王玉光，李亞男

（1.寧夏大學(xué)　數(shù)學(xué)計算機學(xué)院，寧夏　銀川　750021；2.河南理工大學(xué)　萬方科技學(xué)院，河南　焦作　453000）

球面方程的不同形式及其應(yīng)用

王玉光1，李亞男2

（1.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機學(xué)院，寧夏銀川750021；2.河南理工大學(xué)萬方科技學(xué)院，河南焦作453000）

球面是幾何學(xué)研究的重要對象，根據(jù)球面方程的不同形式，給出了其在解析幾何、微分幾何和數(shù)學(xué)分析等課程的理論學(xué)習(xí)及實際生活中的一些應(yīng)用.

球面；方程形式；應(yīng)用

球面在實際生活當中有著重要應(yīng)用，也是幾何學(xué)研究的一個重要對象.幾何上很多著名的定理都和球面有關(guān)，著名的龐加萊猜想就是其中一個典型代表.在高校數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的多門數(shù)學(xué)課程中，如解析幾何，數(shù)學(xué)分析，微分幾何，高等幾何等，有很多地方都涉及到球面.所以，掌握球面的常見表示形式，知道其相互聯(lián)系和區(qū)別，并靈活地加以應(yīng)用，不論對學(xué)生興趣的培養(yǎng)、知識的學(xué)習(xí)還是能力的提高都有積極的幫助.根據(jù)近年來承擔(dān)寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)大類相關(guān)專業(yè)幾何學(xué)教學(xué)改革的實踐經(jīng)歷，以“球面方程的常見形式及其應(yīng)用”為例，介紹了課堂教學(xué)的詳細過程，根據(jù)球面方程的不同形式，給出了其在解析幾何、微分幾何和數(shù)學(xué)分析等課程的理論學(xué)習(xí)及實際生活中的一些應(yīng)用，最后提出課程教學(xué)改革的一些建議.

所謂球面，是在空間中到定點的距離等于定長的點的集合，其中定點叫做球心，定長叫做半徑.為了方便，除非特別說明，否則下文所說球面都指球心在原點，半徑為a的球面，所有的圖形，都是在右手笛卡爾直角坐標系下而言.

1　普通方程

在空間單位直角坐標系下，球面普通方程的形式為

2　向量方程

在空間單位直角坐標系下，球面向量方程的形式為

3　參數(shù)方程

在空間單位直角坐標系下，球面的參數(shù)方程可以表示為

除了上述地理坐標的實際用途外，（3）中參數(shù)方程對于計算球面的面積也有方便之處.由內(nèi)蘊幾何知識可知，曲面域的面積由其第一基本形式完全確定，所以球面的面積

除了上面介紹的地理坐標參數(shù)表示，還有其他一些類似的表示方法，如天文學(xué)、測量學(xué)、地質(zhì)學(xué)以及結(jié)晶學(xué)等中的赤道坐標系參數(shù)表示和水平坐標系參數(shù)表示.這些本質(zhì)上和地理坐標參數(shù)表示是類似的，有興趣的同學(xué)可以查閱進一步資料和文獻.

4　球坐標方程

當建立了空間球坐標系后，空間任一點的直角坐標和球坐標之間有如下關(guān)系

其中參數(shù)的變化范圍是ρ≥0；0≤φ≤2π；0≤?≤π.需要注意的是，和（3）中的參數(shù)相比較，φ的幾何意義相同，只是為了方便變化范圍換成了［0，2π］；?則是θ的余角，即空間任一點的向徑和z軸正向的夾角，同樣為了方便其變化范圍換成了［0，π］.

在球坐標系下，球面的方程有更簡潔的形式，即

仍考慮球面圍成的空間立體的體積

5　球極投影

球極投影也是表示球面的一種重要形式，其起源至少追溯到古希臘托勒密甚至歐多克斯時代，其思想源自光的直線傳播.把球面放在一平面上，假設(shè)在球面的最高點（稱為北極）有一光源，則由其發(fā)出的光穿過球面上任一點之后一定射向平面上的一點，將平面上的點作為球面上點的對應(yīng)點，這就是球極投影.

顯然，除北極外，球面上點和平面上的點一一對應(yīng).在直角坐標系下，球面和平面的參數(shù)方程可以分別表示為

6　麥卡托投影

除了球極投影外，麥卡托投影也是將球面變換到平面的一種常見方式.仍考慮球面的參數(shù)方程（3），易知此時球面的第一基本形式為

從而可以按上述變換將球面保角變換到平面上，此時變換后的圖形是平面上一個帶形區(qū)域

球面中的經(jīng)線變成xoy平面和y軸平行的直線，球面中的緯線變成變成xoy平面和x軸平行的直線段，這也是通常世界地圖的一種制作原理.16世紀麥卡托首先用這種方法，所以一般也稱作麥卡托投影.

然而需要說明的是，盡管麥卡托投影可以用來制作世界地圖，但是該投影也并不是將球面變換到平面上一個有界區(qū)域，而是對極點附近也做了模糊處理.比較麥卡托投影和球極投影可以發(fā)現(xiàn)，相同之處是兩者都是球面到平面的保角變換，不同之處主要在于前者將球面變到平面一帶形區(qū)域，后者將球面變到平面一上下左右都無界的區(qū)域.而且易知，這兩種變換后的圖形之所以無界主要是由于極點附近的點所致.由此可見，在上述兩個對應(yīng)下，極點及附近的點可能是一些性質(zhì)比較“壞”的點.

既然球極投影和麥卡托投影都不能將球面變換到平面上一個有界區(qū)域內(nèi)，那么，能不能找到一個變換能將球面變換到平面上一個有界區(qū)域內(nèi)？答案是否定的.這是因為三維空間的可展曲面只有柱面、錐面和空間曲線的切線曲面這三類曲面，或者說只有高斯曲率恒為0的曲面.而球面的高斯曲率為正常數(shù)，從而不可展，更不必說展開到平面上的一個有界區(qū)域了.

〔1〕呂林根，許子道.解析幾何（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2009.

〔2〕梅向明，黃敬之.微分幾何（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

〔3〕宋鴻藻，等.微分幾何及其應(yīng)用［M］.開封：河南大學(xué)出版社，1994.

〔4〕張奠宙，沈文選.中學(xué)幾何研究［M］.北京：高等教育出版社，2006.

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A

1673-260X（2016）04-0009-02

2015-10-13

寧夏大學(xué)科學(xué)研究基金（ZR1414）