郭雙建，張曉輝

(1.貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2.曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 曲阜 273165)

?

余ribbon Turaevπ-代數(shù)

郭雙建1，張曉輝2

(1.貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2.曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 曲阜 273165)

討論了Turaevπ-代數(shù)余模范疇中的pivotal群交叉結(jié)構(gòu)和ribbon群交叉結(jié)構(gòu)，引入余pivotal Turaevπ-代數(shù)和余ribbon Turaevπ-代數(shù)的定義，并分別給出Turaevπ-代數(shù)伴有余pivotal結(jié)構(gòu)和余ribon結(jié)構(gòu)的充要條件.

Turaevπ-代數(shù)；ribbon群交叉范疇；余ribbon結(jié)構(gòu)；余pivotal結(jié)構(gòu)

Hopfπ-(余)代數(shù)是拓?fù)鋵W(xué)家Turaev于2000年研究三維流形在余鏈環(huán)上主π-叢的Hennings不變量時(shí)所引入的代數(shù)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)在量子場(chǎng)和向量叢中有著廣泛的應(yīng)用.[1-2]從拓?fù)浣嵌瓤?，它是?維流形的量子不變量推廣到帶有映射同調(diào)類(lèi)的3維流形上；[3]從范疇論的角度看，它是將張量范疇推廣為群交叉張量范圍，這類(lèi)范疇可以誘導(dǎo)帶有目標(biāo)空間K(π,1)的3維同倫量子場(chǎng)；[4]從Hopf代數(shù)的角度看，即是將Hopf代數(shù)推廣為Hopfπ-(余)代數(shù).[5]2002年，Virelizer對(duì)Hopfπ-(余)代數(shù)做了較系統(tǒng)的研究.[6]2006年，Caenepeel與De Lombaerde從范疇論的角度，給出了Hopfπ-(余)代數(shù)的一種解讀.[7]隨后，王栓宏[8-10]，Zunino[11-13]等學(xué)者也相繼對(duì)Turaevπ-(余)代數(shù)做了大量的相關(guān)工作.關(guān)于Turaevπ-(余)代數(shù)經(jīng)典著作見(jiàn)文獻(xiàn)[14-16]等.為了構(gòu)造新的辮子交叉范疇，Van Daele與王栓宏在2008年引入了弱turaevπ-(余)代數(shù)的概念，同時(shí)推廣了弱Hopf代數(shù)和Turaevπ-(余)代數(shù).[17]這些概念的引入，對(duì)同類(lèi)研究工作起到了奠基和推動(dòng)作用.

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，考慮Turaevπ-代數(shù)上的余模范疇，引入余pivotal Turaevπ-代數(shù)和余ribbon Turaevπ-代數(shù)的定義，并由此分別給出Turaevπ-代數(shù)伴有余pivotal結(jié)構(gòu)和余ribbon結(jié)構(gòu)的充要條件.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[5-6]設(shè)π為群，其單位元為e.一個(gè)π-代數(shù)是指一族k-空間H={Hα}α∈π，伴有一族k-線性映射m={mα,β：Hα?Hβ→Hα β}α，β∈π(稱(chēng)為乘法)，和元素1H∈He(稱(chēng)為單位)，滿(mǎn)足對(duì)任意的α，β，γ∈π，有

mαβ,γ(mα,β?idHγ)=mα,βγ(idHα?mβ,γ)，

mα,1(idHα?η)=idHα=m1,α(η?idHα).

對(duì)任意的α，β∈π，h∈Hα，ɡ∈Hβ，記hɡ=mα,β(h?ɡ).

定義2[5-6]一個(gè)π-代數(shù)H={Hα}α∈π被稱(chēng)為Hopfπ-代數(shù)，若每個(gè)(HαΔα，εα)均為k-余代數(shù)(稱(chēng)為H的第α分支)，且伴有如下結(jié)構(gòu)：

(1) 乘法mα,β：Hα?Hβ→Hα β為余代數(shù)同態(tài)，即

Δα βmα,β=(mα?mβ)Δα β，

(1)

(εα?ξβ)=ξα βmα，β.

(2)

此處Δβ(ɡ)=ɡ(1,β)?ɡ(2,β)，其中h∈Hα，ɡ∈Hβ，l∈Hγ，α，β,γ∈π.

(2) 存在一族k-線性映射S={Sα：Hα→Hα-1}α∈π(稱(chēng)為對(duì)極)，滿(mǎn)足

mα-1，α(Sα?idHα)Δα=εα11=mα，α-1(idHα?Sα)Δa.

(3)

其中h∈Hα，α∈π.

定義3[5-6]稱(chēng)Hopfπ-代數(shù)H為T(mén)uraevπ-代數(shù)，若存在一族余代數(shù)同構(gòu)ξ={ξβ：Hα→Hβ αβ-1}(稱(chēng)為共軛或者交叉結(jié)構(gòu))，滿(mǎn)足：

(1)ξ保持乘法.對(duì)任意的α,β,γ∈π，有ξβξγ=ξβγ：Hα→H(βγ)α(βγ)-1，特別地，ξ1|Hα=idα.

(2)ξ與m相容.對(duì)任意的β∈π，有ξβ(hɡ)=ξβ(h)ψβ(ɡ).

(3)ξ與單位元1H相容.對(duì)任意的β∈π，有ξβ(1)=1.

(4)ξ保持對(duì)極.ξβSα=Sβ α β-1ξβ.

定義4[5-6]設(shè)H={Hα}α∈G為一族余代數(shù).一個(gè)右H-π-余模是指一族k-空間M={Mα}α∈π，使得每個(gè)Mα均為右Hα-余模.此時(shí)記其余模結(jié)構(gòu)為ρMα：Mα→Hα?Mα，其中ρM={ρMα}α∈π.

采用Sweedler符號(hào)來(lái)進(jìn)行元素描述：對(duì)于m∈Mα，記余模作用為

ρMα(m)=m(-1,α)?m(0,α).

若M={Mα}α∈π和N={Nα}α∈π均為H-π-余模，稱(chēng)一族映射f={fα：Mα→Nα}α∈π為π-余模同態(tài)，若對(duì)任意的α∈π，均有ρNαfα=(idHα?fα)ρMα.此時(shí)記H-π-余模范疇為MH，記其中的有限維余模子范疇為Corep(H).

定義5設(shè)π為群，e為π的單位元.設(shè)存在張量范疇(C,?，I，a,l,r)，C中存在一族以π為指標(biāo)集的子范疇{Cα}a∈π，使得C為這族子范疇的無(wú)交并，且對(duì)任意的α,β∈π，當(dāng)對(duì)象U∈Cα，V∈Cβ時(shí)，有U?V∈Cα β，則稱(chēng)C為π-分次張量范疇，簡(jiǎn)記為π-范疇.此時(shí)子范疇Cα稱(chēng)為C的α-分支.

定義6[13]稱(chēng)群交叉范疇C=(C，(·)*)為左rigid群交叉范疇，若C中容許左對(duì)偶，且滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：

(1) 設(shè)對(duì)象U∈Cα，則其左對(duì)偶U*為Cα-1中的對(duì)象；

(2) 共軛同構(gòu)保持對(duì)偶關(guān)系，即對(duì)于β∈π，U∈C，有φβ(evU)=evφβ(U)，φβ(coevU)=coevφβ(U).其中ev為左賦值映射，coev為左余賦值映射.

類(lèi)似地，可定義右rigid群交叉范疇.一個(gè)既為左rigid群交叉范疇又為右rigid群交叉范疇的張量范疇被稱(chēng)為rigid群交叉范疇.

設(shè)C為rigid范疇.X，Y∈C，ɡ：Y→X為態(tài)射.則ɡ的左轉(zhuǎn)置映射ɡ*定義如下

于是此時(shí)可定義？*：X→X*，稱(chēng)之為左對(duì)偶函子.類(lèi)似地，稱(chēng)*？：X→*X為右對(duì)偶函子.

定義7[13]稱(chēng)rigid群交叉范疇C=(C，(·)*)為pivotal群交叉范疇，若C中存在一族從共軛右對(duì)偶函子到左對(duì)偶函子的張量自然同構(gòu)?U：U(*U)→U*(其中U為C中對(duì)象)，滿(mǎn)足φα(?U)=?φα(U).

定義8[2]記C中從對(duì)象U到對(duì)象V的態(tài)射集為C(U,V).一個(gè)群交叉范疇C被稱(chēng)為凝子群交叉范疇，若C中存在一族同構(gòu)c={cU,V∈C(U?V，(UV)?U)}U,V∈C，使得下列條件成立：

(1) 對(duì)任意的α∈G，f∈Cα(U，U′)，ɡ∈C(V，V′)，有((αɡ)?f)°cU,V=cU′,V′°(f?ɡ)；

(2) 對(duì)任意的U，V，W∈C，有

(3) 對(duì)任意的U，V∈C，α∈π，有φα(cU,V)=cφα(U)，φα(V).

定義9[4]稱(chēng)辮子rigid群交叉范疇C為ribbon群交叉范疇(或簡(jiǎn)稱(chēng)為ribbon群范疇)，若C存在自對(duì)偶扭曲，即存在一族同構(gòu)θ={θU：U→UU}U∈C，滿(mǎn)足下列條件：

(1)θ是自然的，即對(duì)任意的α∈π，φ∈Cα(U，V)，有

θV°φ=(αφ)°θU；

(G1)

(2) 對(duì)任意的U∈Cα，V∈Cβ，有

θU?V=cU?VV,UU°cUU,VV°(θU?θV)；

(G2)

(3) 對(duì)任意的U∈C，α∈π，有

φα(θU)=θφα(U)；

(G3)

(4) 對(duì)任意的U∈Cα，有

(idUU?θUU*)°coevUU=(θU?idU*)°coevU.

(G4)

2　Corep(H)中的pivotal群交叉結(jié)構(gòu)

從本節(jié)開(kāi)始，約定H={(Hα，Δα，εα，Sα，ξα)}α∈π為T(mén)uraevπ-代數(shù).

對(duì)任意的V∈Corepα(H)，令V*=*V=homk(V，k)，分別定義Hα-1的余模作用：

f(0,α-1)(v)?f(1,α-1)=f(v(0,α))?Sα(v(1,α))，v∈V，f∈V*；

定義賦值映射和余賦值映射如下：

其中ei和ei為V的對(duì)偶基.易證如上定義的V*為V的左對(duì)偶，*V為V的右對(duì)偶，因此Corep(H)是一個(gè)rigid范疇.此時(shí)，易知上述定義的交叉結(jié)構(gòu)φ與賦值映射之間的相容性條件是滿(mǎn)足的，于是有如下命題.

命題1Corep(H)為rigid群交叉范疇.

J(U)=U(*U)，J(φ)=α(*φ).

則此時(shí)有集合同構(gòu)Nat(F°J，F(xiàn)°?*)?H*，其中?*為左對(duì)偶函子.

證明對(duì)任意的?∈Nat(F°J，F(xiàn)°?*)，h∈Hα，定義映射A：Nat(F°J，F(xiàn)°?*)→H*如下

A(?)={A(?)α}α∈π，A(?)α(h)∶=?Hα(α(εα))(h).

對(duì)任意的ɡ={ɡα}α∈π∈H*，u∈U∈Corepα(H)，ψ∈*U，定義映射B：H*→Nat(F°J，F(xiàn)°?*)如下

B(f)={Q(ɡα)}α∈π，B(ɡα)U(αψ)(u)=ψ(u(0,α))ɡα(u(1,α)).

首先驗(yàn)證B定義的合理性.對(duì)任意的Corepα(H)中的態(tài)射φ：U→V，ν∈*V，u∈U，

(φ*°B(ɡα)V)(αν)(u)=(B(ɡα)V(αν))(φ(u))=ν(φ(u(0,α)))ɡα(u(1,α))=

α(*φ(ν))α(u(0,α))ɡα(u(1,α))=(B(ɡα)U°α(*φ))(αν)(u)，

即B(f)是自然變換，故B定義合理.

下證A和B互逆.一方面，A(B(ɡα))α(h)=B(ɡα)Hα(α(εα))(h)=ɡα(h)；另一方面，考慮到

B(A(?)α)U(αψ)(u)=ψ(u(0,α))A(?)α(u(1,α))=

ψ(u(0,α))?Hα(α(εα))(u(1,α))=?Hα(α(εα))(ψ(u(0,α))u(1,α)).

故只需證明?Hα(α(εα))(ψ(u(0,α))u(1,α))=?U(αψ)(u)即可.為此，定義映射

從而A和B互逆.

下設(shè)?∈Nat(F°J，F(xiàn)°?*)和ɡ={ɡα}α∈π∈H*為在上述同構(gòu)下互相對(duì)應(yīng)的元素.

引理1?為H-余線性的，當(dāng)且僅當(dāng)ɡ滿(mǎn)足對(duì)任意的α∈π，a∈Hα，均有

(4)

證明充分性.對(duì)任意的u∈U∈Corepα(H)，ψ∈*U，

?U(α(ψ(0,α-1)))(u)?ξα(ψ(0,α-1))=ψ(0,α-1)(u(0,α))ɡα(u(1,α))ξα(ψ(0,α-1))=

?U(α(ψ))(0,α-1)(u)??U(α(ψ))(1,α-1)，

即?U為H-余線性的.

必要性.取U=Hα，εα=ψ，由?Hα的余線性性質(zhì)，直接可得到等式(4).

引理2?同構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)ɡ卷積可逆.

證明充分性.設(shè)ɡ的卷積逆為ɡ-1.對(duì)任意的u∈U∈Corepα(H)，φ∈U*，定義自然變換?′為

易知

引理3?為張量自然變換，當(dāng)且僅當(dāng)ɡ對(duì)任意的α，β∈π，a∈Hα，b∈Hβ，滿(mǎn)足

ɡβ α(ba)=ɡα(a)ɡβ(b).

(5)

證明充分性.對(duì)任意的u∈U，v∈V,U∈Corepα(H),V∈Corepβ(H)，μ∈*U，ν∈*V，有

?U?V(βν?αμ)(v?u)=(βν?αμ)((v?u)(0,β α))ɡβ α((v?u)(1,β α))=

βν(v(0,β))αμ(u(0,α))ɡβ α(v(1,β)u(1,α))=βν(v(0,β))αμ(u(0,α))ɡβ(v(1,β))ɡα(u(1,α))=

(?V(βν)??U(αμ))(v?u)=(?V??U)(βν?αμ)(v?u).

即φ為張量自然變換.

必要性.取U=Hα，V=Hβ，μ=ξα，ν=εβ，由?的張量性質(zhì)，即可得到等式(5).

引理4對(duì)任意的α,β∈π，U∈Corepβ(H)，?滿(mǎn)足φα(?U)=?φα(U)，當(dāng)且僅當(dāng)ɡ對(duì)任意的α,β∈π，a∈Hα，β∈Hβ，

ɡβ(b)=ɡα β α-1(ξα(b)).

(6)

證明充分性.對(duì)任意的u∈U∈Corepβ(H)，φ∈U*，

φα(?U)(α βφ)(αu)=α(?U(βφ)(u))=φ(u(0,β))ɡβ(u(1,β))=

αφ(α(u(0,β)))ɡα β α-1(ξα(u(1,β)))=?α β φ(αu).

必要性.取U=Hβ，φ=εβ，即可知等式(6)成立.

定義10設(shè)H={Hα}α∈π為T(mén)uraevπ-代數(shù).稱(chēng)線性型ɡ={ɡα}a∈π∈H*為H上的余pivotal結(jié)構(gòu)，若ɡ為卷積可逆的，且滿(mǎn)足等式(4)—(6).此時(shí)稱(chēng)H={(Hα，ɡα)}α∈π為一個(gè)余pivotal Turaevπ-代數(shù).

例1若π=e，則易知此時(shí)H={(Hα，ɡα)}α∈π為一個(gè)余pivotal Hopf代數(shù).

綜上，由命題1—2，引理1—4，可得以下本文主要結(jié)果之一.

定理1設(shè)H={Hα}α∈π為T(mén)uraevπ-代數(shù).則H為余pivotal Turaevπ-代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)H的余表示范疇Corep(H)為pivotal群交叉范疇.

3　Corep(H)中的ribbon群交叉結(jié)構(gòu)

由文獻(xiàn)[9]可知，H={Hα}α∈π被稱(chēng)為余擬三角Turaevπ-代數(shù)，若存在k-線性映射σ={σβ,γ：Hβ?Hγ→k}β,γ∈π，使得對(duì)任意的β，γ，θ∈π，x∈Hβ，y∈Hγ，p∈Hθ，下列條件成立：

(C1)σβ，γθ(x，yp)=σβ，θ(x(1,β),p)σβ，γ(x(2,β),y)；

(C2)σβγ，θ(xy,p)=σβ，γθγ-1(x，ξγ(p(1,θ)))σγ，θ(y,p(2,θ))；

(C3)σβ，γ(x(1,β),y(1,γ))x(2,β)y(2,γ)=ξβ(y(1,γ))x(1,β)σβ，γ(x(2,β),y(2,γ))；

(C4)σβ，γ(x,y)=σθβθ-1，θγθ-1(ξθ(x),ξθ(y))；

以下約定H={(Hα，σ)}α∈π為余擬三角Turaevπ-代數(shù).

注2對(duì)任意的α，β∈π，由文獻(xiàn)[9]中定理3.5，易知余擬三角結(jié)構(gòu)可誘導(dǎo)余模范疇Corep(H)中的辮子結(jié)構(gòu)cU,V為

I(U)=UU，I(φ)=αφ.

則此時(shí)有集合同構(gòu)Nat(F，F(xiàn)°I)?H*.

證明對(duì)任意的θ∈Nat(F，F(xiàn)°I)，h∈Hα，定義映射P：Nat(F，F(xiàn)°I)→H*，

P(θ)={P(θ)α}α∈π，P(θ)α(h)∶=εαk(θHα(h)).

對(duì)任意f={fα}α∈π∈H*，u∈U∈Corepα(H)，定義映射Q：H*→Nat(F，F(xiàn)°I)，

Q(f)={Q(fα)}α∈π，Q(fα)U(u)=fα(u(1,α))α(u(0,α)).

首先驗(yàn)證Q定義的合理性.對(duì)任意Corepα(H)中的態(tài)射φ：U→V，u∈U，有

Q((fα)V°φ)(u)=fα((φ(u))(1,α))α((φ(u))(0,α))=

fα(u(1,α))(αφ(α(u(0,α))))=(αφ°Q(fα)U)(u).

即Q(f)是自然變換，故Q定義合理.

下證P和Q互逆.一方面，我們有

P(Q(fα))α(h)=εα(Q(fα)H(h))=εα(fα(h(2,α))α(h(1,α)))=fα(h).

另一方面，因?yàn)?/p>

Q(P(θ)α)U(u)=(P(θ)α)(u(1,α))α(u(0,α))=εα(θHα(u(1,α)))α(u(0,α))，

故只需證明εα(θHα(u(1,α)))α(u(0,α))=θU(u)即可.為此，任取U*中的元素，并定義映射為

α(εα(θHα(u(1,α)))α(u(0,α)))=εα(θHα(u(1,α)))α(α(u(0,α)))=

εα(θHσk(

設(shè)θ∈Nat(F，F(xiàn)°I)和f={fα}α∈π∈H*為在上述同構(gòu)下互相對(duì)應(yīng)的元素.由以上證明過(guò)程可知θ滿(mǎn)足公式(G1).

引理5θ為H-余線性的，當(dāng)且僅當(dāng)f為共軛余交換的，即f滿(mǎn)足對(duì)任意的α∈π，h∈Hα，均有fα(h(1,α))h(2,α)=ξα(h(1,α))fα(h(2,α)).

證明充分性.設(shè)α∈π，u∈U∈Corepα(H)，易知

(ρUU°θU)(u)=fα(u(2,α))α(u(0,α))?ξα(u(1,α))=

fα(u(1,α))α(u(0,α))?u(2,α)=((θU?idHα)°ρU)(u)，

于是θα為Hα-余線性的.

必要性.取U=Hα，由θα的余線性性質(zhì)，對(duì)任意的h∈Hα，均有fα(h(3,α))α(h(1,α))?ξα(h(2,α))=fα(h(2,α))α(h(1,α))?h(3,α).兩邊同時(shí)以εα?id作用，即可知命題成立.

引理6θ為同構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)f為卷積可逆的.

直接驗(yàn)證即可知θ′即為θ的逆元.

則類(lèi)似于引理2，易證f′即f的卷積逆.

引理7θ滿(mǎn)足公式(G2)，當(dāng)且僅當(dāng)f對(duì)任意的α,β∈π,a∈Hα，b∈Hβ，滿(mǎn)足

σβ,α(ξβ(b(1,β))，a(1,α))σα,β(ξα(a(2,α))，ξβ(b(2,β)))fα(a(3,α))fβ(b(3,β))=fα β(ab).

(7)

證明充分性.對(duì)于α，β∈π，u∈U∈Corepα(H)，v∈V∈Corepβ(H)，

(cU?VV，UU°cUU,VV°(θU?θV))(u?v)=

(cU?VV,UU°cUU,VV)(fα(u(1,α))fβ(v(1,β))α(u(0,α))?β(v(0,β)))=

cUU,VV(fα(u(2,α))fβ(v(2,β))σα,β(ξα(u(1,α))，ξβ(v(1,β)))α β(v(0,β))?α(u(0,α)))=

σα,β(ξα(u(2,α)),ξβ(v(2,β)))fα(u(3,α))fβ(v(3,β))σαβ α-1，α(ξα β(v(1,β))，ξα(u(1,α)))αβ α(u(0,α))?α β(v(0,β))=

σβ,α(ξβ(v(1,β))，u(1,α))σα,β(ξα(u(2,α)),ξβ(v(2,β)))fα(u(3,α))fβ(v(3,β))αβ α(u(0,α))?α β(v(0,β))=

fα β(u(1,α)v(1,β))αβ α(u(0,α))?α β(v(0,β))=θU?V(u?v)，

即公式(G2)成立.

必要性.取U=Hα，V=Hβ，在公式(G2)等號(hào)兩邊同時(shí)以(εαβ αβ-1α-1?εαβ α-1)作用，即可知結(jié)論成立.

引理8θ滿(mǎn)足公式(G3)，當(dāng)且僅當(dāng)f對(duì)任意的α,β∈π,b∈Hβ，滿(mǎn)足

fβ(b)=fαβ α-1(ξα(b)).

(8)

證明充分性.對(duì)任意的v∈V∈Corepβ(H)，

ξα(θV)(αv)=α(θV)(αv)=fβ(v(1,β))α β(v(0,β))=

fαβ α-1(ξα(v(1,β)))α β(v(0,β))=θαV(αv)，

即公式(G3)成立.

必要性.取V=Hβ，在公式(G3)等號(hào)兩邊同時(shí)以εαβ α-1作用，即可知結(jié)論成立.

引理9θ滿(mǎn)足公式(G4)，當(dāng)且僅當(dāng)f對(duì)任意的α∈π，a∈Hα，滿(mǎn)足

fa-1(ξα(Sα(a)))=fα(a).

證明充分性.對(duì)于α∈π，u∈U∈Corepα(H)，

((idUU?θUU*)°coevUU)(1k)(u)=∑(idUU?θUU*)(αei?αei)(u)=

αu(0,α)fα-1(ξα(Sα(u(1,α))))=αu(0,α)fα(u(1,α))=

∑fa(ei(1,α))αei(0,α)?ei(u)=((θU?idU*)°coevU)(1k)(u)，

即公式(G4)成立.

必要性.取U=Hα，在公式(G4)等號(hào)兩邊同時(shí)以εα作用，即可知結(jié)論成立.

定義11設(shè)H={Hα}α∈π為余擬三角Turaevπ-代數(shù).稱(chēng)線性型f={fα}α∈π∈H*為H上的余ribbon結(jié)構(gòu)，若f為共軛余可換的，卷積可逆，且滿(mǎn)足等式(7)—(9).稱(chēng)H={(Hα,fα)}α∈π為一個(gè)余ribbon Turaevπ-代數(shù).

例2若π=e，則易知此時(shí)H={(Hα，fα)}α∈π為一個(gè)余ribbon Hopf代數(shù).

綜上，由命題3及引理5—9，可得本文另一主要結(jié)果.

定理2設(shè)H={Hα}α∈π為余擬三角Turaevπ-代數(shù).則H為余ribbon Turaevπ-代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)H的余表示范疇Corep(H)為ribbon群交叉范疇.

[1]TURAEV V.Homotopy field theory in dimension 3 and crossed group-categories[J/OL].Arxiv：Math，2000[2015-01-18].arxiv.org/abs/math/0005291.

[2]董建偉，張又林.一維雙極量子流體動(dòng)力學(xué)等溫模型穩(wěn)態(tài)角的唯一性[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，47(3)：33-36.

[3]TURAEV V.Homotopy field theory in dimension 2 and group-algebras[J/OL].Arxiv：Math，1999[2015-01-18].arxiv.org/abs/math/9910010.

[4]TURAEV V.Homotopy quantum field theory[M].Zurich：European Mathematical Society，2010：1-290.

[5]TURAEV V.Crossed group-categories[J].The Arabian Journal for Science and Engineering，2008，33(2C)：483-503.

[6]VIRELIZIER A.Hopf group-coalgebras[J].Journal of Pure and Applied Algebra，2002，171：75-122.

[7]CAENEPEEL S，DE LOMBAERDE M.A categorical approach th Turaev’s Hopf group-coalgebras[J].Communications in Algebra，2006，34：2631-2657.

[8]WANG S H.Group entwining structures and group coalgebra Galois extensions[J].Communications in Algebra，2004，32：3417-3436.

[9]WANG S H.Coquasitriangular Hopf group algebras and Drinfel’d co-doubles[J].Communications in Algebra，2009，35：77-101.

[10]WANG S H.Turaev group coalgebras and twisted Drinfeld double[J].Indiana University Mathematic Journal，2009，58(37)：1395-1417.

[11]ZUNINO M.Double construction for crossed Hopf coalgebras[J].Journal of Algebra，2004，278：43-75.

[12]ZUNINO M.Tannaka reconstruction for crossed Hopf group coalgebras[J/OL].Arxiv：Math，2006[2015-01-18].arxiv.org/abs/math/0606011v1.

[13]ZUNINO M.Yetter-Drinfeld modules for crossed structures[J].Journal of Pure and Applied Algebra，2004，193：313-343.

[14]CHEN Q G，WANG D G.The semisimplicity of weak Doi-Hopf modules[J].Acta Mathematica Sinica，Chinese Series，2014，57(3)：417-426.

[15]TURAEV V.Quantum invariants of knots and 3-manifolds[M].Berlin：De Gruyter，2010：1-605.

[16]YANG T，WANG S H.Constructing new braided T-categories over regular multiplier Hopf algebra[J].Communications in Algebra，2011，39：3073-3089.

[17]VAN DAELE A，WANG S H.New braided crossed categories and Drinfel’d quantum double for weak Hopf group coalgebras[J].Communications in Algebra，2008，36：2341-2386.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Coribbon Turaevπ-algebras

GUO Shuang-jian1，ZHANG Xiao-hui2

(1.School of Mathematics and Statistics，Guizhou University of Finance and Economics，Guiyang 550025，China；2.School of Mathematical Sciences，Qufu Normal University，Qufu 273165，China)

The crossed ribbon structure and crossed pivotal structure inCorep(H) are studied，where the category ofπ-comodules over a Turaevπ-algebraH.The notions of a copivotal Turaevπ-algebra and a coribbon Turaevπ-algebra are introduced.Finally，the necessary and sufficient conditions forCorep(H) to be a crossed pivotal category and to be a crossed ribbon category are given.

Turaevπ-algebra；crossed ribbon category；coribbon structure；copivotal structure

1000-1832(2016)03-0014-07

2015-01-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371088)；國(guó)家數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目(11426073)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK2012736)；貴州省科技廳基金資助項(xiàng)目(2014GZ81365).

郭雙建(1981—)，男，博士，副教授，主要從事Hopf代數(shù)及量子群研究；通信作者：張曉輝(1985—)，男，博士，講師，主要從事Hopf代數(shù)及量子群研究.

O 153.3[學(xué)科代碼]110·21

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.004