陳　莎,楊　輝,楊光惠

(貴州大學(xué) 理學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

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多目標(biāo)群體博弈中弱Pareto完美平衡點(diǎn)

陳莎,楊輝*,楊光惠

(貴州大學(xué) 理學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

基于有限理性下多目標(biāo)群體博弈平衡點(diǎn)的精煉, 提出弱Pareto完美平衡點(diǎn)的概念。首先, 應(yīng)用向量值Ky Fan不等式證明一般情形下多目標(biāo)群體博弈中的弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)的存在性。 其次, 給出弱Pareto完美平衡點(diǎn)的存在性。

多目標(biāo)群體博弈;Ky Fan不等式; 弱Pareto-Nash平衡點(diǎn); 弱Pareto完美平衡點(diǎn)

由大量行動的思想發(fā)展而來的群體博弈理論現(xiàn)已成為博弈論的一個重要的研究方向。 它所描述的是在由一個或多個群體構(gòu)成的社會中, 每個群體中大量個體進(jìn)行策略選擇而形成一個社會狀態(tài), 個體希望自身收益最大, 而全局考慮希望社會穩(wěn)定的這樣一個博弈問題。 群體博弈理論的核心概念仍然是Nash平衡, 即給定關(guān)于每種社會狀態(tài)的支付函數(shù), 考慮在哪些社會狀態(tài)下, 個體均沒有動機(jī)去改變當(dāng)前所選策略, 從而達(dá)到社會和諧穩(wěn)定。 在一般非合作博弈中對Nash平衡點(diǎn)的研究已涌現(xiàn)了許多經(jīng)典的結(jié)果, 但在群體博弈中卻可見不多。

1950-1951年, Nash[1,2]在其開創(chuàng)性論文中介紹了n人有限非合作博弈模型, 引入了平衡點(diǎn)的定義并證明其存在性(后來被稱為Nash平衡)。 這種基于局中人完全理性前提下得到的 Nash平衡點(diǎn)并不唯一, 這困擾著對平衡點(diǎn)的選取, 因此學(xué)者們提出了平衡點(diǎn)的精煉以剔除某些不合理的平衡點(diǎn)。在20世紀(jì)50年代后期, 學(xué)者們圍繞著Nash平衡點(diǎn)的精煉開展了許多博弈論有限理性的相關(guān)研究, 并得到了不少重要成果[3-5]。

1959年, Shapley提出多目標(biāo)博弈平衡點(diǎn)的概念[6], 之后相繼涌現(xiàn)出多目標(biāo)非合作博弈解的不少概念及其存在性等相關(guān)結(jié)果[7-9], 當(dāng)前多目標(biāo)非合作博弈的弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)仍是研究熱點(diǎn)。 對于多目標(biāo)群體博弈而言, 其最新結(jié)果為文獻(xiàn)[10]中給出的多目標(biāo)群體博弈的弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)概念及其存在性, 我們注意到在該文中僅考慮雙目標(biāo)單群體情形, 而更為一般的情形應(yīng)該是多目標(biāo)多群體的博弈問題, 但相關(guān)結(jié)果并不多見。 因此, 多目標(biāo)多群體博弈的弱Pareto-Nash平衡更具有研究價值。

本文就多目標(biāo)群體博弈模型考慮多個群體下,每個群體有多于兩個目標(biāo)且每個群體目標(biāo)數(shù)相異情形下的弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)的存在性, 并且基于有限理性考慮平衡點(diǎn)的精煉, 進(jìn)一步提出弱Pareto完美平衡點(diǎn)的概念并證明其存在性。

1　基礎(chǔ)知識

多目標(biāo)群體博弈模型描述如下[11]:

記P={1，2，…,p0}為社會集, 表示該社會由p0個群體組成。 每個群體p∈P由充分多但有限個(在統(tǒng)計(jì)意義上)個體組成, 設(shè)為mp個。

其中

記上述多目標(biāo)群體博弈為MG=(X,F)。

對任意的正整數(shù)m, Rm為m維歐氏空間。

記集合

定義1.1[12]設(shè)a,b∈Rm,

(2)ab?

下面給出向量值函數(shù)的連續(xù)性和凸性的定義及相關(guān)結(jié)果, 參見文獻(xiàn)[13]。

定義1.2設(shè)X是Rn中的一個非空子集,f:X→Rk是一個向量值函數(shù),x∈X, 如果對Rk中零點(diǎn)0的任何開鄰域V, 存在x在X中的任何開鄰域O(x),使得?x′∈O(x), 有

注1.2若k=1, 則f是實(shí)泛函, R+-連續(xù)即是實(shí)泛函中的下半連續(xù)。

定義1.3設(shè)X是Rn中的一個非空凸集,f:X→Rk是一個向量值函數(shù)。

(2) 如果?x1，x2∈X,?λ∈(0,1), 有

λf(x1)+(1-λ)f(x2)=f(λx1+(1-λ)x2),

則稱向量值函數(shù)f在X上是仿射的。

根據(jù)上述定義易證下面的命題。

命題1.1設(shè)向量值函數(shù)f,g:X→Rk,

下面是重要的向量值KyFan不等式定理。

引理1.1(向量值KyFan不等式)設(shè)X是Rn中的非空有界閉凸集, 向量值函數(shù)φ:X×X→Rk滿足:

2　弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)

下面將給出多目標(biāo)群體博弈的弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)的定義及其存在性。

定理2.1具有連續(xù)向量值支付函數(shù)的多目標(biāo)群體博弈MG的弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)必存在。

其中

φp(x,y)

?y∈X,r=1,2,…,kp, 有

則

3　弱Pareto完美平衡點(diǎn)

基于Selten提出的完美平衡點(diǎn)的思想, 在有限理性下研究群體博弈時, 我們考慮并非所有個體都能完全理性地選擇好的策略, 即使某些策略并不是最好的, 但還是有極少的個體去選擇, 因此, 利用狀態(tài)空間的微小擾動來描述這種有限理性。設(shè)ε>0足夠小(滿足mpε<1), ?p∈P,

記MG(ε)=(X(ε),F)為擾動多目標(biāo)群體博弈。在下面的博弈模型MG=(X,F)中,X為完全混合狀態(tài)空間, 即?p∈P,

下面給出弱Pareto完美平衡點(diǎn)的概念及其存在性。

注3.1MG(ε)的弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)一定是MG的ε-弱Pareto完美平衡點(diǎn)。

定理3.1具有連續(xù)向量值支付函數(shù)的多目標(biāo)群體博弈MG的弱Pareto完美平衡點(diǎn)必存在。

?p∈P,?i∈Sp,存在j∈Sp,若

所以

[1] Nash J. Non-Cooperative Games[J]. The Annals of Mathematics, 1951, 54(2): 286-295.

[2] Nash J.Equilibrium points in n-persons games[J]. Proc Nat Acad Sci, 1950, 36: 48-49.

[3] Simon H A.管理決策新科學(xué)[M]. 李柱流,等譯.北京: 中國社會科學(xué)出版社, 1982.

[4] Selten R.Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games[J]. Inter J of Game Theory, 1975, 4: 25-55.

[5] Myerson R B.Refinements of the Nash equilibrium concept[J]. Inter J of Game Theory, 1978,7:73-80.

[6] Shapley L S.Equilibrium points in games with vector payoffs[J]. Naval Research Logistics Quarterly,1959,6:57-61.

[7] DING X P.Pareto Equilibria of MulTic-riteria Games Without Compactness, Continuity and Concavity[J]. Appiend Mathematics and Mechanics, 1996, 17(9): 847-854.

[8] YU J，YUAN XZ. The Study of Pareto Equilibria for Multiobjective Games by Fixed point and Ky Fan Minmax Inequality Methods[J]. Computers Math Applic,1998, 35(9): 17-24.

[9]YANGH，YUJ.EssentialComponentsofthesetofweaklyPareto-NashEquilibrumpoints[J].AppliedMathematicsLetters,2002,15:553-560.

[10] 汪波,楊輝. 雙目標(biāo)單群體博弈納什均衡的存在性[J]. 西南民族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2013, 39(6): 919-922.

[11]SandholmWH.PopulationGamesandEvolutionaryDynamics[M].London:MITPress, 2010： 21-51.

[12]胡毓達(dá).多目標(biāo)規(guī)劃有效性理論[M].上海:上?？萍技夹g(shù)出版社,1994:11-12.

[13]俞建.博弈論選講[M].北京:科學(xué)出版社,2014:91-99.

(責(zé)任編輯：周曉南)

Existence of Weakly Pareto Perfect Equilibria for Multi-objective Population Games

CHEN Sha, YANG Hui*, YANG Guanghui

(College of Science, Guizhou University, Guiyang 550025, China)

Based on the refinement of equilibria under bounded rationality, the concept of weakly Pareto perfect equilibria for multiobjective population games was proposed. Firstly, the existence of weakly Pareto-Nash equilibria was proven by the application of ‘vector-valued Ky Fan inequality’. Moreover, the existence theorem for weakly Pareto perfect equilibria was established.

multi-objective population games; Ky Fan inequality; weakly Pareto-Nash equilibria; weakly Pareto perfect equilibria

1000-5269(2016)02-0010-04

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.02.03

2015-11-07

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(11271098)

陳莎(1991-)，女，在讀碩士，研究方向：優(yōu)化理論及應(yīng)用，Email: chen_3623@163.com.

楊輝，Email：hui-yang@163.com.

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