黃時(shí)浩　潘鐵柱

摘 要：針對(duì)木結(jié)構(gòu)承重設(shè)計(jì)時(shí)難以直接獲取或測量批次木材密度的問題，提出了一種抽取批次木材試樣的迭代加權(quán)最小二乘估計(jì)總樣本密度的方法。設(shè)計(jì)了試樣密度的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，計(jì)算了樣本密度的期望平均估計(jì)，選取了具有無偏估計(jì)性質(zhì)的期望平均估計(jì)作為初始均值，并設(shè)計(jì)了權(quán)系數(shù)為樣本密度的頻數(shù)與估計(jì)誤差距離的倒數(shù)之乘積。通過批次木材抽取的樣本數(shù)據(jù)，對(duì)比了木結(jié)構(gòu)質(zhì)量實(shí)際測量與基于總樣本密度估計(jì)的木結(jié)構(gòu)質(zhì)量計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了總樣本密度估計(jì)方法的可行性，其具有對(duì)期望平均估計(jì)微調(diào)至最優(yōu)和迭代任意收斂的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：木材密度；加權(quán)最小二乘法；批次采樣；參數(shù)估計(jì)式

中圖分類號(hào)：TH113 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2016.16.081

木材密度的測定一般依據(jù)《木材密度測定方法》（GB/T 1933—2009）標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施，但該標(biāo)準(zhǔn)中未涉及一批木材如何由抽取試樣密度估計(jì)該批木材總樣本密度的方法，且也沒有相關(guān)文獻(xiàn)解決此問題。由于木材密度離散性較大、測量誤差非常小，傳統(tǒng)的回歸分析方法不適用于上述需求，因此，由該批木材制作木結(jié)構(gòu)的質(zhì)量估算準(zhǔn)確性會(huì)受到很大的影響。

在密度估計(jì)中，算術(shù)平均值估計(jì)量是全納偽估計(jì)量。算術(shù)平均值估計(jì)量即最小二乘估計(jì)量或正態(tài)分布的極大似然估計(jì)量，是建立在所有觀測值只含偶然誤差基礎(chǔ)上的一種估計(jì)方法。如果觀測值中含有較大離散分布值，這種估計(jì)由于是按平均分配誤差原則來處理數(shù)據(jù)的，會(huì)導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果納偽。

中位數(shù)估計(jì)又可定名為“和極大似然估計(jì)”，由于它是根據(jù)隨機(jī)變量概率事件之和為最大而導(dǎo)出未知參數(shù)估計(jì)式的，具有徹底的抗差性，觀測值的較大離散分布或粗差都不會(huì)對(duì)估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響。但由于具有徹底的排他性，進(jìn)而使中位數(shù)估計(jì)排除了所有的多余觀測，因此，帶來了全棄真的估計(jì)性質(zhì)，屬于徹底的抗差估計(jì)方法。

在有限樣本容量的條件下，上述2種平均估計(jì)均為有偏估計(jì)，中位數(shù)估計(jì)可以克服密度分布離散度大的情況而算數(shù)平均無法克服。期望平均估計(jì)因考慮了樣本密度出現(xiàn)頻數(shù)（概率密度的離散數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果），估計(jì)具有既不納偽，也不棄真的估計(jì)性質(zhì)，即在有限樣本容量的條件下此平均估計(jì)為無偏估計(jì)。

本文基于木材批次隨機(jī)抽取試樣，采集各試樣的體積、質(zhì)量等批次數(shù)據(jù)，計(jì)算密度的期望平均估計(jì)，再通過加權(quán)最小二乘迭代估計(jì)批次密度，通過多組批次采樣數(shù)據(jù)與方法估計(jì)得到一批木材總樣本的密度，通過實(shí)際測量與估計(jì)結(jié)果對(duì)比加以驗(yàn)證，證明了該方法的有效性和準(zhǔn)確性。

1 迭代加權(quán)最小二乘估計(jì)方法設(shè)計(jì)

1.1 木材各試樣密度的計(jì)算方法

由一批木材隨機(jī)抽取試樣（需要具有代表性，樣本的數(shù)量應(yīng)占總樣本的25%以上，且不少于20個(gè)），按照GB/T 1933—2009中的標(biāo)準(zhǔn)測量出各試樣的體積Vi和質(zhì)量gi（i為試樣的序號(hào)，i=1，2，…，n）。

第八步，判斷|σk2-σk-12|≤δ（δ為設(shè)定的閾值）。如果不滿足條件，則轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)加權(quán)最小二乘迭代估計(jì)計(jì)算；如果

滿足條件，則結(jié)束并輸出密度估計(jì)值 .

本木材密度測定方法的運(yùn)算流程如圖1所示。

2 木材密度估計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)與方法驗(yàn)證

2.1 木材密度測量樣本數(shù)據(jù)采集

由一批木材抽取的樣本如表1所示。

表1中，樣本測量值如圖2中的a，密度如圖2中的b分布。

2.2 試樣密度的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)

由表1中的樣本密度值可確定出密度區(qū)間為[0.19，0.31]，由經(jīng)驗(yàn)公式m≈[1.85×（n-1）0.4）]可確定出所需劃分的區(qū)間為6個(gè)。因此，則落入各小區(qū)間的樣本密度個(gè)數(shù)如表2所示，其直方圖如圖3所示。

2.3 試樣密度的期望平均估計(jì)

由式（2）可計(jì)算出密度的期望平均估計(jì) =0.256 40 g/cm3。

2.4 試樣密度的迭代加權(quán)最小二乘估計(jì)

按照圖1中的迭代加權(quán)最小二乘估計(jì)運(yùn)算流程可計(jì)算出密度的迭代加權(quán)最小二乘估計(jì)， =0.255 17 g/cm3。

2.5 本方法的結(jié)果分析

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，常用估計(jì)方法的密度估計(jì)結(jié)果如表3所示。

由表3可以看出，本方法的密度估計(jì)方差最小即均優(yōu)于其他估計(jì)方法。此批桐木條（曾有資料顯示，桐木密度為0.2～0.4 g/cm3）制作的木結(jié)構(gòu)用本方法估計(jì)出的木材結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為6.14 g，經(jīng)實(shí)際測量的結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為6.08 g，實(shí)測結(jié)果如圖4所示。計(jì)算

出的結(jié)構(gòu)總質(zhì)量符合實(shí)際總質(zhì)量，也是上述估計(jì)方法中最符合實(shí)際結(jié)構(gòu)質(zhì)量的。

3 結(jié)束語

本方法采用的期望平均估計(jì)方法和迭代加權(quán)最小二乘法在測量平差領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用，但這兩種方法都是針對(duì)測量值存在等精度和非等精度測量誤差的情況下得出的較為準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果，未考慮因樣本存在較大離散度而導(dǎo)致測量誤差較小的情況。

迭代加權(quán)最小二乘法的權(quán)系數(shù)通常取方差倒數(shù)，使均方誤差和達(dá)到最小，或根據(jù)對(duì)象的特點(diǎn)取信噪比、可信度等作為權(quán)系數(shù)。此類權(quán)系數(shù)的取法均不適用于離散度較大，但測量誤差較小、離散度呈現(xiàn)準(zhǔn)正態(tài)分布的木材密度樣本；迭代加權(quán)最小二乘法的初始均值通常取算術(shù)平均估計(jì)值或最小二乘法估計(jì)值。由于估計(jì)值在有限樣本下具有的性質(zhì)，迭代過程常存在發(fā)散現(xiàn)象。

本方法以有限樣本下具有無偏估計(jì)性質(zhì)的期望平均估計(jì)作為初始均值估計(jì)值，以迭代加權(quán)最小二乘法進(jìn)行回歸估計(jì)微調(diào)，權(quán)系數(shù)取樣本密度頻數(shù)與誤差距離倒數(shù)的乘積（兼顧了樣本的出現(xiàn)概率和對(duì)樣本的估計(jì)效果，符合木材密度樣本離散度較大、密度較小的樣本的出現(xiàn)概率小、樣本容量有限的特點(diǎn)），可以任意收斂到設(shè)定的門限閾值內(nèi)，不出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，能較準(zhǔn)確地反映出總體樣本的密度。

綜上所述，在本文提出的迭代加權(quán)最小二乘估計(jì)方法中，初始均值取具有無偏估計(jì)性質(zhì)的期望平均估計(jì)，且權(quán)系數(shù)取樣本密度的頻數(shù)與估計(jì)誤差距離的倒數(shù)之乘積，具有對(duì)期望平均估計(jì)微調(diào)至最優(yōu)和迭代任意收斂的性質(zhì)，上述為本文的技術(shù)創(chuàng)新所在。

參考文獻(xiàn)

[1]孫燕良，張厚江.木材密度檢測方法研究現(xiàn)狀與發(fā)展[J].森林工程，2011，27（01）.

[2]程永生，湯兵勇.基于數(shù)據(jù)點(diǎn)重要性差異的最小二乘加權(quán)法[J].東華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，32（06）.

[3]黃杰.正態(tài)分布三個(gè)特殊隨機(jī)模型及適用范圍——兼論算術(shù)平均值是有偏估計(jì)[J].桂林工學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，20（04）.

[4]楊波.加權(quán)最小二乘估計(jì)中加權(quán)系數(shù)的確定[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2002（12）.

〔編輯：張思楠〕