陳　華, 張藝丹, 葛新民

(中國(guó)石油大學(xué)(華東) a. 理學(xué)院；b.地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,青島　266580)

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基于改進(jìn)群搜索優(yōu)化算法的變差函數(shù)擬合

陳華a, 張藝丹a, 葛新民b

(中國(guó)石油大學(xué)(華東) a. 理學(xué)院；b.地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,青島266580)

群搜索優(yōu)化算法是一種群智能優(yōu)化算法,通過(guò)研究群搜索優(yōu)化算法的優(yōu)劣以及其改進(jìn)的方法，并將改進(jìn)的群搜索優(yōu)化算法應(yīng)用于變差函數(shù)的高斯、指數(shù)和一階及多階球狀模型的最優(yōu)擬合。實(shí)例表明，群搜索優(yōu)化算法能夠有效地應(yīng)用于變差函數(shù)擬合。

群搜索優(yōu)化算法； 變差函數(shù)； 地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)

0　引言

在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，作為最基本和最重要的模擬工具——變差函數(shù)，它是一種矩估計(jì)方法，用于表現(xiàn)數(shù)據(jù)值的空間互相關(guān)性，數(shù)據(jù)點(diǎn)在空間上距離越相近，相關(guān)性就越大。在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)模擬中，變差函數(shù)最優(yōu)擬合實(shí)質(zhì)是對(duì)給定樣本的數(shù)值處理得到相應(yīng)區(qū)域的解析函數(shù)。變差函數(shù)的擬合有很多方法，比如在指定出變差函數(shù)模型后，可以使用最小二乘法[1]、加權(quán)回歸多項(xiàng)式[2]、遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法[3]等進(jìn)行擬合。然而這些方法都存在不同方面的問(wèn)題，最小二乘法和加權(quán)回歸多項(xiàng)式方法需要手動(dòng)擬合，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，存在一定的人為因素，缺乏統(tǒng)一客觀的標(biāo)準(zhǔn)，而且加權(quán)回歸多項(xiàng)式算法所計(jì)算得到的參數(shù)存在正負(fù)號(hào)問(wèn)題，使得函數(shù)在擬合時(shí)無(wú)法得到最優(yōu)解。遺傳算法和粒子群算法雖然在一定程度上解決了自動(dòng)擬合問(wèn)題，但在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，參數(shù)較多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對(duì)執(zhí)行速度產(chǎn)生影響。這里采用基于群搜索優(yōu)化算法的變差函數(shù)最優(yōu)擬合，克服了上面所存在的問(wèn)題，能夠有效的對(duì)地質(zhì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變差函數(shù)擬合。

群搜索優(yōu)化算法源于動(dòng)物搜索行為和種群理論，它是由S.He等[4]提出的一種群智能優(yōu)化算法[4]，該算法基于Producer-Scrounger模型[5](PS模型)。在群搜索優(yōu)化中，種群中有三類成員：①發(fā)現(xiàn)者(生產(chǎn)者)；②追隨者(參與者)；③游蕩者。搜索到最豐富資源并共享資源的群成員為發(fā)現(xiàn)者，從發(fā)現(xiàn)者獲取資源信息并掠奪資源的群成員為追隨者，兼有發(fā)現(xiàn)者和追隨者角色的群成員為游蕩者，個(gè)體在整個(gè)搜索過(guò)程中三個(gè)角色是可以相互切換的，是隨機(jī)的?；谌核阉鲀?yōu)化算法對(duì)求解多峰函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題具有明顯優(yōu)勢(shì)，從而對(duì)變差函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)擬合比較有效。

1　基于變差函數(shù)模型的適應(yīng)函數(shù)

為了使群搜索優(yōu)化算法更好應(yīng)用于變差函數(shù)[6-8]的高斯、指數(shù)和一階及多階球狀模型的最優(yōu)擬合，定義適應(yīng)函數(shù)如式(1)所示。

(1)

其中：F(i)為第i個(gè)位置個(gè)體的適應(yīng)度；hj為變差函數(shù)的第j個(gè)滯后距；γ(hj)為第j個(gè)理論模型對(duì)應(yīng)的變差函數(shù)值；γ*(hj)為第j個(gè)滯后距對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)值。

1)球狀模型。

一階球狀模型的適應(yīng)函數(shù)：

(2)

二階套合球狀模型的適應(yīng)函數(shù)：

(3)

2)指數(shù)模型。

(4)

3)高斯模型。

(5)

2　基于預(yù)測(cè)因子的群搜索優(yōu)化算法

群搜索優(yōu)化算法(GSO)是最近幾年新出現(xiàn)的智能優(yōu)化算法，已廣泛地應(yīng)用于實(shí)際生活中各種求解的最優(yōu)化問(wèn)題，尤其是在求解連續(xù)多維函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。但是在求解高維函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，各維之間的相互作用會(huì)對(duì)其局部求解能力產(chǎn)生影響，導(dǎo)致它的精確度下降，而且群搜索優(yōu)化算法(GSO)在使用PS模型時(shí)候選解具有強(qiáng)烈的趨向性，使算法中選擇的發(fā)現(xiàn)者有可能一直保持不變，降低了算法的空間搜尋能力。引進(jìn)帶有趨勢(shì)的預(yù)測(cè)因子，可使群搜索優(yōu)化算法[9-10]在一定程度上解決或減少這些問(wèn)題，從而有效應(yīng)用于變差函數(shù)擬合。

2.1改進(jìn)群搜索算法的基本原理

在帶預(yù)測(cè)因子的群搜索優(yōu)化算法中，預(yù)測(cè)因子是在迭代過(guò)程中各成員保存記錄發(fā)現(xiàn)者的移動(dòng)方向作為經(jīng)驗(yàn)，以此預(yù)測(cè)估計(jì)下一個(gè)發(fā)現(xiàn)者的位置。為了使其具有多樣性，只隨機(jī)選取少數(shù)的群成員個(gè)體來(lái)記錄每一次的移動(dòng)的方向及距離。改進(jìn)的群搜索優(yōu)化算法即保持原來(lái)高維優(yōu)勢(shì)，同時(shí)又在低維優(yōu)化問(wèn)題的性能上有了很大程度上的提高，并且計(jì)算的過(guò)程得到了簡(jiǎn)化，運(yùn)算的速度明顯加快。

帶有預(yù)測(cè)因子的群搜索算法：

(6)

(7)

其中：r1、r2為n維向量且其各分量是0到1之間的均勻隨機(jī)數(shù);c1、c2為常系數(shù)。

剩余群成員中，再隨機(jī)選擇80%的成員作為追隨者，再隨機(jī)產(chǎn)生一固定步長(zhǎng)，追隨者以這個(gè)步長(zhǎng)靠近發(fā)現(xiàn)者：

(8)

式(8)中，r3為n維向量且其各分量都為0到1之間的均勻隨機(jī)數(shù)。

最終剩余的群成員都作為游蕩者，可以任意方向的隨機(jī)移動(dòng)指定的距離：

(9)式中：r4為n維向量且其分量都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量；h為n維向量，步長(zhǎng)常量；mutationflag為n維向量，是個(gè)用[0,1]表示的布爾值向量，標(biāo)志了各維是否允許變異，用以下方法可得：

mutationflag=r5

(10)

式(10)中，r5為n維均勻分布隨機(jī)向量。

(11)

式(11)為分量變異率，其值隨著迭代次數(shù)的增加而遞減，<運(yùn)算符為比較符號(hào)的左邊每個(gè)分量與右邊標(biāo)量的大小，返回的是用0、1表示布爾值。

根據(jù)上述算法原理，改進(jìn)群搜索算法的流程圖見(jiàn)圖1。

圖1　改進(jìn)群搜索算法的流程圖Fig.1　The flow chart of the improved GSO

2.2數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了更有效地測(cè)試算法應(yīng)用于變差函數(shù)擬合的有效性，選擇BenchMark測(cè)試函數(shù)集中的Sphere函數(shù)：

(11)

比較GSO算法和改進(jìn)的GSO算法：

1)當(dāng)測(cè)試函數(shù)中的n=3時(shí)，兩算法的執(zhí)行情況見(jiàn)圖2。從圖2中看出當(dāng)n=3時(shí)，改進(jìn)的基于群搜索優(yōu)化算法并沒(méi)有多少優(yōu)勢(shì)，而且在迭代到140之前，都是處于劣勢(shì)的。

圖2　GSO和改進(jìn)的GSO算法執(zhí)行情況1Fig.2　The first implement situation of 　GSO and the improved GSO

圖3　GSO和改進(jìn)的GSO算法執(zhí)行情況2Fig.3　The second implement situation of GSO and the improved GSO

2)當(dāng)測(cè)試函數(shù)中的n=30時(shí)，兩算法的執(zhí)行情況見(jiàn)圖3。從圖3可以看出，當(dāng)n=30時(shí)，改進(jìn)的基于群搜索優(yōu)化算法優(yōu)勢(shì)明顯，相比較基于群搜索優(yōu)化算法，其能在更少的時(shí)間里達(dá)到更好的效果。

3)當(dāng)測(cè)試函數(shù)中的n=50時(shí)，兩算法的執(zhí)行情況見(jiàn)圖4。從圖3、圖4中可以看出,當(dāng)n=50時(shí)，改進(jìn)的基于群搜索優(yōu)化算法的優(yōu)勢(shì)明顯。

由以上分析可知，改進(jìn)的基于群搜索優(yōu)化算法在低維情況下，優(yōu)勢(shì)不明顯或者沒(méi)有優(yōu)勢(shì)，其收斂的速度，計(jì)算精度都比基于群搜索優(yōu)化算法的差。高維情況下，改進(jìn)的基于群搜索優(yōu)化算法的收斂速度和計(jì)算精度比基于群搜索優(yōu)化算法具有顯著優(yōu)勢(shì)。

圖4　GSO和改進(jìn)的GSO算法執(zhí)行情況3Fig.4　The second implement situation of GSO and the improved GSO

2.3實(shí)例計(jì)算

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，對(duì)江西某礦B礦體垂直方向鉬品位的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)值γ*(hj)進(jìn)行擬合。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1 。

表1　B礦體垂直方向鉬品位的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)數(shù)值表

通過(guò)不同變差函數(shù)模型進(jìn)行擬合，比較其優(yōu)劣。根據(jù)表1的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)值，可以確定待擬合參數(shù)的取值范圍，分別是c0=[0,2]、c=[0,20]、a=[2,10]。為了更真實(shí)的記錄算法結(jié)果，減少偶然性，此算法的結(jié)果都是運(yùn)行50次取的平均值。

將帶有預(yù)測(cè)因子的群搜索優(yōu)化算法應(yīng)用于上述例子，得到了變差函數(shù)的三種模型最優(yōu)擬合結(jié)果。如圖5所示，球狀模型的變差函數(shù)擬合效果最好，即與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合的最好。

圖5　改進(jìn)GSO算法變差函數(shù)的三種模型最優(yōu)擬合Fig.5　The optimum fitting of three models of function of variation of the improved GSO

3　結(jié)論

從傳統(tǒng)變差函數(shù)的擬合方法的優(yōu)缺點(diǎn)出發(fā)，提出了基于改進(jìn)群搜索算法的變差函數(shù)擬合，在保證其最優(yōu)擬合的情況下，提高了收斂的速度和計(jì)算的精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，它能夠更有效地解決變差函數(shù)擬合問(wèn)題，且擬合效果良好。

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The optimal fit of the variational function based on improved group search optimizer algorithm

CHEN Huaa, ZHANG Yi-dana, GE Xin-minb

(1.College of Science, China University of Petroleum (East China), Qingdao266580, China;2.School of Geosciences, China University of Petroleum (East China), Qingdao266580, China)

Group search optimizer algorithm is a new method swarm intelligence introduced by S. He and Q.H.Wu in 2006. By studying on the advantages of group search optimizer algorithm and its improved methods, the improved group search optimizer algorithm is applied to the variational function based on the Gaussian model, the exponential model, the first spherical model and multistage spherical model. Examples show that the group search optimizer algorithm can be effectively applied to the optimal fit of the variational function.

group search algorithm； the variational function； geostatistics

2015-05-02改回日期：2015-07-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(41474100);山東省自然科學(xué)基金(ZR2013DM015,ZR2014DQ007)

陳華(1972-)，男，副教授，主要研究方向?yàn)楣I(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué),E-mail: delaunay@163.com。

1001-1749(2016)04-0566-05

P 631

A

10.3969/j.issn.1001-1749.2016.04.20