余柏林

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高等代數(shù)與解析幾何課程教學現(xiàn)狀分析及其提高教學質量的途徑

余柏林

（淮陰工學院 數(shù)理學院，江蘇 淮安 223003）

以在高等代數(shù)與解析幾何課程實踐教學中積累的經(jīng)驗為基礎，結合對該課程教學現(xiàn)狀的問卷調查與分析，針對當前出現(xiàn)的普遍問題提出相應的改進措施，為提高高等代數(shù)與解析幾何課程教學質量提供參考．

高等代數(shù)與解析幾何；教學現(xiàn)狀；教學質量

隨著我國高等教育改革，尤其是課程教學改革的不斷深入和發(fā)展，如何讓學生在相同或更少的時間內學會更多的知識，培養(yǎng)成素質高、能力強的復合創(chuàng)新型人才，已成為當前課程改革的核心問題．作為數(shù)學專業(yè)學生的傳統(tǒng)課程，高等代數(shù)和解析幾何互為方法、相互交融．隨著理工科院校新課程的開設及其學時的增加，分別開設高等代數(shù)和解析幾何2門課程無疑將占用較多課時．因此，將高等代數(shù)和解析幾何2門課程合并為1門課程進行教學是非常必要的．這也得到了陳省身、楊忠道和王叔平等數(shù)學家的倡導．南開大學孟道驥教授的專著《高等代數(shù)與解析幾何》[1]一書于1998年率先出版．而后，華東師范大學的陳志杰教授編著的《高等代數(shù)與解析幾何》等一系列將高等代數(shù)和解析幾何2門課程合并為1門的教材[2-3]相繼出版．將高等代數(shù)和解析幾何2門課程合并進行一體化教學，不僅能節(jié)省出許多的學時，而且不會削減過多的教學內容．從某種意義上說，反而使這2門課程得到加強．但在實際的教學過程中，由于代數(shù)與幾何合并教學的特點，教師教學水平和學生學習能力等方面的原因，高等代數(shù)與解析幾何課的教學質量不盡如人意，出現(xiàn)教學效果不好，學生不愿意學的局面，難以實現(xiàn)培養(yǎng)學生數(shù)學能力的目的．本文以在高等代數(shù)與解析幾何課實踐教學中積累的經(jīng)驗為基礎，結合對該課程教學現(xiàn)狀的問卷調查與分析，針對當前出現(xiàn)的普遍問題提出相應的改進措施，為提高高等代數(shù)與解析幾何課程教學質量提供參考．

1 高等代數(shù)與解析幾何課程教學現(xiàn)狀

為全面把握高等代數(shù)與解析幾何課程教學現(xiàn)狀，充分了解學生在學習本門課程時所面臨的困難，設計了包含對本課程的整體認識、障礙大小程度、概念理解、性質推導、定理證明、知識的應用及習題的完成等方面在內的問卷調查表．本次調查的對象從信息與計算科學專業(yè)各年級學生中選出，共計70名學生.

在對課程整體認識方面，約13％的學生認為高等代數(shù)與解析幾何課程非常難學，約82％的學生認為難學，對本門課程不感興趣和很不感興趣．有如此多的學生認為本課程難學和不感興趣，是教學中所不曾設想到的．為了解學生認為本課程難學和不感興趣的原因，在調查表中設計了讓學生按學習困難的大小程度進行排序，結果見表1．

表1　學習困難原因

注：表中數(shù)字代表學生人數(shù)．

由表1可以看出，約67％的學生認為本課程的概念多，概念多且抽象是學生認為本課程難學和不感興趣的第1位原因，而約27%的學生認為概念多且抽象應是本課程難學的第2位原因；約58％的學生認為本課程的理論多且計算量大是本課程難學的第3位原因；50％的學生認為本課程的定理證明過于復雜是本課程難學的第2位原因，而認為定理證明過于復雜是第1位原因和第3位原因的分別約占26％和24％；約73％的學生認為自身數(shù)學基礎差是本課程難學的第4位原因．可以得出，絕大多數(shù)學生認為本課程學習困難的大小程度順序為：概念多且抽象、理論多且計算量大、定理證明復雜、自身的數(shù)學基礎差．

通過調查，發(fā)現(xiàn)只有21％的學生基本能理解高等代數(shù)與解析幾何課程中的抽象概念，而大多數(shù)學生（占73％）對本課程中數(shù)學概念都是似懂非懂，沒有形成自己對概念的認識；大約有70％的學生分別對性質推導、定理證明過程的理解是似懂非懂，在課后則不能獨立、完整、正確地完成相關作業(yè)．在對似懂非懂地理解數(shù)學概念的這部分學生進行的調查中，發(fā)現(xiàn)大約21.4%的學生是由于跟不上教學進度，導致部分內容前后銜接不上問題；有14.3%的學生根本不懂，不明白所講概念是怎么回事．余下的64.3%的學生則是對相關數(shù)學概念形成不了整體認識，沒有自己的理解和體會．

對不能獨立完整地完成相關作業(yè)的這部分學生進行調查，發(fā)現(xiàn)大約54.3%的學生是缺乏明確的求解問題思路，不能完整解決問題；45.7%的學生根本找不到問題的求解思路．

從問卷調查情況看，在本課程的學習中，大多數(shù)學生在數(shù)學抽象概念、理論性質推導．定理證明的理解、掌握以及靈活運用上都有很大困難．這些困難應排在導致本課程難學成因的第1位到第3位，也是學生學習中存在的最主要困難．

2 成因分析

通過對學習困難原因分析，歸納起來主要有3個層面：高等代數(shù)和解析幾何課程自身的特點，教師的“教”和學生的“學”．

2.1高等代數(shù)與解析幾何課程自身的特點

雖然高等代數(shù)與解析幾何課程的部分研究對象比較具體，如多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣和二次型等，但是本門課程的數(shù)學概念非常多，學生往往搞不清楚這些數(shù)學概念之間的關系．如學生很容易混淆矩陣的等價、相似和合同等概念，不能明確這些概念之間的區(qū)別與聯(lián)系．

課程教學內容非常抽象．形式化、符號化及公理化是本課程中相關數(shù)學概念的顯著特點．如線性空間，線性相關與線性無關，線性子空間的直和、同構，線性變換，線性空間同構與對偶空間，內積空間等概念．教材上，這些理論的組織基本上是從理論到理論，從符號到符號，缺少具體直觀的數(shù)學或物理模型．本課程現(xiàn)行教材這種“重理論、輕應用”，“重公式推導、輕數(shù)值計算”的特點，不符合信息與計算科學專業(yè)的辦學特色與人才培養(yǎng)目標．學生缺乏對相關概念的感性認知和其應用背景的了解．因此，對概念的理解、性質推導和定理的證明出現(xiàn)一知半解、似懂非懂的現(xiàn)象也就不足為怪了．

課程計算量大，理論證明復雜，對學生思維水平的要求高．如求矩陣的特征值與特征向量以及矩陣的Jordan標準形及其相應的變換矩陣等的計算工作量是很大的，而且這些工作都是程序化的．若總是讓學生手工計算，久而久之學生就會失去對本門課程的學習興趣、熱情和學好它的自信心．

2.2教師的“教”

與其它大學數(shù)學課程的教學一樣，高等代數(shù)與解析幾何課程的教學由3部分構成：課堂講授、習題（課堂練習題和課外作業(yè)）和考試（期中和期末等考試形式）．教師課堂講授時，主要包括概念的介紹、基本性質的推導、重要定理的證明、例題及課堂練習題的講解．這種傳統(tǒng)教學模式的基本形態(tài)就是：定義→性質→證明→定理→證明→例題→作業(yè)→考試．此外，這種教學模式過于強調教師的中心地位，而弱化了學生的主體地位，沒有充分地讓學生參與到整個教學過程中來．高等代數(shù)與解析幾何課程的教學要求和目標就是在傳授知識的同時，既要培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力和空間想像能力，又要特別注意培養(yǎng)學生運用所學知識去分析問題和解決問題的能力．對于面向信息與計算科學專業(yè)學生而設置的高等代數(shù)與解析幾何課程若單純地采用傳統(tǒng)教學模式，是難以產(chǎn)生師生互動的教學氛圍，難以提高課堂教學質量，更難以達到本課程的教學要求目標．

此外，由于一些新學科的設置，本課程的教學學時一少再少（2學期，共128學時）．這就造成教師在課堂講授時，只能把有限的、緊張的時間用于定義、定理、例題和部分練習題的講解上，而無法顧忌相關概念的來源、定理的應用背景等介紹，更沒有時間去考慮利用計算機技術來進行可視化教學和相關數(shù)學實驗．這種一維式的教學模式（即“定義→性質→證明→定理→證明→例題→作業(yè)→考試”）主導下教學，缺少具體直觀的數(shù)學或物理模型，不能有效地引導學生主動學習，不能充分提高學生的學習熱情和積極性，也就不能取得良好的教學效果．

2.3學生的“學”

為了解學生在學習高等代數(shù)與解析幾何課程時的學習現(xiàn)狀，進一步分析本課程的學習困難成因，分別對學生在課前準備、課堂聽課情況、課后復習及作業(yè)完成等方面進行調查．

2.3.1課前準備情況從課程輔導資料閱讀情況（見表2）可以看出，只有7.1%的學生在課前閱讀過本課程的相關教學輔導資料，52.9%的學生從來沒有閱讀過本課程的相關教學輔導資料．在課前預習方面，57.1%的學生從不預習，42.9%的學生只是偶爾預習一下，而堅持預習的學生一個也沒有．據(jù)此，可以明確：在學習高等代數(shù)與解析幾何課程時，絕大多數(shù)學生對本課程認識不夠，甚至根本不重視，學習缺乏積極性和主動性．這部分學生只是簡單地、被動地、消極地學習．

表2　學生課前準備情況 %

2.3.2課堂聽課情況調查發(fā)現(xiàn)，70.0%的學生把主要精力和時間放在解題思想及方法上，重在如何計算．只有17.1%的學生把聽課重點放在基本概念上，關注概念的提出背景、發(fā)生過程．此外，約有13%的學生重在定理或性質的推導過程及其技巧掌握方面．

2.3.3課后復習及作業(yè)完成情況調查發(fā)現(xiàn)，只有10.0%的學生堅持課后復習，養(yǎng)成了良好的復習習慣．而分別有72.9%和17.1%的學生偶爾復習和根本沒有復習．在課后作業(yè)的完成方面，能獨立完成作業(yè)的學生和抄襲別人作業(yè)的學生都分別占7.1%，大半學生都需要查看筆記和教輔資料，或者與同學討論后才能完成．只有1個學生從來不做作業(yè)．此處，還有34.3%的學生只是偶爾做一點作業(yè)，沒有養(yǎng)成按時完成作業(yè)，上交作業(yè)的習慣．

可以看出，無論是課前還是課后方面，很多學生對高等代數(shù)與解析幾何課程的重要性認識不夠，學習興趣不濃，缺乏學習的積極性和主動性，處于消極學習和為考試而學習的狀態(tài)中．本課程所面向的教學對象是剛進入大學生活的大一新生和入學不久的大二學生，很多學生還沒有從中學形成的學習方法、學習習慣過渡到大學的學習中來，受應試教育的影響，還是只注重解題方法與技巧方面，而忽視對數(shù)學概念本質的理解．這些學生的數(shù)學思維能力和認知水平不高，對形式化、符號化的定義方式比較陌生，僅憑對中學數(shù)學課程的認識是很難學習課程中那些抽象的數(shù)學概念和復雜的理論．如學生對線性空間、線性變換、內積空間以及同構等概念非常不理解，甚至不明白為什么要學這些抽象概念．此外，這些剛入校園不久的學生獨立思考能力不高，在解題方面只會套公式，不能靈活運用．這也導致他們學習本課程存在一定的困難．

3 提高高等代數(shù)與解析幾何課教學質量的途徑

基于高等代數(shù)與解析幾何課程自身的特點和學生學習本課程時所面臨的困難及其成因分析，欲實現(xiàn)本課程的教學要求和目標，就必須改變傳統(tǒng)的教學模式，把以教師為中心改變?yōu)橐詫W生為中心，以教師為主導，讓學生直接參與到整個教學過程中；不斷調查研究，探索更加適用于本課程教學的新教學方法．如基于項目和問題的研究性教學[4-5]、案例教學[6]和可視化教學[7-9]等．在教學過程中，尤其要注意以下2個方面．

3.1加強本課程抽象概念的教學

本課程教學內容非常抽象．形式化、符號化及公理化是本課程中相關數(shù)學概念的顯著特點．如何將抽象的概念具體化、直觀化，實現(xiàn)數(shù)形結合，使學生更容易理解并接受，是課程教學中急需思考的一個問題．

3.1.1 從低維空間過渡到高維空間在講授概念時，首先在二維或三維實空間（或）考慮，然后再推廣到一般的維實空間，最后再抽象到一般維線性空間．這樣做符合學生的認知規(guī)律，即直觀到抽象，低維到高維；也降低了相關概念的抽象性，使學生更容易理解和掌握本課程中的概念，加深了學生對所學知識的認識．

3.1.2利用數(shù)學概念的幾何或應用背景，強化學生對概念理解課程中有很多數(shù)學概念抽象難懂，但這些概念往往具有其相應的幾何或應用背景．如三維空間中向量組線性相關問題的幾何背景就是該向量組共面問題．三階行列式在幾何上就是一平行六面體的體積問題（符號右手法則）．在講授初等矩陣概念時，若能通過一些應用型問題的舉例，讓學生體會到利用伴隨矩陣求逆的困難，進而體會到初等行（列）變換的妙用時，引入初等矩陣的概念，學生就容易接受，學習效果自然會好．總之，這種注重數(shù)學概念本身的幾何背景或在現(xiàn)實生活的應用背景的教學，是理論聯(lián)系實際的最好表現(xiàn)．尤其是通過來自實際的真實問題介紹，有利于激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)學習興趣，提高其分析問題和解決問題的能力．

3.1.3注重類比教學，厘清概念內在聯(lián)系高等代數(shù)與解析幾何課程的教學內容非常豐富，所涉及到的數(shù)學概念也非常多．在初學本課程時，學生往往因搞不清這些數(shù)學概念之間的關系而感到迷惑．通過對相關數(shù)學概念進行類比，可以厘清概念內在聯(lián)系，使學生思路清晰，更容易接受所授知識，進而加深對概念的理解．以矩陣等價、相似、合同的概念為例，通過對類比教學，可讓學生清楚：.相似必等價，合同必等價；等價不一定合同，等價也不一定相似；相似不一定合同，合同也不一定相似．

3.2教學過程中充分運用可視化技術

可視化作為專業(yè)術語的出現(xiàn)，始于上世紀90年代的美國．隨著計算機技術的發(fā)展，可視化已經(jīng)廣泛地應用于各個領域中．計算機可視化技術也為教學提供了形象生動的圖形，減少用于手工計算的時間，縮短了課程與學生的距離，有助于學生理解抽象的數(shù)學概念，增強學生的數(shù)學能力．

以求矩陣的特征值與特征向量為例，探索如何利用計算機代數(shù)系統(tǒng)Maple[10]軟件來進行可視化教學．與以往其它文獻不同的是，本文著重于在教學過程中一步一步地演示計算的過程和理論的推導，而不是僅僅局限于得到計算的結果和圖形的描繪．

特征值與特征向量是一類非常重要的概念．會求矩陣的特征值與特征向量，是本課程教學的基本要求之一，它也是學習本課程后續(xù)教學內容（如對角化問題和Jordan標準形等）以及其它課程的一個必備的數(shù)學基礎．在講授這一知識點時，教師在闡述矩陣的特征值與特征向量求解方法后，往往手工演示一二個例子，然后由學自己動手做幾個練習題．這樣不僅占用了本來就非常緊張的教學時間，而且若總是這樣手工計算，學生會感覺課程非?？菰铮斎灰矝]有興趣和熱情學習本門課程．利用Maple軟件來進行特征值與特征向量的可視化教學，就可避免上述問題，達到事半功倍的效果．

若只需要求矩陣特征值與特征向量的結果，則可以直接利用Maple軟件提供的Linear Algebra軟件包，進行以下操作即可：

>With（LinearAlgebra）：

>A：=輸入的矩陣；

>Eigenvalues（A）；

>Eigenvectors（A）；

但是若要向學生演示矩陣特征值與特征向量的求解步驟，則可利用Maple軟件提供的向導功能菜單．首先點擊主窗口工具（Tool），在下拉菜單中選中向導，然后選中線性代數(shù)子菜單，最后在該下拉菜單中分別選擇特征值和特征向量子菜單．彈出交互式窗口界面（見圖1）．

圖1　計算特征值

點擊“Next”按鈕，則有計算特征值第１步：計算特征矩陣（見圖2）．然后再點擊“Next”按鈕，則出現(xiàn)計算特征值第２步：計算特征多項式（見圖3）．最后，點擊“Next”按鈕則可得特征根（見圖4）．

圖2　計算特征矩陣

圖3 計算特征多項式

圖4 求解特征方程的根

類似地，通過工具→向導→線性代數(shù)→特征向量進入主界面窗口，也可以用Maple軟件來解相應的特征向量．由于計算機代數(shù)系統(tǒng)Maple軟件所得到的結果是精確的符號解，這與Matlab等其它偏重于數(shù)值計算的數(shù)學軟件不同，這正是高等代數(shù)與解析幾何課程中性質推導和定理證明相關教學演示所需要的．由此可見，通過對矩陣求特征值與特征向量過程的展示，既減輕教師的負擔，又讓學生直觀地體會了求特征值與特征向量的方法，加深他們的認識，也非常有利于提高學生的學習興趣，有效提高了教學效果．

通過對高等代數(shù)與解析幾何課程教學現(xiàn)狀的調查和分析，得出導致學生學習困難主要受課程自身特點、教師的“教”和學生的“學”等方面的影響，并據(jù)此提出提高教學質量的途徑．若能與傳統(tǒng)教學方相互結合、相互補充，這些教學方法和策略可有效應用于本課程的教學過程中．這也是對傳統(tǒng)教學方法的一種有益的改革嘗試．

[1] 孟道驥．高等代數(shù)與解析幾何[M]．北京：科學出版社，1998

[2] 陳志杰．高等代數(shù)與解析幾何[M]．北京：高等教育出版社，2000

[3] 同濟大學應用數(shù)學系．高等代數(shù)與解析幾何[M]．北京：高等教育出版社，2005

[4] 李尚志．從問題出發(fā)引入線性代數(shù)概念[J]．數(shù)學學習，2006，9（5）：6-8，15

[5] 陳建華，李立斌，凌智．基于問題解決的線性代數(shù)課程教學設計研究[J]．高等理科教育，2011（4）：117-119， 152

[6] 趙思林，朱德全．試論數(shù)學直覺思維的培養(yǎng)策略[J]．數(shù)學教育學報，2010，19（1）：23-26

[7] 鄭秀琴，楊曉春．Matlab在數(shù)學教學中的可視化研究[J]．高師理科學刊，2006，26（3）：102-104

[8] 王小華．基于Mathematica的高等數(shù)學教學實踐[J]．重慶科技學院學報：自然科學版，2010，12（4）：195-198

[9] 李世貴，李青，楊天國．可視化教學與數(shù)學能力培養(yǎng)[J]．重慶科技學院學報：社會科學版，2006，（1）：124-126

[10] 劉輝，李海．Maple符號處理及應用[M]．北京：國防工業(yè)出版社，2001

Teaching strategies to enhancd the quality of course teaching based on the analysis on the current teaching situation about higher algebra and analytic geometry

YU Bo-lin

（School of Mathematics and Physics，Huaiyin Institute of Technology，Huaian 223003，China）

Based on an detailed analysis on a questionnaire about the course of higher algebra and analytic geometry and our practical teaching experiences，proposed some teaching strategies and methods that can be applied effectively into our practical teaching process in order to enhance our quality of course teaching.

higher algebra and analytic geometry；current teaching situation；teaching quality

1007-9831（2016）07-0070-06

O1∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.019

2016-04-09

余柏林（1979-），男，四川廣安人，副教授，博士，從事組合矩陣理論及應用研究．E-mail：berlinyu@163.com