王福謙

（長(zhǎng)治學(xué)院電子信息與物理系，山西長(zhǎng)治046011）

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線(xiàn)電荷與接地開(kāi)縫平面導(dǎo)體所形成的電場(chǎng)

王福謙

（長(zhǎng)治學(xué)院電子信息與物理系，山西長(zhǎng)治046011）

線(xiàn)電荷與接地開(kāi)縫平面導(dǎo)體所形成的電場(chǎng)的研究，可通過(guò)復(fù)數(shù)坐標(biāo)系Z上的施瓦茨—克利斯多菲變換及其反變換，將ζ平面上寬度為S的開(kāi)縫平面導(dǎo)體，映射為Z平面上的無(wú)開(kāi)縫平面導(dǎo)體，利用平面鏡像法計(jì)算線(xiàn)電荷與無(wú)開(kāi)縫平面導(dǎo)體所形成的電場(chǎng)，再通過(guò)施瓦茨—克利斯多菲的反變換關(guān)系，得到線(xiàn)電荷與開(kāi)縫平面導(dǎo)體所形成的電場(chǎng)，并根據(jù)該電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，利用軟件MATLAB繪制出其電場(chǎng)線(xiàn)和等勢(shì)線(xiàn)圖。由線(xiàn)電荷與開(kāi)縫平面導(dǎo)體所形成電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)圖，可以部分地說(shuō)明利用金屬網(wǎng)罩而無(wú)須空腔導(dǎo)體就能夠?qū)崿F(xiàn)靜電屏蔽的原理。

線(xiàn)電荷；接地開(kāi)縫導(dǎo)體平面；施瓦茨—克利斯多菲變換；復(fù)勢(shì)

關(guān)于線(xiàn)電荷與接地開(kāi)縫平面所形成的電場(chǎng)，通常的解法是求解電場(chǎng)所在區(qū)域的泊松方程，但該問(wèn)題中的靜電場(chǎng)邊界形狀比較復(fù)雜，邊界的一部分為帶有縫隙的導(dǎo)體板，其余邊界則位于無(wú)限遠(yuǎn)處，用分離變量法和格林函數(shù)法求解電場(chǎng)的分布遇到了困難。為了簡(jiǎn)化此邊值問(wèn)題的求解，文章將首先通過(guò)施瓦茨—克利斯多菲變換，消去接地導(dǎo)體板上的開(kāi)縫，實(shí)現(xiàn)從廣義四角形到上半平面間的變換，然后利用鏡像法求解場(chǎng)的分布。

1　變換與反變換函數(shù)

設(shè)有接地大金屬板帶有寬度為S直縫隙（如圖1所示），在導(dǎo)體板的上方，平行于開(kāi)縫方向放置一電荷線(xiàn)密度為λ的帶電線(xiàn)，對(duì)于此平行平面場(chǎng)，取垂直于荷電線(xiàn)的任一截面為復(fù)平面ζ，并在此平面上建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為導(dǎo)體板開(kāi)縫的中點(diǎn)，帶電線(xiàn)在該復(fù)平面上的位置為P（ξ0，η0）。

圖1　線(xiàn)電荷與接地開(kāi)縫平面導(dǎo)體

圖2　由廣義四角形到上半平面的映射

表1　

下面利用施瓦茨—克利斯多菲變換公式，求出變換函數(shù)。對(duì)于此變換情形，施瓦茨—克利斯多菲變換公式的具體形式[1]、[2]為：

式中A、B均為積分常數(shù)（復(fù)數(shù)）。

按表1，對(duì)選取的xi，由式（1），有

式（3）、（4）為通過(guò)施瓦茨-克利斯多菲變換得到的變換與反變換函數(shù)。式（3）可實(shí)現(xiàn)Z平面的上半平面[見(jiàn)圖2（b）]到w平面上的廣義四角形內(nèi)域[如圖2（a）]的變換。在Z平面上以S/2為半徑作一半圓，則將上半平面化分為如圖3（a）所示的1、2、3、4四個(gè)區(qū)域，經(jīng)分析與計(jì)算，ζ平面上如圖3（b）所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)象限與Z平面四個(gè)區(qū)域的對(duì)應(yīng)關(guān)系及反變換式，由圖3和式（5）給出。

圖3　Z平面上的四個(gè)區(qū)域和ζ平面上的四個(gè)象限

2　ζ平面上電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)

對(duì)于線(xiàn)電荷在ζ平面上的位置P（ξ0，iη0），設(shè)P位于第一象限,則變換后線(xiàn)電荷在Z平面上的位置為：

據(jù)式（6），可由平面鏡像法得出Z平面上半空間的復(fù)電勢(shì)分布[3]為：

由變換式（4），得ζ平面上的復(fù)勢(shì)為：

由式（5）可知,對(duì)于ζ平面上的Ⅰ、Ⅲ象限，上式中的號(hào)取+號(hào)；對(duì)Ⅱ、Ⅳ象限上式中的±號(hào)取-。

對(duì)式（9），由ζ=ξ+iη，得：

上式對(duì)ζ平面上的Ⅰ、Ⅲ象限，式中的±或m號(hào)取其上號(hào)，而對(duì)Ⅱ、Ⅳ象限則取其下號(hào)。

式（10）為ζ平面上的靜電場(chǎng)復(fù)勢(shì)表達(dá)式。顯而易見(jiàn)，其實(shí)部為電勢(shì)函數(shù)u，利用電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的微分關(guān)系E=-▽u可得到線(xiàn)電荷與接地開(kāi)縫平面所形成電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的矢量表達(dá)式；而分別令復(fù)勢(shì)的實(shí)部和虛部分別為常數(shù)，則可方便地得出該電場(chǎng)的等勢(shì)線(xiàn)方程和電場(chǎng)線(xiàn)方程。

3　電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)圖及其所反映的場(chǎng)的特征

圖4　線(xiàn)電荷與接地開(kāi)縫導(dǎo)體板所形成電場(chǎng)的電力線(xiàn)和等勢(shì)面圖

圖4為利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB由復(fù)勢(shì)函數(shù)式（9）繪制出的線(xiàn)電荷與開(kāi)縫接地平面所形成電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)和等勢(shì)線(xiàn)（面）的分布圖（綠色曲線(xiàn)代表電場(chǎng)線(xiàn)，彩色曲線(xiàn)代表等勢(shì)線(xiàn)，電勢(shì)單位為λ/2πε0，λ=10-8C/m，S=2 m，ξ0=2 m，η0=2 m）。

由圖4可以看出線(xiàn)電荷與開(kāi)縫接地平面所形成電場(chǎng)的分布特征：電場(chǎng)線(xiàn)均垂直于導(dǎo)體平板表面，在這一點(diǎn)上并沒(méi)有受到板上縫隙的影響，與物理實(shí)際相符合；電場(chǎng)線(xiàn)的絕大部分終止于接地開(kāi)縫導(dǎo)體板的上表面，只有少量的電場(chǎng)線(xiàn)穿過(guò)了縫隙并終止于導(dǎo)體板的下表面或無(wú)窮遠(yuǎn)處，這反映出導(dǎo)體板下方的電場(chǎng)遠(yuǎn)比上方弱，并且導(dǎo)體板上的縫隙寬度越小，板下方的電場(chǎng)越弱；在縫寬一定的情況下，距縫隙下方越遠(yuǎn)的地方，場(chǎng)強(qiáng)越小，超過(guò)一定的距離，便可認(rèn)為場(chǎng)強(qiáng)為零。由此可以解釋利用金屬網(wǎng)罩而無(wú)需使用空腔導(dǎo)體即可獲得很好的屏蔽效果的原因。

［1］吳萬(wàn)春.電磁場(chǎng)理論[M］.北京：電子工業(yè)出版社，1985.

［2］梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［3］沈熙寧.電磁場(chǎng)與電磁波［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

（責(zé)任編輯郝瑞宇）

Wang Fu-qian
（Department of Physics Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

O44

A

1673-2014（2016）02-0001-04

山西省自然科學(xué)基金（2012011028-1）。

2015—12—09

王福謙（1957—），男，山西臨猗人，教授，主要從事電磁場(chǎng)理論及場(chǎng)結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬研究。