方芳

《平行四邊形面積》是在長(zhǎng)（正）方形面積的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，也是學(xué)習(xí)三角形、梯形等平面圖形的基點(diǎn)。學(xué)生不僅要知道怎么計(jì)算，還要知道為什么要這樣算，內(nèi)容體現(xiàn)了“兩轉(zhuǎn)折”：一是方法的轉(zhuǎn)折，從數(shù)方格向剪拼法的轉(zhuǎn)折；二從直觀得出向抽象推理發(fā)展轉(zhuǎn)折，合情推理與演繹推理共存。它就像是一把鑰匙，其剪拼轉(zhuǎn)化的思想方法打開(kāi)了平面圖形面積與立體圖形體積計(jì)算的大門(mén)。

在實(shí)踐教學(xué)中，一般有這樣的兩種流程，第一種：通過(guò)長(zhǎng)方形、平行四邊形數(shù)方格比大小，利用表格中的數(shù)據(jù)猜想平行四邊形的面積=底×高，通過(guò)小組合作、動(dòng)手操作，運(yùn)用剪拼法驗(yàn)證得出計(jì)算方法；第二種：出示一個(gè)長(zhǎng)方形測(cè)量計(jì)算面積，通過(guò)拉動(dòng)框架，明確鄰邊乘鄰邊是錯(cuò)誤的，再利用剪拼法驗(yàn)證得出計(jì)算方法。反思這兩種教學(xué)，部分學(xué)生都會(huì)“被剪拼”：第一種方式教學(xué)，從結(jié)果看，學(xué)生還是受易變形的影響，認(rèn)為周長(zhǎng)不變，其面積也是不變的，所以實(shí)際的練習(xí)中很容易做成鄰邊乘鄰邊，而從過(guò)程看，學(xué)生會(huì)有疑惑，鄰邊乘鄰邊為什么就不可以呢？第二種方式，只能證明底乘鄰邊的計(jì)算方法是錯(cuò)誤的，但不可以否認(rèn)平行四邊形兩底的變化、角度的變化的確是會(huì)帶來(lái)面積的變化，從知識(shí)銜接的角度看，與長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法的遷移之間斷開(kāi)……針對(duì)這些問(wèn)題，我做了以下一些改進(jìn)。

一、 巧設(shè)疑，數(shù)方格中魚(yú)和熊掌兼得

（一） 從學(xué)生的認(rèn)知沖突展開(kāi)

課堂回放：

今天我們要來(lái)學(xué)習(xí)平行四邊形的面積，你認(rèn)為平行四邊形的面積和什么有關(guān)？

生1：和底，和那條底也有關(guān)。

師：這條底我們稱(chēng)為鄰邊。（課件動(dòng)態(tài)演示底增長(zhǎng)或縮短引起面積的變化。圖1）

觀察發(fā)現(xiàn)：的確，當(dāng)?shù)自鲩L(zhǎng)或縮短時(shí)，面積會(huì)隨著變大或縮小。

師：還可能和什么有關(guān)？

生3：和高有關(guān)。（動(dòng)態(tài)演示圖2）

……

師：平行四邊形的面積可能怎么計(jì)算？[板書(shū)：底×鄰邊，底×高，（底+鄰邊）×2]你認(rèn)為哪一個(gè)計(jì)算方法肯定錯(cuò)的？學(xué)生一下子就排除求周長(zhǎng)的）到底哪一個(gè)正確？

生1：底×鄰邊肯定是對(duì)的，因?yàn)榘哑叫兴倪呅卫幌戮妥兂砷L(zhǎng)方形。

生2：可是如果一直拉扁，這個(gè)面積就快變沒(méi)有了。（學(xué)生拉動(dòng)框架）

師：把平行四邊形的框架拉動(dòng)，什么變了，什么沒(méi)有變，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

……

小結(jié)：邊、周長(zhǎng)沒(méi)有變，面積在變。所以，底×鄰邊的確是錯(cuò)的。那么，底×高就一定是對(duì)的嗎？

我的思考：從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，不回避學(xué)生的原認(rèn)知。在課前我們?cè)鲞^(guò)前測(cè)，發(fā)現(xiàn)354%認(rèn)為平行四邊形的面積=底×高，其中83%知道公式是怎么來(lái)的；625%的學(xué)生認(rèn)為是求周長(zhǎng)的；還有4375%認(rèn)為是邊×邊；43%的學(xué)生不知道怎么做。從這些數(shù)據(jù)看出，還有好多的孩子是認(rèn)為底和鄰邊有關(guān)的，其實(shí)認(rèn)為底×高、底×鄰邊也好，都是合情推理，再運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜想，用演繹推理進(jìn)行驗(yàn)證，是符合學(xué)生的發(fā)展規(guī)律，也是行之有效的。根據(jù)學(xué)生的原認(rèn)知，讓學(xué)生通過(guò)觀察感悟到平行四邊形的面積也的確和兩邊的底有關(guān)，當(dāng)?shù)撞蛔儯忂呍鲩L(zhǎng)時(shí)，面積也隨之增大；反之，亦然，高同理。在教學(xué)時(shí)，學(xué)生思維轉(zhuǎn)折最困難的是易變性，它在干擾學(xué)生知識(shí)的生成，利用易變性這一特性，讓學(xué)生通過(guò)操作、辯論、觀察明白平行四邊形的面積并不是底×鄰邊，底×鄰邊是錯(cuò)的，不等同于底×高就是對(duì)的，所以再提出思考：底×高就一定正確嗎？

（二） 巧數(shù)方格滲透轉(zhuǎn)化思想

課堂回放：為了便于研究，我們出示熟悉的方格。

數(shù)一數(shù)，下面平行四邊形的面積是多少平方厘米？（每小格是1平方厘米。）

（出示圖3）在學(xué)生獨(dú)立數(shù)后，交流，一共有多少平方厘米？（18平方厘米）

師：你是怎么數(shù)的？

生1：先數(shù)整格有15格，再數(shù)半格，半格的格數(shù)要除以2，再加起來(lái)是18。

生2：把左邊的三角形拼到右邊，這樣就變成一個(gè)長(zhǎng)方形，三六十八。

生3：左邊的那個(gè)三角形下面的給上面的，右邊的也一樣。這樣也是三六十八。

師：為什么剛才拉成長(zhǎng)方形，我們說(shuō)底乘鄰邊是錯(cuò)誤的，而現(xiàn)在也是變成長(zhǎng)方形，卻可以了？

生：前面變成長(zhǎng)方形是面積變了，這里大小還是一樣的。

師：你認(rèn)為怎樣數(shù)比較快？

生：把三角形剪下來(lái)拼成長(zhǎng)方形比較快，這樣只要數(shù)一數(shù)長(zhǎng)有幾格，寬有幾格，長(zhǎng)乘寬就行了，這里的長(zhǎng)乘寬就是平行四邊形的……

師：那我們就用這種數(shù)法準(zhǔn)確快速地?cái)?shù)。（出示圖4）

學(xué)生匯報(bào)。

師：這兒的長(zhǎng)、寬，就是平行四邊形的……

師：出示圖5，會(huì)數(shù)嗎？（生大喊轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，可是轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，還是無(wú)法解決，于是提出，像這樣普通的平行四邊形生活中很多，我們?cè)撛趺崔k？）

……

我的思考：曾一度，教材中的數(shù)方格猶如雞肋，“不足一格的按半格計(jì)算”的嚴(yán)謹(jǐn)性受到質(zhì)疑，也無(wú)法為學(xué)生解惑“為什么不能用底乘鄰邊”，僅起到引出猜想的作用。筆者對(duì)不同版本教材的進(jìn)行比對(duì)，新人教版與實(shí)驗(yàn)版教材的變化不是很大，都是由比較平行四邊形和長(zhǎng)方形的面積引出，而后通過(guò)數(shù)格子，在觀察中提出猜想；蘇教版教材（圖6、7）從比較方格紙上每組中的兩個(gè)圖形面積是否相等入手，引導(dǎo)學(xué)生把稍復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的、熟悉的圖形，讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化方法在圖形面積計(jì)算中的作用，并為進(jìn)一步探索活動(dòng)提供基本思路。在例2時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)平移把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，而這是利用方格為載體。

反思教材為什么都以數(shù)方格為載體？細(xì)讀教材，數(shù)方格是連接長(zhǎng)方形與平行四邊形面積的橋梁，從蘇教版教材更可以看出，數(shù)方格其實(shí)就是轉(zhuǎn)化。

查閱詞典與代數(shù)后，發(fā)現(xiàn)在計(jì)算平行四邊形、梯形、三角形的面積時(shí)，我們常常滲透轉(zhuǎn)化思想，這是我們?cè)诖鷶?shù)學(xué)中重要的思想和方法——出入相補(bǔ)思想的體現(xiàn)。如果我們?cè)偕钊氲刈穯?wèn)一下，這其中的“轉(zhuǎn)化”背后最本源的是什么——用小正方形“密鋪”的思想，因此在教學(xué)中我們不能緊緊地局限在比較數(shù)方格和計(jì)算公式的優(yōu)劣上，在教學(xué)中應(yīng)該重視數(shù)方格的方法和測(cè)量?jī)?nèi)容的教育價(jià)值，不只是讓學(xué)生算出面積，重要的是幫助學(xué)生建立空間觀察。

直接呈現(xiàn)方格，是因?yàn)榍皽y(cè)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于怎樣學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積已經(jīng)遺忘，在選擇是事先復(fù)習(xí)，還是課堂中提出，這兩種方式都不是特別的恰當(dāng)，想來(lái)想去還是直接請(qǐng)出我們學(xué)習(xí)面積的好朋友——方格來(lái)展開(kāi)。教學(xué)中安排了3次不同要求的數(shù)，第一次通過(guò)讓學(xué)生在數(shù)方格時(shí)交流不同的數(shù)法，不同的數(shù)法就呈現(xiàn)出：第一種數(shù)法，是學(xué)生最原始的數(shù)法，而第二、三種數(shù)法是剪和拼的過(guò)程，了解轉(zhuǎn)化的思想；第二次讓學(xué)生很快地運(yùn)用這一種數(shù)法；第三次正在學(xué)生得意之時(shí)，提出普通的平行四邊形，我們?cè)撛趺崔k？三次的數(shù)層層遞進(jìn)，而且第一次為了避免不滿(mǎn)半格按整計(jì)算給學(xué)生造成的困擾，特意選用都是純半格的。

二、 動(dòng)手操作，構(gòu)建平面圖形面積轉(zhuǎn)化計(jì)算的模型

（一） 思考中理解為什么這樣轉(zhuǎn)化

課堂回放：

師：數(shù)方格中，我們初步驗(yàn)證了平行四邊形的面積等于底乘高，生活中有許多這樣普普通通的平行四邊形，是否也可以這樣計(jì)算？

生1：把三角剪下來(lái)，拼成長(zhǎng)方形。

師：你們認(rèn)為呢？為什么想到拼成長(zhǎng)方形？

生2：長(zhǎng)方形的面積我們已經(jīng)會(huì)計(jì)算。

……

嘗試轉(zhuǎn)化。

四人一組合作，要求：

1. 先獨(dú)立思考，怎樣把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？小組交流，動(dòng)手操作，如果操作失敗可以啟用其他的平行四邊形。

2. 轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形后，你發(fā)現(xiàn)和原來(lái)的平行四邊形比，有什么相同的地方，有什么不同的地方？

3. 你知道平行四邊形的面積怎么求？為什么？

展示交流討論：你剪了幾次，就能拼成長(zhǎng)方形？你發(fā)現(xiàn)只要怎樣剪，就能拼成長(zhǎng)方形？為什么必須沿高剪？

交流匯報(bào)后，引導(dǎo)觀察：一二兩種，有什么相同的地方？什么不同的地方？

思考圖10的方法，你認(rèn)為可以嗎？為什么？讓學(xué)生理解兩層：一是要沿著中點(diǎn)剪再拼；二是不僅可以沿著內(nèi)高轉(zhuǎn)化，也可以沿著外高。

展示沒(méi)有成功的學(xué)生的操作，思考交流：他們?yōu)槭裁词×四兀?/p>

我的思考：在不同的方法轉(zhuǎn)化中，我們抓住本質(zhì)點(diǎn)——沿高剪拼。在實(shí)踐中，有的學(xué)生可能一次性能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，有的同學(xué)經(jīng)過(guò)多次剪拼，有的甚至是不成功的，我們不單單關(guān)注成功的，更關(guān)注為什么他們不會(huì)成功轉(zhuǎn)化，他們?yōu)槭裁礇](méi)有成功？圖10的想法，學(xué)生往往思考不到，讓學(xué)生以一種思考的形式展開(kāi)，為三角形、梯形的轉(zhuǎn)化方法做一個(gè)鋪墊。以不同的剪拼方法為載體，通過(guò)不斷地思考、追問(wèn)，讓學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化知其然也知其所以然，從而獲得更好的思維訓(xùn)練和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)方格是特例，讓學(xué)生從數(shù)方格到一般的圖形轉(zhuǎn)化推導(dǎo)，建構(gòu)這樣的思考模式：在特例中猜想，在普例中驗(yàn)證。

（二） 推導(dǎo)中形成幾何思考

如何讓學(xué)生形成推導(dǎo)的模型，為今后學(xué)習(xí)平面圖形打下扎實(shí)的基礎(chǔ)呢？

課堂回放：

思考1：剪拼成的圖形與原來(lái)的平行四邊形相比，什么變了？什么沒(méi)有變？

學(xué)生經(jīng)過(guò)小組討論后反饋交流，形成板書(shū)：

思考2：把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的前提是什么？（面積是不變的）

思考3：為什么要轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形呢？

生：平行四邊形的面積我們是不會(huì)計(jì)算的，長(zhǎng)方形的面積我們是已經(jīng)會(huì)計(jì)算的。

小結(jié)：我們把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，形狀變了，面積不變，像這樣的我們稱(chēng)為等積變形。轉(zhuǎn)化真是一個(gè)好方法，對(duì)你以后的學(xué)習(xí)有什么幫助呢？

生1：我們以后也可以用于轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)三角形、梯形等。

生2：可以用不同的方法轉(zhuǎn)化。

生3：三角形沿高剪不一定行。

……

我的思考：平行四邊形面積的教學(xué)目的不只是解決這一圖形的面積，而是引發(fā)今后學(xué)習(xí)所有平面圖形的方法，串起平面圖形面積轉(zhuǎn)化推導(dǎo)的知識(shí)鏈，抓住什么變了，什么沒(méi)變，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握等積變形的轉(zhuǎn)化思想。從學(xué)生的思考中看出其對(duì)其他的平面圖形的面積蠢蠢欲動(dòng)，這便是學(xué)習(xí)。

三、 練習(xí)組織，鞏固提升數(shù)學(xué)思考

（一） 層層遞進(jìn)，清晰運(yùn)用

課堂回放：

師：要求平行四邊形的面積，需要知道什么？

生齊答：底和高。

師：給你底和高。（逐個(gè)出示）

下面平行四邊形的面積是多少？（單位：厘米）

師：出示圖12，現(xiàn)在呢？

生1：四五二十。

生2：4和5不是一對(duì)的。跑上來(lái)指圖說(shuō)，4要和下面的底是一對(duì)，5和另外的一條高是一對(duì)。

師：也就是要求面積，底和高是要對(duì)應(yīng)的。那你覺(jué)得現(xiàn)在可以求嗎？還需要知道什么？（出示下面的底7.5）現(xiàn)在呢？

生3：4×7.5=30（平方厘米）

師：根據(jù)現(xiàn)在的信息你能求出什么？

生4：我覺(jué)得30÷5=6（厘米），就是下面的底。

圖13要求學(xué)生獨(dú)立解決，反饋交流。

師：如果這里的底和高分別用a和b表示，面積用S表示呢？

我的思考：知識(shí)的鞏固需要在不斷地立與破的辯論中深化，在得出計(jì)算方法時(shí)，學(xué)生已經(jīng)構(gòu)建平行四邊形的面積=底×高，但對(duì)于對(duì)應(yīng)的理解部分學(xué)生還是比較懵懂，第二小題破了原先的想法，重新構(gòu)建清晰的知識(shí)。設(shè)計(jì)這樣一組題組有幾點(diǎn)好處：準(zhǔn)確辨析要求面積需要對(duì)應(yīng)的底和高；使學(xué)生理解在同一個(gè)平行四邊形中，兩組底乘高的積是相等的，即面積相等，根據(jù)面積相等可以求另一組底或高；讓字母公式不顯得突兀。

（二） 操作思考，提升思維品質(zhì)

我在方格紙上畫(huà)一個(gè)面積是12平方厘米的平行四邊形，每小格邊長(zhǎng)為1厘米。

分三個(gè)層次推進(jìn)：① 學(xué)生獨(dú)立畫(huà)后反饋展示、判斷；② 除了這些，你覺(jué)得還有嗎？誰(shuí)能有序地找完？學(xué)生得出1×12，2×6，3×4……追問(wèn)：如果不要求底和高是整數(shù)的，你覺(jué)得面積是12平方厘米的平行四邊形還有嗎？得出只要兩個(gè)數(shù)的乘積是12就行；③ 在這一基礎(chǔ)上讓學(xué)生動(dòng)態(tài)判斷，下面的平行四邊形可以嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？

我的思考：練習(xí)中，第一層次讓學(xué)生熟練地利用公式，快速地找到方法是幾乘幾等于12；第二層次是引導(dǎo)學(xué)生有序地思考面積是12平方厘米的平行四邊形，從而得出只要兩個(gè)數(shù)相乘的積是12就可以，也滲透學(xué)生找一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法；第三層次在動(dòng)態(tài)的演示中發(fā)現(xiàn)等底等高的平行四邊形面積相等。

通過(guò)挖掘圖形面積的本質(zhì)，有效改進(jìn)教學(xué)中的思維含量，加深了學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)理解和轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的積累，數(shù)學(xué)思想、思考的方法不再只是寫(xiě)在目標(biāo)里，更是顯在過(guò)程中。