王麗梅，孫璐

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

?

直驅(qū)XY平臺的改進(jìn)魯棒迭代學(xué)習(xí)控制

王麗梅，孫璐

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

針對直驅(qū)XY平臺魯棒交叉耦合控制(CCC)系統(tǒng)設(shè)計迭代學(xué)習(xí)控制(ILC)器的過程中，沒有充分利用魯棒控制的有效信息增加設(shè)計復(fù)雜性的問題。依據(jù)具有不確定性的直驅(qū)系統(tǒng)的魯棒性條件和ILC在L2范數(shù)下的魯棒收斂條件，采用魯棒反饋控制器設(shè)計過程中保證魯棒性的性能加權(quán)函數(shù)設(shè)計單軸ILC控制器。建立了直驅(qū)XY平臺的系統(tǒng)模型，并給出了單軸魯棒ILC控制器和雙軸變增益CCC控制器的設(shè)計方法。與傳統(tǒng)ILC控制器設(shè)計相比，所提出的方法不但保證了系統(tǒng)的魯棒性，而且簡化了設(shè)計過程，提高了系統(tǒng)的跟蹤精度和輪廓精度。仿真和實驗結(jié)果驗證了所提方法的正確性和有效性。

迭代學(xué)習(xí)控制；魯棒控制；交叉耦合控制；直驅(qū)XY平臺；性能加權(quán)函數(shù)

0　引　言

永磁直線同步電機(jī)(permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM) 是一種將電能直接轉(zhuǎn)化成直線運動機(jī)械能的傳動裝置，具有加速度大、控制精度高和響應(yīng)速度快等優(yōu)點，由其驅(qū)動的XY平臺系統(tǒng)在數(shù)控機(jī)床精密輪廓跟蹤中應(yīng)用廣泛[1-2]。但是由于參數(shù)變化、非線性摩擦、端部效應(yīng)、齒槽效應(yīng)及紋波推力等因素會降低PMLSM建模的精確性，所以必須采取不依賴被控對象精確模型的有效控制方法[3-5]。

為提高XY平臺系統(tǒng)的輪廓精度，Koren提出的交叉耦合控制(cross-coupled control，CCC)能夠直接降低輪廓誤差[6]。研究者已經(jīng)將CCC成功應(yīng)用于XY平臺的輪廓加工中，效果良好[7-9]。但是單一的CCC并不能保證跟蹤精度快速準(zhǔn)確地提高，因此必須要結(jié)合間接控制，即通過降低各單軸的跟蹤誤差間接降低輪廓誤差[10]。

迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control，ILC)適用于執(zhí)行重復(fù)任務(wù)的控制系統(tǒng)，不需要被控對象的精確數(shù)學(xué)模型，利用之前的信息改善當(dāng)前的控制輸入信號，就可以實現(xiàn)有限區(qū)間內(nèi)的完全跟蹤[11-12]。目前對于ILC的研究，多著重于學(xué)習(xí)算法的收斂性，因為ILC屬于開環(huán)控制策略，所以在實際應(yīng)用中必須要與系統(tǒng)的反饋控制相結(jié)合，以實現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定并抑制外部擾動[13-15]。在設(shè)計ILC控制器的過程中一般不考慮被控對象，但是ILC系統(tǒng)的收斂性卻與被控對象的數(shù)學(xué)模型密切相關(guān)，因此ILC系統(tǒng)必須滿足由被控對象數(shù)學(xué)模型描述的收斂條件[16-17]。但是由于建立被控對象數(shù)學(xué)模型的過程中難免存在誤差，因此應(yīng)用于實際被控對象的ILC很難保證系統(tǒng)的收斂。為解決上述問題，研究人員已經(jīng)提出了魯棒控制與ILC相結(jié)合的各種控制方法。文獻(xiàn)[18]針對一類線性不確定系統(tǒng)，提出一種基于二維混合模型的魯棒D型ILC方法，基于LMI形式給出控制算法，利用Matlab工具箱求解控制器參數(shù)。文獻(xiàn)[19]提出一種帶有衰減因子的魯棒ILC方法，并采用λ范數(shù)方法分析收斂性，該方法有效地抑制了非重復(fù)測量擾動，保證跟蹤誤差收斂到0。文獻(xiàn)[20]利用類Lyapunov方法設(shè)計了誤差軌跡跟蹤的魯棒ILC控制器,通過魯棒限幅學(xué)習(xí)機(jī)制對不確定性進(jìn)行估計和補(bǔ)償,實現(xiàn)誤差對期望誤差軌跡的全程精確跟蹤。

雖然在魯棒反饋控制系統(tǒng)中設(shè)計了ILC控制器，但是與魯棒性相關(guān)的信息，比如性能加權(quán)函數(shù)，沒有充分利用于ILC控制器的設(shè)計過程中。為了克服這一缺點，本文利用魯棒控制器設(shè)計過程中保證魯棒性的性能加權(quán)函數(shù)設(shè)計了單軸ILC控制器。首先，針對被控對象的不確定性提出了魯棒性條件，推導(dǎo)出ILC系統(tǒng)在L2范數(shù)下的魯棒收斂條件。然后，總結(jié)了改善跟蹤性能且滿足魯棒收斂條件的單軸ILC控制器設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。最后，在兩軸間設(shè)計了CCC控制器。仿真結(jié)果證明了設(shè)計的ILC和CCC控制器的有效性。

1　直驅(qū)XY平臺的數(shù)學(xué)模型

直線電機(jī)驅(qū)動XY 平臺的各單軸分別采用PMLSM驅(qū)動。PMLSM 的機(jī)械運動方程為

(1)

式中：M為動子質(zhì)量；v為線速度；F=Bv+FL為總阻力，Bv為粘滯摩擦力，在直線電機(jī)運行時起主要作用的干擾，F(xiàn)L為其他因素的干擾；Fe為電磁推力，表示為

(2)

式中：τ為極距；λPM為定子永磁體產(chǎn)生的勵磁磁鏈；Kf為電磁推力系數(shù)；iq為PMLSM的q軸電流，電流內(nèi)環(huán)采用勵磁分量控制策略，即id=0使動子電流矢量與定子永磁體磁場在空間上正交。

根據(jù)式(1)、式(2)建立PMLSM直驅(qū)XY平臺的傳遞函數(shù)為[21]：

(3)

式中下標(biāo)x、y分別為對應(yīng)于X、Y軸上的各分量。

2　基于性能加權(quán)函數(shù)的魯棒迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計

為了減小各單軸的跟蹤誤差，本節(jié)根據(jù)性能加權(quán)函數(shù)在各單軸的位置環(huán)設(shè)計了魯棒ILC控制器。

在如圖1所示的PMLSM反饋控制系統(tǒng)中，yd(t)是期望輸出，y(t)是實際輸出，u(t)是反饋控制輸入。C(s)是反饋控制器，用以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。G(s)是具有不確定性的被控對象，可以描述為

G(s)=(1+Δ(s)Wu(s))Gn(s)。

(4)

式中：Gn(s)是系統(tǒng)標(biāo)稱矩陣；Wu(s)是已知的不確定性加權(quán)函數(shù)；Δ為未知的不確定性函數(shù)，滿足‖Δ‖1。

圖1　單軸反饋控制系統(tǒng)Fig.1　Feedback control system of single axis

利用魯棒控制理論的混合靈敏度問題設(shè)計反饋控制器C(s)，有如下引理。

引理1[22]：對于如圖1所示的反饋控制系統(tǒng)，其被控對象G(s)的描述如式(4)所示。那么該系統(tǒng)魯棒的充分必要條件是

‖WuT‖<1且。

(5)

上式等同于

‖|WpS|+|WuT|‖<1。

(6)

式中：Wp(s)是已知的性能加權(quán)函數(shù)；S(s)=1/(1+Gn(s)C(s))是靈敏度函數(shù)；T(s)=1-S(s)是補(bǔ)靈敏度函數(shù)。

對于如圖2所示的ILC系統(tǒng)，迭代控制輸入vk(t)可表示為

Vk+1(s)=Q(s)(Vk(s)+Ek(s))。

(7)

當(dāng)初始迭代控制輸入V0(s)=0時，跟蹤誤差Ek(s)可表示為

Ek(s)=Yd(s)-Yk(s)。

(8)

式中Q(s)是ILC控制器，下標(biāo)k是迭代次數(shù)。

圖2　單軸ILC控制系統(tǒng)Fig.2　Feedback-based ILC system of single axis

假設(shè)1：假設(shè)yd(t)在跟蹤過程中有界；

假設(shè)2：假設(shè)G(s)的零輸入響應(yīng)為零且不隨迭代過程改變。

根據(jù)引理1，ILC系統(tǒng)在L2范數(shù)下的收斂條件為：

定理1：對于如圖2所示的ILC系統(tǒng)，其迭代學(xué)習(xí)律如式(7)所示，當(dāng)k→∞時，迭代控制輸入為

v

(9)

那么該系統(tǒng)收斂的充分必要條件是

‖|QS|+|WuT|‖<1。

(10)

剩余誤差為

e

(11)

證明：(?充分性)對于如圖2所示的ILC系統(tǒng)，第k次迭代的實際輸出為

(12)

根據(jù)式(7)、式(8)和式(12)，第k+1次迭代控制輸入可表示為

(13)

同理

(14)

根據(jù)式(13)和式(14)可得

(15)

因為Q/(1+CG)=QS/(1+ΔWuT)，所以式(15)可變?yōu)?/p>

(16)

根據(jù)Parseval定理，式(16)可推導(dǎo)出

‖Vk+1-Vk‖2=‖vk+1-vk‖2

(17)

因為yd(t)有界，所以v1(t)也有界，則如圖1所示的反饋控制系統(tǒng)具有魯棒性。因為Q(s)穩(wěn)定，所以對于所有的k，式(15)中的vk(t)均有界。那么，若滿足條件

(18)

則當(dāng)k→∞時，迭代控制輸入vk(t)在L2范數(shù)下收斂于v(t)=L-1{V(s)}，如式(9)所示。將式(14)中的Vk(s)和Vk+1(s)換成V(s)，即可得到V(s)的收斂結(jié)果。根據(jù)式(7)和式(9)可得剩余誤差e(t)=L-1{E(s)}，如式(11)所示。因為如圖1所示的反饋控制系統(tǒng)具有魯棒性，所以可根據(jù)引理1將式(18)變成式(10)的形式。

(19)

選擇合適的V0(s)和Yd(s)，滿足

(20)

(21)

根據(jù)Parseval定理，式(21)可推導(dǎo)出

(22)

同理可得，對于所有的k均有‖Vk+1(s)-Vk(s)‖2≥‖Vk(s)-Vk-1(s)‖2。所以，若式(10)不成立，則迭代控制輸入隨著k的增加發(fā)散。因此，式(10)是ILC在L2范數(shù)下收斂的必要條件。

證畢。

注1：因為S(s)、Wu(s)和T(s)在設(shè)計C(s)時已經(jīng)確定，所以式(10)是否成立僅取決于Q(s)。為了保證收斂性、魯棒性和收斂速度，Q(s)應(yīng)該嚴(yán)格小于等于1，因此可將其設(shè)計為一個低通濾波器。

將收斂的迭代控制輸入v(t)加入到ILC系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出為

Y

Yd(當(dāng)Q→1時)。

(23)

也就是說，Q(s)越接近于1，y(t)跟蹤yd(t)的效果越好，e(t)越接近于0。當(dāng)Q(s)=1時跟蹤效果最好，因此可將Q(s)設(shè)計為幅值為1的低通濾波器，為改善跟蹤性能，其帶寬應(yīng)遠(yuǎn)大于yd(t)的帶寬。

根據(jù)定理1，利用性能加權(quán)函數(shù)設(shè)計ILC系統(tǒng)的收斂條件為：

定理2：對于如圖2所示的ILC系統(tǒng)，假設(shè)Wp(s)為Q(s)，其迭代學(xué)習(xí)律如式(7)所示，當(dāng)k→∞時，迭代控制輸入為

v

(24)

那么該系統(tǒng)收斂的充分必要條件是

‖|WpS|+|WuT|‖<1。

(25)

剩余誤差為

e

(26)

證明：將定理1中的Q(s)換為Wp(s)，定理2即可得證。

根據(jù)定理2，可以利用設(shè)計反饋控制器C(s)時的性能加權(quán)函數(shù)Wp(s)直接設(shè)計ILC控制器Q(s)。與其他方法相比，該方法不需要單獨設(shè)計Q(s)就能夠保證ILC系統(tǒng)的魯棒收斂。然而，當(dāng)且僅當(dāng)Wp(s)的幅值小于等于1時定理2才成立。由式(26)可知，當(dāng)Wp(s)的幅值大于1時，剩余誤差將大于學(xué)習(xí)之前的誤差，而且在設(shè)計反饋控制器時，為減小跟蹤誤差，選取的Wp(s)幅值通常都大于1。因此，為解決上述問題，需要對定理2做出如下修改。

定理3：對于如圖2所示的ILC系統(tǒng)，其迭代學(xué)習(xí)律如式(7)所示，當(dāng)k→∞時，迭代控制輸入如式(9)所示。那么該系統(tǒng)收斂的充分必要條件是

‖Q(s)/Wp(s)‖≤1。

(27)

剩余誤差如式(11)所示。

證明：由引理1和式(11)可得

|QS|+|WuT|≤|WpS|+|WuT|<1。

(28)

因為C(s)保證了反饋控制系統(tǒng)的魯棒性，所以式(27)成立就可以保證式(10)成立。

一般來說，在設(shè)計魯棒反饋控制器時使用的性能加權(quán)函數(shù)Wp(s)包含了控制系統(tǒng)的相關(guān)信息，例如控制帶寬、跟蹤誤差等。因此根據(jù)以上命題推導(dǎo)出利用Wp(s)設(shè)計Q(s)的3點標(biāo)準(zhǔn)如下：

1)Q(s)是幅值為1的低通濾波器，以保證系統(tǒng)的魯棒性會讓收斂性，減小剩余誤差；

2)Q(s)的帶寬應(yīng)遠(yuǎn)大于yd(t)的帶寬，以改善系統(tǒng)的跟蹤性能；

3)Q(s)的截止頻率應(yīng)小于等于Wp(s)的截止頻率，以保證Q(s)的階次大于等于Wp(s)的階次。

根據(jù)以上3點標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計出的Q(s)，其對數(shù)幅頻特性如圖3所示。該ILC控制器不僅保證了ILC系統(tǒng)的魯棒收斂，而且減少了計算量。

圖3　Q(s)的對數(shù)幅頻特性Fig.3　Frequency properties of Q(s)

3　交叉耦合控制器設(shè)計

3.1輪廓誤差模型

根據(jù)Koren和Lo在文獻(xiàn)[6]中提出的變增益CCC方法設(shè)計CCC控制器，該控制器在跟蹤非線性輪廓時，可以根據(jù)指令輪廓的變化調(diào)節(jié)修正補(bǔ)償增益，從而改善輪廓精度。

變增益CCC中任意軌跡輪廓誤差的幾何關(guān)系如圖4所示。ρ為指令位置R處的曲率半徑，O為ρ對應(yīng)的圓心，坐標(biāo)為(XO,YO)，θ為R處的切線與X軸的夾角。

則實際位置P的坐標(biāo) (XP,YP) 可以表示為：

(29)

(30)

任意軌跡指令的近似輪廓誤差ε可表示為

ε=cxex+cyey。

(31)

式中CCC增益cx和cy分別定義為：

(32)

式中ρ、ex和ey都隨指令軌跡的位置改變，因此cx和cy也會隨指令軌跡的位置改變。

圖4　任意軌跡輪廓誤差幾何關(guān)系圖Fig.4　Geometric diagram of contour error of random path

3.2變增益CCC控制器設(shè)計

直驅(qū)XY平臺控制系統(tǒng)框圖如圖5所示。圖中Cx(s)、Cy(s)和Qx(s)、Qy(s)分別為上一節(jié)設(shè)計的X、Y軸反饋控制器和ILC控制器，用以補(bǔ)償跟蹤誤差。KC(s)為CCC控制器，用以補(bǔ)償輪廓誤差，然后分解成X、Y軸的補(bǔ)償分量，再與跟蹤誤差量相加后得到控制輸入ux(t)和uy(t)。CCC增益cx和cy的具體形式見式(32)。

4　仿真及結(jié)果分析

本文各單軸所用的PMLSM相同，系統(tǒng)標(biāo)稱矩陣為

(33)

經(jīng)試湊，選擇不確定性加權(quán)函數(shù)為

(34)

選擇的性能加權(quán)函數(shù)為

(35)

圖5　直驅(qū)XY平臺控制系統(tǒng)框圖Fig.5　Block diagram of direct drive XY table

利用Matlab中魯棒工具箱計算的反饋控制器為

Cx(s)=Cy(s)=

(36)

此時‖|WpS|+|WuT|‖=0.316 4。根據(jù)第2節(jié)提出的3點標(biāo)準(zhǔn)ILC控制器為

(37)

此時‖|QxS|+|WuT|‖=‖|QyS|+|WuT|‖=0.148 4，滿足魯棒收斂條件。

CCC控制器為

(38)

期望輸出為四葉草軌跡，各單軸的期望輸出為

(39)

設(shè)定每次迭代時，系統(tǒng)擾動為-10～10 N的隨機(jī)值。

設(shè)置初始控制輸入ux0(t)=uy0(t)=0，迭代次數(shù)為8。

迭代過程中，跟蹤誤差的均方根如圖6所示，從圖中可以看出，雖然在隨機(jī)擾動下被控對象模型不確定模型，但是設(shè)計的反饋控制器Cx(s)、Cy(s)和ILC控制器Qx(s)、Qy(s)能夠有效地減小各單軸的跟蹤誤差，并使其收斂于0。輪廓誤差的均方根如圖7所示。從圖中可以看出，設(shè)計的CCC控制器KC(s)能夠有效地減小輪廓誤差，并在ILC下使其基本收斂于0。

圖6　跟蹤誤差的均方根Fig.6　The RMS of tracking error

圖7　輪廓誤差的均方根Fig.7　The RMS of contour error

圖8為利用本文設(shè)計的反饋控制器、魯棒ILC控制器和CCC控制器進(jìn)行圓形輪廓跟蹤后，期望輪廓和實際輪廓的對比圖。從圖中可以看出，實際輪廓與期望輪廓在8次迭代后就幾乎可以重合，實現(xiàn)了準(zhǔn)確的輪廓跟蹤。

圖8　期望輪廓與實際輪廓Fig.8　Desired and the actual contour

5　實驗及結(jié)果分析

為了進(jìn)一步驗證所提出控制方法的有效性，本文采用兩臺相互垂直的Kollmorgen公司的IC11-050A1系列PMLSM進(jìn)行實驗研究，其參數(shù)、位置給定、參數(shù)設(shè)置與仿真時相同。XY平臺實驗系統(tǒng)的硬件接線圖如圖9所示。各單軸位置傳感器均采用美國GSI公司的Micro-E Mercury II 1600-40型光柵編碼器，運動控制卡嵌入上位PC機(jī)的PIC插槽中，X-RS232為PC與X軸驅(qū)動器的通訊口，Y-RS232為PC機(jī)與Y軸驅(qū)動器的通訊口，通過連接對應(yīng)的通訊口調(diào)試每個軸的驅(qū)動器。

測試系統(tǒng)采用脈沖觸發(fā)方式，實驗所采用的直線電機(jī)為每個脈沖移動0.5 μm。在程序中將光柵尺采集的實際位置X與測試系統(tǒng)的脈沖數(shù)N做如下轉(zhuǎn)換

N=X/0.5。

(40)

迭代前后，各單軸的跟蹤誤差如圖10所示，從圖中可以看出，X軸的跟蹤誤差大約從0.01 m減小到0，Y軸的跟蹤誤差大約從0.02 m減小到0。迭代前后，輪廓誤差如圖11所示，從圖中可以看出，輪廓誤差大約從0.015 m減小到0。

圖10　迭代前后的跟蹤誤差Fig.10　Tracking error before and after ILC

圖11　迭代前后的輪廓誤差Fig.11　Contour error before and after ILC

6　結(jié)　論

本文為提高直驅(qū)XY平臺伺服系統(tǒng)的跟蹤精度和輪廓精度，首先利用性能加權(quán)函數(shù)在各單軸的設(shè)計了魯棒ILC控制器，通過ILC重復(fù)執(zhí)行任務(wù)直接減小跟蹤誤差，不僅保證了ILC系統(tǒng)的魯棒收斂，而且簡化了設(shè)計的復(fù)雜性。然后利用變增益CCC方法在兩軸間設(shè)計了CCC控制器，直接減小輪廓誤差，使實際輪廓隨迭代過程不斷逼近期望輪廓。仿真結(jié)果表明，設(shè)計控制器的有效性，在簡化設(shè)計的同時，不但保證了系統(tǒng)的魯棒收斂，而且提高了跟蹤精度和輪廓精度。

[1]葉云岳．直線電機(jī)原理與應(yīng)用[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000：1-10．

[2]王先逵．現(xiàn)代制造技術(shù)及其發(fā)展趨向[J]．現(xiàn)代制造工程， 2008，1(1)：1-8．

WANG Xiankui．Modern manufacturing technology and its development[J]．Modern Manufacturing Engineering，2008，1(1)：1-8．

[3]劉成穎，王昊，張敬之，等．基于非線性電感分析的永磁直線同步電機(jī)電磁推力特性研究[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報，2011，31(30)：69-76．

LIU Chengying，WANG Hao，ZHANG Jingzhi，et al．Research on thrust characteristics in permanent magnet linear synchronous motor based on analysis of nonlinear inductance[J]．Proceedings of the CSEE，2011，31(30)：69-76．

[4]ZHU Y W，LEE S G，CHUNG K S，et al．Investigation of auxiliary poles design criteria on reduction of end effect of detent force for PMLSM[J]．IEEE Transactions on Magnetics，2009，45(6)：2863-2866．

[5]YOUN S W，LEE J J，YOON H S，et al．A new cogging-free permanent-magnet linear motor[J]．IEEE Transactions on Magnetics，2008，44(7)：1785-1790．

[6]KOREN Y，LO C C．Variable-gain cross-coupling controller for contouring[J]．Annals of the CIRP，1991，104：371-374．

[7]叢爽，劉宜．多軸協(xié)調(diào)運動中的交叉耦合控制[J]． 機(jī)械設(shè)計與制造，2006(10)：166-168．

CONG Shuang，LIU Yi． Cross-coupling control in multi-axis coor-dinated motion[J]． Machinery Design and Manufacture，2006(10)：166-168．

[8]王麗梅,武志濤,孫宜標(biāo),等．直接驅(qū)動XY平臺輪廓誤差分析及法向交叉耦合控制[J]．電機(jī)與控制學(xué)報,2010,14(9): 63-68．

WANG Limei， WU Zhitao， SUN Yibiao，et al．Contour error analysis and normal cross-coupled control for direct drive XY table [J]．Electric Machines and Control,2010,14(9): 63-68．

[9]王麗梅，左瑩瑩．基于RBF神經(jīng)滑模的XY平臺迭代交叉耦合控制[J]．沈陽工業(yè)大學(xué)報，2014,36(1)：1-6．

WANG Limei，ZUO Yingying．Iterative cross-coupled control for XY table based on RBF neural sliding mode[J]．Journal of Shenyang University of Technology，2014,36(1)：1-6．

[10]趙希梅，郭慶鼎．為提高輪廓加工精度采用DOB和 ZPETC的直線伺服魯棒跟蹤控制[J]．電工技術(shù)學(xué)報，2006，21(6)：111-114．

ZHAO Ximei，GUO Qingding．Linear servo robust tracking control based on DOB and ZPETC to improve the contour machining precision[J]．Transactions of China Electrotechnical Society，2006，21(6)：111-114．

[11]石陽春，周云飛，李鴻，等．長行程直線電機(jī)的迭代學(xué)習(xí)控制[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報，2007，27(24)：92-96．

SHI Yangchun，ZHOU Yunfei，LI Hong，et al．Research on iterative learning control to long stroke linear motor[J]．Proceedings of the CSEE，2007，27(24)：92-96．

[12]DE Roover D，BOSGRA O H，STEINBUCH M．Internal-model-based design of repetitive and iterative learning controllers for linear multivariable systems[J]．International Journal of Control，2000，73(10): 914-929．

[13]逄勃．優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制算法及其收斂性分析[D]．大連：大連理工大學(xué)，2013．

[14]楊俊友，劉永恒，白殿春，等．基于迭代學(xué)習(xí)與小波濾波器的永磁直線伺服系統(tǒng)擾動抑制[J]．電工技術(shù)學(xué)報，2013，28(3)：87-92．

YANG Junyou，LIU Yongheng，BAI Dianchun，et al．Disturbance rejection for PMLSM based on iterative learning control and wavelet filter[J]．Transactions of China Electrotechnical Society， 2013，28(3)：87-92．

[15]郝曉弘，胡振邦，朱潔，等．迭代學(xué)習(xí)控制的研究現(xiàn)狀[J]．微型機(jī)與應(yīng)用，2010(11)：1-4．

HAO Xiaohong，HU Zhenhang，ZHU Jie，et al．The present situation of research on iterative learning control[J]．Microcomputer and Its Applications，2010(11)：1-4．

[16]BARTON K L，ALLEYNE A G．A cross-coupled iterative learning control design for precision motion control[J]．Control Systems Technology，IEEE Transactions on，2008，16(6)：1218-1231．

[17]夏加寬，張琳娜，孫宜標(biāo)，等．直線電機(jī) XY 平臺交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制[J]．沈陽工業(yè)大學(xué)報，2013,35 (1)：1-5．

XIA Jiakuan，ZHANG Linna，SUN Yibiao，et al．Cross-coupled iterative learning control for XY table of linear motor[J]．Journal of Shenyang University of Technology，2013，35 (1)：1-5．

[18]蘭水紅，羅毅平．線性不確定系統(tǒng)的魯棒D型迭代學(xué)習(xí)控制[J]．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2011，31(6)：697-708．

LAN Shuihong，LUO Yiping．Robust D-type iterative learning control of the linear uncertain systems[J]．Systems Science and Mathematical Sciences，2011，31(6)：697-708．

[19]張宏偉，余發(fā)山，卜旭輝，等．基于魯棒迭代學(xué)習(xí)的永磁直線電機(jī)控制[J]．電機(jī)與控制學(xué)報， 2012，16(6)：81-86．

ZHANG Hongwei，YU Fashan，BU Xuhui，et al．Robust iterative learning control for permanent magnet linear motor[J]．Electric Machines and Control， 2012，16(6)：81-86．

[20]嚴(yán)求真，孫明軒．一類非線性系統(tǒng)的誤差軌跡跟蹤魯棒學(xué)習(xí)控制算法[J]．控制理論與應(yīng)用，2013，30(1)：23-30．

YAN Qiuzhen，SUN Mingxuan．Error trajectory tracking by robust learning control for nonlinear systems[J]．Control Theory and Applications，2013，30(1)：23-30．

[21]朱驍，黨選舉，徐小平．永磁直線同步電動機(jī)的改進(jìn)型迭代學(xué)習(xí)控制[J]．電氣傳動，2012，42(10)：54-58．

ZHU Xiao，DANG Xuanju，XU Xiaoping．Improved iterative learning method for permanent magnet linear synchronous motor control[J]．Electrical Automation,2012，42(10)：54-58．

[22]DOYLE J C，F(xiàn)RANCIS B A，TANNENBAUM A R．Feedback control theory[M]．Courier Corporation，1992．

(編輯：劉琳琳)

Improved robust iterative learning control of direct driven XY table

WANG Li-mei，SUN Lu

(School of Electrical Engineering,Shenyang University of Technology,Shenyang 110870,China)

In the direct-driven XY table system of robust cross-coupled control (CCC),the designing process of iterative learning control (ILC) controller does not fully make use of the effective information of robust control,thus it increases the complexity.In order to solve this problem,the ILC controllers were designed in each axis with the performance weighting function that ensures the robustness,according to the robust condition of the direct-driven system with uncertainty and the robust convergence condition of the ILC in L2norm sense.Model of the direct-driven XY table system was established,and the designing methods were proposed both for the robust ILC controller in each axis and for the vary-gain CCC controller between two axes.Compared with the traditional ILC,this method guarantees the robustness,simplifies the process and improves the tracking and contour performances.At last the simulation and experiment results show the effectiveness of the proposed method.

iterative learning control(ILC)；robust control；cross-coupling control(CCC)；direct-driven XY table；performance weighting function

2015-09-07

國家自然科學(xué)基金(51175349)；遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計劃資助(LR2013006)

王麗梅(1969—)，女，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為交流伺服系統(tǒng)、智能伺服控制方法、直線伺服電機(jī)及其控制方法、無傳感器控制方法以及電氣運動控制等；

孫璐(1990—)，女，碩士，研究方向為直接驅(qū)動技術(shù)、迭代學(xué)習(xí)控制算法。

王麗梅

10.15938/j.emc.2016.09.001

TM 315

A

1007-449X(2016)09-0001-08