用已知極限比較麻煩，可考慮先取對(duì)數(shù)后再求之.或者可以通過泰勒

3當(dāng)f（x）為不定型時(shí)，可考慮用兩邊夾法則.

分析（1）由于f（x）為不定型，形式不定但與ai有關(guān)，因此不能用洛必達(dá)法則，又因?yàn)楸磉_(dá)式中ai為有限項(xiàng)，必有最大值和最小值，因此想到應(yīng)用兩邊夾法則.

解令k=max｛a1，a2，…，an｝

分析（2）因?yàn)楫?dāng)x→0+時(shí)不確定，所以只能考慮用兩邊夾法則.

4當(dāng)函數(shù)f（x）表達(dá)式為和式，可考慮應(yīng)用定積分

例4求

5當(dāng)已知條件中提及級(jí)數(shù)，可考慮利用級(jí)數(shù)收斂求極限

以下幾個(gè)題目感興趣的同學(xué)可以作為練習(xí).

求解極限的方法有很多種，我相信仍在不斷的更新，每種方法的產(chǎn)生都源于多樣的表達(dá)式，所以在求解的過程中應(yīng)該注重觀察特點(diǎn)，找到適合的方法，使得計(jì)算簡便.

O172

A

1673-260X（2016）07-0008-02

2016-03-21

〔1〕劉玉璉，數(shù)學(xué)分析講義［M］.北京：高等教育出版社，1988.

〔2〕同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué).高等數(shù)學(xué)［M］.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2004.