李　靜

(解放軍理工大學理學院，南京211101)

?

美國Putnam數(shù)學競賽中兩道行列式證明題的泰勒公式解法

李靜

(解放軍理工大學理學院，南京211101)

介紹了美國Putnam數(shù)學競賽中兩道行列式證明題的分析證明方法.選取行列式中的某個參數(shù)(常數(shù))為變量，使得行列式可設(shè)為該變量的多項式，然后分別計算函數(shù)值和各階導數(shù)值，進而利用泰勒展式即可計算出行列式的值.

泰勒公式； 行列式； 變量與常數(shù)

1　引　　言

泰勒公式是微積分學的重要內(nèi)容[1]，其作用是將一般的可導函數(shù)展開為多項式或者表示為冪級數(shù)，將復雜的函數(shù)值計算轉(zhuǎn)化為簡單的多項式計算，因而在近似計算、工程技術(shù)中有著廣泛的應用[2-3].特別地，當一個多項式以其他形式出現(xiàn)時，利用泰勒公式就可以將該多項式進行化簡，從而便于理解，在有些情況下也更易于計算.

本文考察美國Putnam數(shù)學競賽中兩道關(guān)于行列式的證明題[4]，其基本思路是利用初等變換及行列式的性質(zhì)將行列式化為易于計算的形式.注意到，這兩道試題中的行列式都含有多個參數(shù)(字母記號)，可將其視為以其中某個參數(shù)(字母記號)為變量的多項式，因此，利用泰勒公式有可能簡化行列式的計算.

2　預備知識及兩道競賽題的解法

首先介紹行列式的求導法則.今有n階行列式D=∑(-1)tap11ap22…apnn,其中各元素aij是某個變量的可導函數(shù)，則行列式的一階導數(shù)應為

D′=∑(-1)t(a′p11ap22…apnn+ap11a′p22…apnn+…+ap11ap22…a′pnn)

=∑(-1)ta′p11ap22…apnn+∑(-1)tap11a′p22…apnn+…+∑(-1)tap11ap22…a′pnn.

表示成行列式形式如下

(1)

行列式的求導法則就是先對行列式逐列求導其它列不變?nèi)缓笤賹個行列式求和，類似地也可進行逐行求導[5].下面給出這兩道競賽題的新證法.

例1(1940年第3屆Putnam數(shù)學競賽)求證行列式

(2)

能被kn-1除盡，并求其他因子.

分析行列式中的k,ai(1≤i≤n)都是常數(shù)，但題目是判斷關(guān)于k的因子，所以把k看作變量，其余的都作為常數(shù).最簡單的2階行列式情形，可直接按對角線法則計算

(3)

顯然可以被k2-1除盡.注意到等號右邊正好是關(guān)于k的多項式，很容易聯(lián)想到，微積分學的泰勒公式正是把滿足條件的函數(shù)展開成冪函數(shù).

證該行列式可看做以k為自變量的n次多項式，其余ai(1≤i≤n)均看作常數(shù)，該多項式函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)連續(xù)且含有任意階導數(shù)，由泰勒展式

(4)

下面考察不同次冪的系數(shù)，主要過程就是計算各階導數(shù).由行列式求導法則，一階導數(shù)為

再把以上各n階行列式分別按第1,2,…,n列展開，可降為n-1階

(5)

再求原行列式的2階導數(shù)，即對(5)式的變量k求導，每個行列式可化為n-1個n-2階行列式(形式也不變)相加，從而2階導數(shù)是n(n-1)個n-2階行列式之和.繼續(xù)求導直到n-2階，應為n(n-1)…3個2階行列式相加，而每個行列式的形式均類似(3)式的左邊(當然也與原式一致).直到n-1階導數(shù)，應為n(n-1)…3·2=n!個1階行列式相加，其中1階行列式分別為

所以以上每一個行列式的系數(shù)為(n-1)!.最后的n階導數(shù)肯定是0次多項式.

(6)

D(n)(k)=n!.

(7)

代入k=0可得各項系數(shù)

(8)

(9)

……

D(n-2)(0)=0，

D(n)(0)=n!，

于是

(10)

所以原行列式可被kn-1除盡.

例2(1951年第11屆Putnam數(shù)學競賽)如果a,b,c,d,e,f皆為實數(shù)，求證行列式

(11)

是非負的.

分析因為四階行列式已沒有對角線法則，想直接按定義計算出結(jié)果并不容易.該行列式包含12個非零元，每個元素的地位相似，出現(xiàn)且只出現(xiàn)了兩次，那么行列式就可以表示為某個變量的2次函數(shù).

證不妨設(shè)行列式是僅以a為自變量的2次多項式，其他變量相當于常數(shù)，由泰勒展式可得

(12)

下面就依次求各項系數(shù)，先求行列式的各階導數(shù).由行列式求導法則可知

(13)

行列式按列展開可得

(14)

繼續(xù)求導

(15)

于是各項系數(shù)應為

(16)

(17)

g″(0)=2f2.

從而原行列式可表示為

g(a)=(be-cd)2-2af(be-cd)+a2f2=(be-cd-af)2.

顯見

g(a)≥0.

3　結(jié)　　論

本文利用泰勒公式給出了兩道關(guān)于行列式的Putnam競賽題的一種簡單證明.證明的關(guān)鍵步驟是選擇恰當?shù)膮?shù)，視行列式為該參數(shù)的多項式，這一過程可稱為常量變量化，從而可利用微積分中對變量問題的處理方法解決行列式的計算問題.一般說來，選取變量的基本原則是要相應的多項式的次數(shù)盡可能低且有關(guān)行列式易于計算.

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(上冊)[M]. 6版. 北京：高等教育出版社，2007.

[2]時統(tǒng)業(yè)，謝井，李鼎.論泰勒中值定理“中間點”的性質(zhì)[J]. 大學數(shù)學，2012，28(4)：120-123.

[3]李井剛，朱曉臨，王子潔.一種基于隨機Taylor展開式的隨機微分方程數(shù)值解法[J]. 大學數(shù)學，2013，29(4)：44-51.

[4]劉裔宏,等譯，普特南數(shù)學競賽試題(1939-1980) [M]. 長沙：湖南科學技術(shù)出版社，1983.

[5]華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析(上冊) [M].4版.北京:高等教育出版社，2010.

Application of Taylor Expansion to the Calculation of Two Determinants Arising from William Lowell Putnam Competition

LI Jing

(College of Science , PLA University of Science and Technology , Nanjing 210007, China)

The paper introduces a new calculation of two determinants arising from the William Lowell Putnam Competition, by using the Taylor expansion in Calculus. With a properly chosen parameter, the determinants are regarded as polynomials with respect to the parameter. The determinants are figured out by using the Taylor expansion, when the determinants and their derivatives of different orders evaluated at a specified point are calculated.

Taylor expansion; determinant; variablization

2016-02-07；[修改日期]2016-05-06

解放軍理工大學校級教育教學課題GJ1507038

李靜(1980-),女，碩士，講師，從事非線性動力學研究. Email：lj2003lover@163.com

O151.21

C

1672-1454(2016)04-0103-04