王穎俐，李海增

（長治學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西長治046011）

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超市結(jié)算方式的優(yōu)化

王穎俐，李海增

（長治學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西長治046011）

文章應(yīng)用M/M/c/∞排隊模型理論對某鎮(zhèn)一小超市的結(jié)算方式進(jìn)行優(yōu)化。首先對已有數(shù)據(jù)建立已有模式和倡議模式的排隊模型，進(jìn)而通過對比這兩種模型的排隊指標(biāo)，得到該超市的較優(yōu)結(jié)算方式。

超市；結(jié)算方式；M/M/c/∞排隊模型；排隊指標(biāo)

在諸如超市等一些客流量較大而結(jié)賬款臺較少導(dǎo)致需要排隊等候結(jié)算服務(wù)的場所，因現(xiàn)行的結(jié)賬方式延長了顧客排隊等候的時間，造成他們不滿情緒。然而如何進(jìn)行結(jié)算方式結(jié)構(gòu)的合理調(diào)整，一直是服務(wù)機(jī)構(gòu)經(jīng)營者需要解決的問題。

已有的超市結(jié)算模式是多個服務(wù)窗口獨立服務(wù)，遵循先到先接受服務(wù)的原則，其中一些顧客購買的件數(shù)相對多，一些顧客購買的件數(shù)相對少，但由于服務(wù)機(jī)制的限制，那些購買件數(shù)少的顧客在需要長時間排隊等候時可能會選擇放棄購買而離開。能否借鑒排隊論模型在其他系統(tǒng)，諸如企業(yè)組織結(jié)構(gòu)優(yōu)化[1]、銀行窗口設(shè)置優(yōu)化[2]、天車合理數(shù)量的確定[3]等方面的應(yīng)用，對各類服務(wù)分類辦理，這樣可能會優(yōu)化服務(wù)機(jī)制。于是筆者建立倡議模型，并通過對比兩模型的排隊指標(biāo)，從而得出結(jié)論。

現(xiàn)根據(jù)某鎮(zhèn)一小超市的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。該超市有4個獨立工作的結(jié)算臺，所有結(jié)算臺均適用現(xiàn)金或銀行卡結(jié)算的方式，每個結(jié)算臺為各個顧客結(jié)賬的時間與該顧客所購物品件數(shù)成正比（每件約需2秒），顧客付款時約需0.5分鐘。在文獻(xiàn)[6]中已經(jīng)討論過最佳款臺數(shù)量的設(shè)置，為使顧客的滿意度達(dá)到最大，現(xiàn)倡議設(shè)其中一個為快速結(jié)賬臺，專門為購買4個或4個以下商品的顧客服務(wù)，另外三個款臺為購買數(shù)量大于4件的顧客服務(wù)。文章將倡議模型與已有模型進(jìn)行對比，從而對超市的結(jié)算方式進(jìn)行優(yōu)化。在文中假設(shè)顧客到達(dá)的平均時間間隔為0.5分鐘，顧客購買件數(shù)遵從如下頻數(shù)分布表。

表1?。?014年某超市顧客購買商品件數(shù)頻率表

1　M/M/c/∞模型介紹

文章考慮M/M/c/∞排隊模型[7]，在該模型中有c個結(jié)算臺獨立地并行服務(wù)。假定顧客的到達(dá)服從參數(shù)為λ（λ＞0）的泊松過程，若顧客到達(dá)時，結(jié)算臺全部空閑，則立即接受服務(wù)；否則排隊等待，直到結(jié)算臺空閑接受完服務(wù)后離開。服務(wù)原則是先到先服務(wù)。

系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，即p＜1時，有

又由Little公式[7]，對平均等待時間和平均逗留時間有：

特別的，當(dāng)系統(tǒng)中只有一個結(jié)算臺時，系統(tǒng)變?yōu)镸/M/c/∞，此時有：

2　已有模型與倡議模型的建立

2.1已有模型

根據(jù)文章探討的內(nèi)容，該排隊模型如圖1所示。

圖1　已有系統(tǒng)的服務(wù)示意圖

對于每位顧客，若設(shè)其購買N件物品的概率為PN，分析購買商品數(shù)的所有可能情況，則購買商品數(shù)在區(qū)間[ai，bi]的平均件數(shù)Ni為：

結(jié)算人員為每位顧客計算應(yīng)付金額時間tN為：

結(jié)算人員為每位顧客服務(wù)的平均時間T為：

從而：

2.2倡議模型

該模型的服務(wù)示意圖如下圖2所示。

圖2　倡議系統(tǒng)的服務(wù)示意圖

對結(jié)算臺1，專門為購買4個或者4個以下商品的顧客服務(wù)，對應(yīng)已有模型,有：

其中k1表示顧客購買商品數(shù)在第一個區(qū)間所占全部區(qū)間的比重。

對于結(jié)算臺2,3,4，是為購買商品數(shù)量在4個以上的顧客結(jié)算，可得：

3　結(jié)論及分析

由等式（1-5）以及排隊論理論知識,可得現(xiàn)有模型的在系統(tǒng)達(dá)到平衡時的一些指標(biāo)，如表2所示。

表2　已有的模型在系統(tǒng)達(dá)到平衡時的指標(biāo)

聯(lián)立等式（6-11）以及應(yīng)用排隊論中的M/M/1/∞及M/M/3/∞相關(guān)理論，可得倡議模型在系統(tǒng)達(dá)到平衡時的一些重要指標(biāo)，如下表3所示。

表3　倡議模型在系統(tǒng)平衡時的指標(biāo)

對比表2和表3，可得：倡議模型比現(xiàn)有模型在客戶滿意度上有較大的改善。所以筆者的建議是：如果超市采納了倡議模型，那么顧客的滿意度將更高，從而使超市的經(jīng)營效率得到很大提升。

經(jīng)過計算分析發(fā)現(xiàn)，倡議模型使得超市的款臺結(jié)算要比以往簡單的多，減少了顧客的等待時間，提高了顧客對超市的滿意度，能夠較好的滿足超市經(jīng)營效益和客戶滿意度雙贏的需求。因此，建議超市管理人員隊結(jié)算臺做出必要的調(diào)整，提高超市的經(jīng)營效益。

［1］顧元勛.基于排隊論的企業(yè)組織結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究［J］,系統(tǒng)工程理論與實踐，2000,20(12):57-62.

［2］楊米沙.銀行排隊系統(tǒng)數(shù)據(jù)分析及窗口設(shè)置優(yōu)化研究［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報,2008,4(30):624-627.

［3］趙援.基于排隊論的天車合理數(shù)量的確定［J］.物流技術(shù),2008,27(8):217-219.

［4］徐玖平,胡知能.運籌學(xué)——數(shù)據(jù)·模型·決策（第二版）［M］.北京:科學(xué)出版社.2009.

［5］嚴(yán)智淵.排隊論及其應(yīng)用［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報, 1980,(3):157-166.

［6］王穎俐.基于M/M/c/∞排隊模型分析超市收銀臺數(shù)量［J］.太原師范學(xué)院學(xué)報,20015,(2)：8-10:.

［7］孫榮恒,李建平.排隊論基礎(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社,2001.

［8］方兆本,繆柏其.隨機(jī)過程(第三版)［M］.北京:科學(xué)出版社,2011.

（責(zé)任編輯趙巨濤）

Wang Ying-li，Li Hai-zeng
（Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi,046011）

O226

A

1673-2014（2016）02-0040-03

長治學(xué)院課題（201412）。

2015—10—22

王穎俐（1987—），女，山西臨汾人，碩士，講師，主要從事時間序列分析及排隊論等領(lǐng)域的研究。

李海增（1964—），男，山西平順人，副教授，主要從事概率統(tǒng)計等領(lǐng)域的研究。