祁鵬程，趙忠蓋，劉飛

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含時(shí)滯測(cè)量值下間歇過程的雙維狀態(tài)估計(jì)

祁鵬程，趙忠蓋，劉飛

（江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214122）

基于粒子濾波研究了間歇過程的狀態(tài)估計(jì)問題。根據(jù)間歇過程雙維動(dòng)態(tài)特性,針對(duì)關(guān)鍵參數(shù)在線檢測(cè)精度低、離線分析時(shí)滯大等問題，分別建立一種雙維狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型和時(shí)滯測(cè)量模型，并利用貝葉斯方法及前/后向平滑，提出一種含時(shí)滯測(cè)量值下的雙維狀態(tài)估計(jì)算法。該算法通過融合先前批次和時(shí)滯測(cè)量值的信息提高估計(jì)精度，并且克服了離線采樣周期和時(shí)滯時(shí)間不確定的問題。在數(shù)字仿真和啤酒發(fā)酵過程中的仿真應(yīng)用驗(yàn)證了該算法的有效性。

間歇過程；雙維狀態(tài)空間模型；時(shí)滯；粒子濾波；貝葉斯方法；前/后向平滑

引 言

間歇過程也叫批次過程，廣泛應(yīng)用于化工、食品和醫(yī)藥等行業(yè)[1]。生產(chǎn)過程中，關(guān)鍵參數(shù)的變化，如發(fā)酵過程中殘?zhí)菨舛?、菌體濃度等，直接影響產(chǎn)品的質(zhì)量[2]。但是受限于傳感檢測(cè)技術(shù)，通常很難獲得穩(wěn)定準(zhǔn)確的關(guān)鍵參數(shù)在線檢測(cè)值，而是通過估計(jì)的方法獲取關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)值。在貝葉斯框架下，給定檢測(cè)值，通過近似計(jì)算狀態(tài)空間的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以解決間歇過程中關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)問題[3]。

目前，許多學(xué)者對(duì)間歇過程中的狀態(tài)估計(jì)問題進(jìn)行了大量研究[4-10]?？紤]間歇精餾塔的非線性特性，以及在線成分分析成本高等問題，文獻(xiàn)[5]基于擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）設(shè)計(jì)最優(yōu)估計(jì)器從而得到系統(tǒng)的組成成分。然而，卡爾曼及其擴(kuò)展形式只能處理高斯噪聲的濾波問題，基于此，文獻(xiàn)[7]中引入粒子濾波(PF)算法并應(yīng)用到間歇過程的狀態(tài)估計(jì)中，取得了良好效果。上述研究只考慮了間歇過程的非線性、非高斯特性，狀態(tài)僅隨時(shí)間轉(zhuǎn)化，忽略了批次之間的動(dòng)態(tài)特性。實(shí)際上，典型的間歇過程包含許多批次，關(guān)鍵參數(shù)的動(dòng)態(tài)變化不僅存在于時(shí)間維度，還存在于批次維度[8]。與連續(xù)過程不同，間歇過程中所有原料分批次處理，當(dāng)前批次會(huì)根據(jù)先前批次的信息來調(diào)整操作步驟，如產(chǎn)品的質(zhì)量。文獻(xiàn)[9]首次考慮了當(dāng)前批次的初始狀態(tài)與先前批次相關(guān)的情況，利用平滑的方式將先前批次的信息融合到當(dāng)前狀態(tài)的估計(jì)中，提高了估計(jì)精度。文獻(xiàn)[10]在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上考慮了所有狀態(tài)，當(dāng)前狀態(tài)既與當(dāng)前批次的先前狀態(tài)相關(guān)也與先前批次相同采樣時(shí)間的狀態(tài)相關(guān)，并建立雙維狀態(tài)空間模型對(duì)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，取得了良好效果。

另一方面，離線檢測(cè)在間歇過程中普遍存在，離線檢測(cè)一般由人工在實(shí)驗(yàn)室完成且檢測(cè)的樣本也是由人工采集。上述過程所用的時(shí)間相比于在線采樣時(shí)間間隔不可忽略，即離線檢測(cè)得到的測(cè)量值有很大的時(shí)滯。但在實(shí)驗(yàn)室分析得到的數(shù)據(jù)比在線分析儀得到的更準(zhǔn)確，因此融合時(shí)滯測(cè)量值的信息可以進(jìn)一步提高關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)效果[11]。文獻(xiàn)[11]針對(duì)線性系統(tǒng)通過卡爾曼濾波和信息融合技術(shù)，實(shí)現(xiàn)兩種檢測(cè)值的信息融合。鑒于卡爾曼濾波簡(jiǎn)單、計(jì)算快的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)[12]基于EKF分別分析了全增廣和樣本增廣在處理時(shí)滯測(cè)量值的性能。文獻(xiàn)[13]根據(jù)時(shí)滯測(cè)量值與狀態(tài)為積分關(guān)系的特性，建立新模型并提出變維無跡卡爾曼濾波解決此模型的狀態(tài)估計(jì)問題。但是，卡爾曼濾波及其擴(kuò)展形式在使用時(shí)噪聲需滿足高斯分布，有很大的局限性。

本文研究間歇過程中關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)問題,針對(duì)關(guān)鍵參數(shù)在線檢測(cè)精度低、離線分析時(shí)滯大等問題，結(jié)合間歇過程的雙維動(dòng)態(tài)特性，建立新的狀態(tài)空間模型，基于PF提出一種含時(shí)滯測(cè)量值下的雙維狀態(tài)估計(jì)算法。該算法不僅考慮了先前批次的信息，還融合了離線檢測(cè)的時(shí)滯測(cè)量值。分別針對(duì)僅有在線檢測(cè)值和兩種檢測(cè)值并存兩種情況，利用前/后向平滑(FBS)對(duì)先前批次進(jìn)行平滑從而融合先前批次的信息。處理時(shí)滯測(cè)量值時(shí)，運(yùn)用貝葉斯方法更新粒子權(quán)重實(shí)現(xiàn)兩種檢測(cè)值的信息融合，通過調(diào)整平滑步數(shù)解決時(shí)滯時(shí)間不確定的情況，并進(jìn)行了數(shù)字仿真和啤酒發(fā)酵過程的仿真應(yīng)用。

1 問題描述

1.1 間歇過程的雙維動(dòng)態(tài)特性

一個(gè)典型的間歇過程包含許多批次。在單個(gè)批次中，與連續(xù)過程一樣，狀態(tài)隨時(shí)間演化，具有時(shí)間動(dòng)態(tài)特性。而在批次間，由于原料變化、運(yùn)行調(diào)整等原因，狀態(tài)在批次維度上同樣具有動(dòng)態(tài)特性?？紤]到批次之間開始時(shí)加入的原料有緩慢的變化，且一般會(huì)根據(jù)最后產(chǎn)品的質(zhì)量來調(diào)節(jié)下一批次的原料，因此考慮當(dāng)前批次的初始狀態(tài)與先前批次的初態(tài)和末態(tài)相關(guān)的情況。對(duì)于其他狀態(tài)，同樣會(huì)根據(jù)先前批次相同采樣時(shí)間的運(yùn)行狀態(tài)調(diào)整操作，所以考慮其他狀態(tài)既與當(dāng)前批次的先前狀態(tài)相關(guān)也與先前批次相同采樣時(shí)間的狀態(tài)相關(guān)的情況[10]。

假設(shè)間歇過程包含個(gè)批次，每個(gè)批次有個(gè)采樣時(shí)刻，則雙維動(dòng)態(tài)模型示意圖如圖1所示。其中，和代表第批次在采樣時(shí)刻的狀態(tài)和檢測(cè)值。水平和豎直的箭頭代表狀態(tài)的轉(zhuǎn)換方向，斜箭頭表示每個(gè)采樣時(shí)刻得到的檢測(cè)值。實(shí)線表示兩個(gè)狀態(tài)之間沒有其他的狀態(tài)，而虛線代表有其他的狀態(tài)。由于第一批次沒有先前批次，與連續(xù)過程一樣，只有時(shí)間上的動(dòng)態(tài)特性。而其他批次不僅具有時(shí)間維度的動(dòng)態(tài)關(guān)系，還有批次維度的動(dòng)態(tài)關(guān)系。

圖1 間歇過程雙維動(dòng)態(tài)示意圖

1.2 間歇過程的時(shí)滯特性

間歇過程中，在線檢測(cè)值直接由傳感器測(cè)得，即時(shí)但精度低，離線檢測(cè)值通過人工離線分析得到，有時(shí)滯但精度高，且兩種檢測(cè)值的采樣周期不同，給間歇過程中關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)帶來了困難，如何融合時(shí)滯測(cè)量值是提高估計(jì)效果的關(guān)鍵。間歇過程含時(shí)滯測(cè)量值的示意圖如圖2所示，其中，表示離線檢測(cè)時(shí)刻，表示第批次在時(shí)刻的在線檢測(cè)值，表示第批次在時(shí)刻的離線檢測(cè)值，表示離線檢測(cè)值的時(shí)滯時(shí)間。垂直的箭頭表示在線檢測(cè)值沒有時(shí)滯。虛線箭頭表示離線檢測(cè)值在時(shí)刻采樣，檢測(cè)值經(jīng)過時(shí)滯在時(shí)刻得到。因?yàn)殡x線采樣周期較大，通常最近一次離線采樣的檢測(cè)值在進(jìn)行下一次離線采樣之前就已經(jīng)得到。

圖2 間歇過程含時(shí)滯測(cè)量值示意圖

另外，在實(shí)際生產(chǎn)過程中，在線采樣頻率固定且周期小，而離線采樣由人工完成，采樣頻率不固定且周期大，且由于離線分析的操作時(shí)間不是確定的，因此時(shí)滯時(shí)間也可能是時(shí)變的。

定義1：第批次時(shí)刻所有在線檢測(cè)值的集合為，離線檢測(cè)值的集合為。

2 間歇過程狀態(tài)估計(jì)的實(shí)現(xiàn)

首先根據(jù)間歇過程的雙維動(dòng)態(tài)特性和時(shí)滯特性，分別建立新的雙維狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型和時(shí)滯測(cè)量模型?？紤]兩種檢測(cè)值的采樣周期不同，且離線采樣周期不固定，本文從兩方面進(jìn)行分析：僅有在線檢測(cè)值的時(shí)刻和在線檢測(cè)值、離線檢測(cè)值同時(shí)存在的時(shí)刻。

2.1 模型描述

2.1.1 雙維狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型

第2及以后批次需考慮先前批次的信息。對(duì)于初始狀態(tài)，即＞1，，與上一批次的初態(tài)和末態(tài)相關(guān)，其模型如下

對(duì)于其他狀態(tài)，即＞1，＞1，與當(dāng)前批次的先前狀態(tài)和先前批次相同采樣時(shí)間的狀態(tài)相關(guān)，模型 如下

2.1.2 時(shí)滯測(cè)量模型 根據(jù)圖2可以得到間歇過程含時(shí)滯測(cè)量值的測(cè)量模型如下

2.2 狀態(tài)估計(jì)：僅有在線檢測(cè)值的時(shí)刻

由模型描述可知，第1批次狀態(tài)僅隨時(shí)間變化，屬于單維情況，而其他批次屬于雙維情況，所以分單維和雙維兩種情況分析。

2.2.1 單維估計(jì)

根據(jù)第1批次的狀態(tài)空間模型，結(jié)合貝葉斯濾波，估計(jì)步驟如下[14]：

預(yù)測(cè)

更新

對(duì)于非線性非高斯過程，PF利用Monte Carlo（MC）方法估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)后驗(yàn)分布，取得了良好效果。其原理是用樣本均值代替積分運(yùn)算[15]

其中，為粒子數(shù)。但是真實(shí)的狀態(tài)分布情況未知，通過重要性采樣分布可以獲取先驗(yàn)粒子[16]，則

考慮粒子退化的問題，需要對(duì)粒子進(jìn)行重采樣。重采樣后，每個(gè)粒子的權(quán)重變?yōu)?/[18]。

2.2.2 雙維估計(jì)

由于其他批次的初始狀態(tài)與其他狀態(tài)的轉(zhuǎn)移方程不同，本節(jié)又分初始狀態(tài)和其他狀態(tài)進(jìn)行考慮。根據(jù)狀態(tài)空間模型和PF算法可以得到初始狀態(tài)的預(yù)測(cè)步驟如下

其中，假設(shè)初始狀態(tài)與末態(tài)是相互獨(dú)立的，即

因?yàn)殡S著得到的測(cè)量值信息增多，初態(tài)對(duì)末態(tài)的影響較小，且每個(gè)批次的長(zhǎng)度較長(zhǎng)，可以忽略初態(tài)與末態(tài)的關(guān)系[10]。而在前一批次估計(jì)中已得到，只要計(jì)算可得，很明顯是一個(gè)平滑分布。本文采用FBS平滑算法，該方法保存每個(gè)采樣時(shí)刻的粒子作為平滑粒子，在當(dāng)前時(shí)刻估計(jì)狀態(tài)的基礎(chǔ)上遞推計(jì)算先前時(shí)刻的平滑狀態(tài)，且有效地解決了平滑過程中粒子退化的問題[19]。具體如下

（2）當(dāng)＞2,平滑方式如下

初始狀態(tài)的更新步驟如下

對(duì)于其他狀態(tài)，根據(jù)狀態(tài)空間模型和PF算法可以得到其他狀態(tài)的估計(jì)步驟如下：

預(yù)測(cè)

與式（11）的處理方式一樣，同樣需要假設(shè)

表示兩個(gè)狀態(tài)在時(shí)間維度上相差一個(gè)批次的長(zhǎng)度就相互獨(dú)立。通過計(jì)算平滑分布即可得到。而在計(jì)算前必須先計(jì)算，具體如下

那么可得

更新

2.3 狀態(tài)估計(jì)：兩種檢測(cè)值并存的時(shí)刻

在處理時(shí)滯測(cè)量值前，首先根據(jù)在線檢測(cè)值的信息更新當(dāng)前時(shí)刻的粒子權(quán)重，然后再通過貝葉斯方法融合含時(shí)滯的離線檢測(cè)值，再次更新粒子權(quán)重。具體如下

則

對(duì)于單維估計(jì)，平滑的處理方式與式（15）相同，對(duì)于雙維估計(jì)與式（17）相同，只是在時(shí)，是和同時(shí)作為時(shí)刻檢測(cè)值時(shí)的權(quán)重，通過遞推計(jì)算即可得到分布對(duì)應(yīng)的粒子和權(quán)重。

實(shí)際操作中，由于離線檢測(cè)值是需要經(jīng)過人工實(shí)驗(yàn)分析才能得到，操作時(shí)間具有不確定性，即時(shí)滯時(shí)間是不確定的。另外，離線采樣周期不固定，即離線檢測(cè)時(shí)刻不固定。從本節(jié)可以看出融合時(shí)滯測(cè)量值方法的關(guān)鍵一步是計(jì)算，在本文式是采用FBS算法進(jìn)行平滑處理。因?yàn)楫?dāng)前時(shí)刻（時(shí)滯值到達(dá)時(shí)刻）等于離線檢測(cè)時(shí)刻與時(shí)滯時(shí)間之和，在知道和下就可以確定，而和在實(shí)際過程中很容易得到，所以一旦確定和就可以根據(jù)當(dāng)前調(diào)整平滑步數(shù)計(jì)算出。因此本文提出的算法可以克服時(shí)滯時(shí)間和采樣周期不確定的問題。

綜上，含時(shí)滯測(cè)量值下間歇過程的雙維狀態(tài)估計(jì)示意圖如圖3所示，具體步驟如下。

（1）第1批次的狀態(tài)估計(jì)實(shí)現(xiàn)

⑤重采樣：根據(jù)歸一化后的權(quán)重得到個(gè)近似服從分布的粒子，并重置所有粒子權(quán)重為1/。

（2）其他批次的狀態(tài)估計(jì)實(shí)現(xiàn)

⑦重采樣：根據(jù)歸一化后的權(quán)重得到個(gè)近似服從分布的粒子，并重置所有粒子權(quán)重為1/。

3 算法驗(yàn)證

為了比較間歇過程中考慮時(shí)滯測(cè)量值與不考慮時(shí)滯測(cè)量值的估計(jì)效果，選擇每個(gè)批次的初始狀態(tài)誤差（ISE）和均方根誤差（RMSE）[21]作為性能指標(biāo)

3.1 數(shù)字仿真

根據(jù)文獻(xiàn)[8]得到間歇過程的數(shù)字仿真模型如下。

（1）雙維狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型

第1批次

初始狀態(tài)

除初始狀態(tài)之外的其他批次

（2）時(shí)滯測(cè)量模型

圖4為數(shù)字仿真的效果圖。其中，黑色虛線是沒有考慮時(shí)滯測(cè)量值的誤差，紅色點(diǎn)線代表融合了時(shí)滯測(cè)量值的誤差。由圖可知，隨著批次的增加，狀態(tài)的ISE和RMSE都越來越小，趨于收斂，且在考慮時(shí)滯測(cè)量值的情況下狀態(tài)的ISE和RMSE比不考慮時(shí)滯測(cè)量值時(shí)的小，表明在考慮時(shí)滯測(cè)量值的情況下關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)效果較好。

圖4 數(shù)字仿真無時(shí)滯值與含時(shí)滯值狀態(tài)的初始狀態(tài)誤差和均方根誤差

3.2 啤酒發(fā)酵過程

發(fā)酵是啤酒生產(chǎn)中耗時(shí)最長(zhǎng)的工序，是一個(gè)典型的間歇生產(chǎn)過程，生產(chǎn)過程中兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)為殘?zhí)菨舛群途w濃度。在發(fā)酵階段，殘?zhí)菨舛炔豢蛇^高也不可過低，過高則發(fā)酵遲緩、啤酒發(fā)酵度低、生物穩(wěn)定性差，過低則微生物耗氧能力下降，溶氧偏高。而菌體濃度高低直接影響啤酒的風(fēng)味，濃度過高易致酵母衰退、自溶、酒質(zhì)下降，濃度過低則發(fā)酵緩慢、發(fā)酵副產(chǎn)物增加。啤酒發(fā)酵過程關(guān)于殘?zhí)菨舛群途w濃度的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型如下[22]

在實(shí)際生產(chǎn)過程中，啤酒發(fā)酵是按批量處理的，且在發(fā)酵過程中通常會(huì)離線采樣分析來得到殘?zhí)菨舛群途w濃度更準(zhǔn)確的測(cè)量值，對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控、控制和優(yōu)化。但離線分析有時(shí)滯，因此如何融合先前批次和時(shí)滯測(cè)量值的信息是提高殘?zhí)菨舛群途w濃度估計(jì)效果的關(guān)鍵。根據(jù)圖1和圖2建立啤酒發(fā)酵過程含時(shí)滯測(cè)量值的雙維動(dòng)態(tài)空間模型。

（1）雙維狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型

對(duì)于啤酒發(fā)酵的第1批次，沒有先前批次的信息，當(dāng)作連續(xù)過程處理

對(duì)于初始狀態(tài)，在上一批次的發(fā)酵結(jié)束后，會(huì)根據(jù)啤酒成品的質(zhì)量來調(diào)整本批次原料的糖度和酵母濃度

雖然當(dāng)前批次的發(fā)酵會(huì)根據(jù)原料變化、過程飄移等問題調(diào)整發(fā)酵的相應(yīng)操作，但總體上還是重復(fù)上一批次的整個(gè)過程。因此當(dāng)前批次的狀態(tài)與當(dāng)前批次的先前狀態(tài)和先前批次相同采樣時(shí)間的狀態(tài)相關(guān)

（2）時(shí)滯測(cè)量模型

生產(chǎn)過程通常配有在線分析儀，如液相色譜分析儀、YSI2700等，從而得到殘?zhí)菨舛群途w濃度的測(cè)量值對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控，但誤差較大。因此為了提高啤酒成品的質(zhì)量，大概每隔0.5 h對(duì)生產(chǎn)過程離線檢測(cè)一次，通過實(shí)驗(yàn)室分析得到更準(zhǔn)確的測(cè)量值。模型如下

圖5為啤酒發(fā)酵過程估計(jì)效果圖，分別為殘?zhí)菨舛群途w濃度的ISE和RMSE。黑色虛線是沒有考慮時(shí)滯測(cè)量值的誤差，紅色點(diǎn)線代表融合了時(shí)滯測(cè)量值的誤差。從圖中可以看出，隨著批次的增加，狀態(tài)的ISE和RMSE都越來越小，趨于收斂。由于每個(gè)批次只離線檢測(cè)兩次，即只能得到兩個(gè)時(shí)滯測(cè)量值的信息，導(dǎo)致估計(jì)效果沒有明顯提高，但在考慮時(shí)滯測(cè)量值的情況下狀態(tài)估計(jì)的總體效果要好于不考慮時(shí)滯測(cè)量值時(shí)的情況。

圖5 啤酒發(fā)酵過程無時(shí)滯值與含時(shí)滯值狀態(tài)的初始狀態(tài)誤差和均方根誤差

4 結(jié) 論

本文針對(duì)間歇過程，建立一種雙維狀態(tài)空間模型，研究了含時(shí)滯測(cè)量值下關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)問題。分別分析了僅有在線檢測(cè)值和兩種檢測(cè)值并存兩種情況?？紤]到間歇過程非線性、非高斯特性，引入PF算法進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。為充分利用離線檢測(cè)值，以及間歇過程沿批次維度上歷史批次信息，通過貝葉斯方法對(duì)粒子權(quán)重進(jìn)行更新，并采用FBS算法進(jìn)行平滑，實(shí)現(xiàn)了多源信息的融合。數(shù)字仿真和啤酒發(fā)酵的應(yīng)用仿真結(jié)果說明：在間歇過程中融合時(shí)滯測(cè)量值可以有效地提高關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)效果。

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Two dimensional state estimation in batch process with delayed measurements

QI Pengcheng, ZHAO Zhonggai, LIU Fei

(Key Laboratory of Advanced Control for Light Industry Processes, Ministry of Education, Jiangnan University,
Wuxi 214122, Jiangsu, China)

This work investigates the state estimation in a batch process based on the particle filter method. Considering that the two dimensional dynamics and the key parameters are obtained online with low accuracy or offline with large time delay, a two dimensional state transition model and delayed measurement model are developed. In addition, a two dimensional state estimation algorithm is proposed by using Bayesian method and the forward-backward smoothing algorithm. The proposed algorithm improves the estimation accuracy by fusing information of previous batches and delayed measurements, and overcomes the influence of the uncertainty of offline sampling period and time delay. The applications in a numerical example and a beer fermentation show the effectiveness of the proposed method.

batch process; two dimensional state space model; time delay; particle filter; Bayesian method; forward-backward smoothing

supported by the National Natural Science Foundation of China (61134007, 61573169).

date: 2015-12-14.

Prof. ZHAO Zhonggai, gaizihao@ jiangnan.edu.cn

TQ 920.6

A

0438—1157（2016）09—3784—09

10.11949/j.issn.0438-1157.20151894

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61134007，61573169）。

2015-12-14收到初稿，2016-04-28收到修改稿。

聯(lián)系人：趙忠蓋。第一作者：祁鵬程（1991—），男，碩士研究生。