劉小剛，任睿超，孫　潔

（西北大學(xué) 現(xiàn)代學(xué)院，陜西 西安 710130）

具有非線性捕獲項(xiàng)的多時(shí)滯HollingIII型功能反應(yīng)捕食模型的正周期解

劉小剛，任睿超，孫潔

（西北大學(xué) 現(xiàn)代學(xué)院，陜西 西安 710130）

利用重合度理論中的延拓定理討論了一類具有非線性捕獲項(xiàng)的多時(shí)滯HollingIII型功能反應(yīng)捕食模型的正周期解的存在性，得到了模型正周期解存在的充分條件，推廣了已有的某些結(jié)果。

多時(shí)滯；正周期解；HollingIII功能反應(yīng)；重合度

1　引言

生物種群的持續(xù)生存是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中捕食理論及其有關(guān)課題的一個(gè)重要方面。近年來(lái)，基于三種功能反應(yīng)的多時(shí)滯多物種生態(tài)系統(tǒng)周期解受到了學(xué)術(shù)界的重視，具有收獲率的系統(tǒng)由于存在開(kāi)發(fā)項(xiàng)，往往表現(xiàn)出更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，很多學(xué)者在這方面做出了貢獻(xiàn)[1-3]，例如，王暉[4]運(yùn)用重合度的方法研究了以下一類基于比率的且具有收獲率和時(shí)滯的捕食系統(tǒng)：

的周期解的存在性，其中x1(t),x2(t)分別表示t時(shí)刻食餌種群與捕食者種群的密度；ai(t),bi(t),αi(t),hi(t) (i=1,2),m(t)是連續(xù)的有界嚴(yán)格正周期函數(shù)，hi(t) (i=1,2)表示兩個(gè)種群的收獲率，但是此系統(tǒng)沒(méi)有考慮到多滯量的影響。

謝小麗[5]等研究了具有非線性捕獲項(xiàng)的多時(shí)滯Hassel-Varley型功能反應(yīng)食餌捕食者系統(tǒng)：

并滿足初始條件：

的正周期解的存在性。其中u1(t),u2(t)分別表示t時(shí)刻食餌種群與捕食者種群的密度；r1(t)為食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，b(t)為食餌的內(nèi)部制約率，r2(t)為捕食者的死亡率，a1(t),a2(t)分別表示食餌與捕食者的轉(zhuǎn)化率，γ為Hassell-Varley系數(shù)，m(t)為半飽和量，但系統(tǒng)的滯量要求必須滿足一定的條件（如滯量的導(dǎo)數(shù)要小于1等）。

陳鳳德[6]等研究了多滯量捕食模型：

的正周期解的存在性，其中N1(t),N2(t)分別表示t時(shí)刻食餌種群與捕食者種群的密度，r1,r2,ai,bj,ci, dj,τi,σj,βj,αi∶R→[0,+∞]都是連續(xù)的ω周期函數(shù)，此系統(tǒng)存在同樣的問(wèn)題。

本文在這些研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論任意有限個(gè)滯量且?guī)в蟹蔷€性捕獲項(xiàng)與HollingIII型功能反應(yīng)捕食模型：

的正周期解的存在性。其中N1(t)，N2(t)分別表示t時(shí)刻食餌種群與捕食者種群的密度；r1(t)是食餌種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率；r2(t)為捕食者的死亡率；ai(t)(i=1,2)為食餌的內(nèi)部制約率；cj(t),dj(t)(j=1,2)分別是食餌和捕食者的轉(zhuǎn)化率；hi(t,Ni(t))(i=1,2)表示兩個(gè)種群的收獲率；m(t),r2(t),ai(t),bi(t),cj(t),dj(t)(i,j=1,2)都是在R上連續(xù)的ω正周期函數(shù)；r1(t),τi(t),σj(t), βi(t),αj(t)(i,j=1,2)都是在R上連續(xù)的ω周期函數(shù)，此外，假設(shè)

2　預(yù)備知識(shí)和引理

為了證明周期解的存在性，筆者引入重合度理論中的延拓定理[6]，根據(jù)文獻(xiàn)[6]中的重合度理論，設(shè)X,Z是兩個(gè)Banach空間，L：DomLX→Z為線性映射，N：X→Z為連續(xù)映射，如果dim kerL= Codim ImL是Z中的閉子集，則稱映射L為指標(biāo)為零的Fredholm映射。如果L是指標(biāo)為零的Fredholm映射且存在連續(xù)投影P：X→ X以及Q：Z→Z，使得ImP=KerL,ImL=KerQ=Im(I-Q)，則L| DomLKerP：(I-P)X→ImL可逆，設(shè)起逆映射為Kp，設(shè)Q為X中的有界開(kāi)集，如果QN()有界且Kp(I-Q)N：→X是緊的，則稱N在上是L緊的。由于ImQ與KerL同構(gòu)，因而存在同構(gòu)映射J：ImQ→KerL。

引理1[6]（延拓定理） 設(shè)X,Z是兩個(gè)Banach空間，L為指標(biāo)為零的Fredholm算子，假設(shè)N：→Z在是L緊的，這里Q是X上的一個(gè)有界開(kāi)集，進(jìn)一步，如果

為了后文敘述方便，筆者引入記號(hào)：

3　周期解的存在性

定理1設(shè)模型（4）的系數(shù)函數(shù)滿足下列條件：

則模型（4）至少存在一個(gè)ω周期正解。

證明：作變換Ni(t)=exi(t)，i=1,2，則模型（4）化為：

如果模型（5）存在周期解x(t)，則滿足

下面只需證明方程（6）有解即可。定義映射P∶X→X，Q∶Z→Z，使得

顯然 QN和 KP(I-Q)N是連續(xù)的，利用Arezela-Asoli定理，易證明KP(I-Q)N對(duì)任意的有界集ΩX是緊致集，而且QN是緊的。因此，對(duì)任意的有界集ΩX，N在是L緊的。

考慮算子方程

對(duì)（7）式兩邊從0到ω積分，有

根據(jù)（7）式及（10）式，有

同理，根據(jù)(7)、(13)、(14)式，有

根據(jù)(8)式，有

根據(jù)(12)～(17)式，有

由（8）式以及（20）式，有

根據(jù)(9)式以及(14)式，有

根據(jù)(12)式以及(21)式，有

同理根據(jù)(15)式以及(22)式，有

由(18)式和(23)式，得

由(19)式和(24)式，得

其中H5和H6與λ無(wú)關(guān)。

定義H=H5+H6+H7，其中H7充分大，使得對(duì)于代數(shù)方程：

定義映射J：lmQ→KerL，則

的唯一解，且滿足

所以，模型（4）至少存在一個(gè)以ω為周期的正周期解。

[1]WANG Kai.Periodic solutions to a delayed predator-prey model with Hassell-Varley type functional response[J]. Nonlinear Analysis：Real Word Application，2011，12 （1）：137-145.

[2]ZHANG Guodong，SHEN Boshan.Positive periodic solutions in anonselective harvesting predator-prey model with multiple delays[J].Jpurnal of MathematicalAnalysis and Application，2012，395（1）：298-306.

[3]ZHAO Xiaohua，YI Qizhi.Permanence and Periodic Solution for nonautonomous Competion-Predator System with Type II Function Response[J].Ann of Diff Eqs，2003，19（3）：464-473.

[4]王暉.一類基于比率的且具有收獲率和時(shí)滯的捕食系統(tǒng)的周期解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013，29（5）：521-528.

[5]謝小麗，陳曉星，游華.具有非線性捕獲項(xiàng)的多時(shí)滯Hassell-Varley型功能性反應(yīng)食餌-捕食者系統(tǒng)的周期解[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，42（3）：353-359.

[6]陳鳳德，史金麟，陳曉星.多滯量捕食模型的正周期解[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，20（1）：51-57.

[7]吳亭.基于比率依賴Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的離散n-種群競(jìng)爭(zhēng)捕食系統(tǒng)的持久性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，27（4）：437-441.

[8]張正球.幾類泛函微分方程周期解得存在性[D].長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)，2001.

[9]EDOARDO BERETTA.Global analyses in some delayed ratio-dependentpredatorSystems[J].Nonlinearanalysis Theory Math Applic，1997，32（3）：381-408.

【責(zé)任編校李林霞】

Periodic Solutions to Multiple Delayed HollingIII Type Functional Response System with Nonlinear Harvesting

LIU Xiaogang，REN Ruichao，SUNJie
（Modern College of Northwest University，Xi’an 710130，Shaanxi，China）

By using the method of coincidence degree theory，we study the existence of positive Periodic solutions to multiple delayed HollingIII type functional response systemwith nonlinear harvesting.And sufficient conditions and some results in the paper are proved.

several delays；positive periodic solutions；HollingIII type functional response system；coincidence degree

O175.13

A

1674-0092（2016）02-0101-05

10.16858/j.issn.1674-0092.2016.02.024

2015-10-09

陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（14JK2146）

劉小剛，男，陜西延安人，西北大學(xué)現(xiàn)代學(xué)院講師，碩士，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)研究。