胡　明　張為民　楊　萌　田　蔚　鐘　敏

1　中國科學院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢市徐東大街340號，430077

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抗差估計在自由落體式絕對重力儀中的應用

胡明1張為民1楊萌1田蔚1鐘敏1

1中國科學院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢市徐東大街340號，430077

針對自由落體式絕對重力儀中的異常數(shù)據(jù)，提出抗差參數(shù)估計的數(shù)據(jù)處理方法。對比分析傳統(tǒng)最小二乘擬合與抗差最小二乘擬合計算的重力值，結(jié)果表明,抗差參數(shù)估計通過合理調(diào)整權(quán)重因子抑制了異常數(shù)據(jù)的影響，提高了重力測量精度。

傳統(tǒng)最小二乘估計；抗差參數(shù)估計；絕對重力儀；自由落體

FG5是目前廣泛使用的絕對重力儀產(chǎn)品，結(jié)合g9軟件，其獲得的重力測量精度達μGal級。文獻[1]給出了FG5重力儀g9軟件數(shù)據(jù)處理與參數(shù)擬合的一般流程；文獻[2]從時域上對自由落體各數(shù)據(jù)權(quán)重進行了詳細分析與討論；文獻[3-6]在參數(shù)擬合公式中增加正弦項與余弦項，抑制激光器調(diào)制頻率對輸出的影響；文獻[7]將Lp范數(shù)理論應用于絕對重力儀數(shù)據(jù)處理中，并詳細討論了各種噪聲模型的影響。自由落體式絕對重力儀中的時間-距離測量數(shù)據(jù)難免存在觀測粗差，一般采取的舍棄部分初始和結(jié)束段數(shù)據(jù)的預處理方法很難剔除落體數(shù)據(jù)中的全部粗差。傳統(tǒng)最小二乘參數(shù)擬合方法適用于近似服從正態(tài)分布的測量數(shù)據(jù)，參數(shù)擬合結(jié)果對非正態(tài)分布的觀測粗差極為敏感[7-8]。因此，如何抑制絕對重力儀中異常數(shù)據(jù)的影響，提高重力儀測量精度，是一個值得深入研究的問題。

本文針對自由落體式絕對重力儀，將抗差參數(shù)估計應用到等距離間隔的數(shù)據(jù)處理中，并與傳統(tǒng)最小二乘擬合結(jié)果和g9軟件處理結(jié)果進行對比。結(jié)果表明，抗差參數(shù)估計采用變權(quán)重的方法抑制了異常數(shù)據(jù)對重力加速度測量的影響；同等條件下，抗差參數(shù)估計得到的重力值相對傳統(tǒng)最小二乘擬合更接近g9軟件的處理結(jié)果，提高了重力值測量精度。

1　傳統(tǒng)最小二乘擬合

對于自由落體式的高精度絕對重力儀，若忽略重力梯度效應并考慮激光器的波長調(diào)制效應，位移測量值xi與時間ti之間的關(guān)系可表示為[4-5]：

(1)

式中，x0、v0、g分別為初始位移、初始速度、當?shù)刂亓铀俣?，M為干涉條紋分頻數(shù)，λ為激光波長，ωd為激光器波長調(diào)制頻率，B和C為正弦項和余弦項相關(guān)系數(shù)。

根據(jù)傳統(tǒng)最小二乘擬合標準進行參數(shù)估計：

(2)

式中，

(3)

自由落體式FG5重力儀以等距離間隔模式工作，落體棱鏡經(jīng)過相同位移觸發(fā)相應時刻信號，且隨落體棱鏡下落速度的增加，時刻數(shù)據(jù)越來越密集，時間間隔越來越短。若設(shè)置重力儀分頻數(shù)為4 000(即4 000個條紋產(chǎn)生一個時間測量脈沖信號)，單次落體約采集180個時刻點，典型的時刻與時間間隔曲線如圖1所示。圖1(a)為時刻測量曲線，時刻隨點數(shù)增加而逐漸增大；圖1(b)為4 000分頻距離對應的時間間隔，由于落體棱鏡下落速度越來越快，時間間隔會隨之逐漸變小。在120數(shù)據(jù)段之后的時間間隔異常跳躍，可能是自由落體系統(tǒng)震動或時間計數(shù)器跳躍等所致，在數(shù)據(jù)處理時需要預先剔除。對多次自由落體數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，大部分數(shù)據(jù)在120點后產(chǎn)生異常跳躍，所以暫選1～100數(shù)據(jù)段進行參數(shù)擬合。

圖1　等距離間隔模式下時間測量曲線Fig.1　Time curve for equally spaced in time

圖2　傳統(tǒng)最小二乘與抗差最小二乘的重力誤差對比Fig.2　Gravity error comparison between ordinary least square and robust trend estimation

在相同參數(shù)設(shè)置下，將傳統(tǒng)最小二乘擬合(OLS)得到的重力值與FG5軟件處理結(jié)果進行對比。圖2中虛線為傳統(tǒng)最小二乘擬合與FG5軟件計算結(jié)果的差異。在300次自由落體數(shù)據(jù)中，大部分傳統(tǒng)最小二乘擬合計算結(jié)果與FG5軟件計算結(jié)果的差異小于0.2μGal，僅有6次自由落體顯示巨大差異。對差異較大的6次落體時間序列進行詳細分析(圖3)，可以看出，在1～100擬合數(shù)據(jù)中出現(xiàn)異常跳躍，這些異常跳躍直接導致最小二乘擬合的重力值與FG5軟件計算結(jié)果產(chǎn)生巨大偏離。

圖3　6次差異較大的落體時間間隔曲線Fig.3　Time duration curves of 6 abnormal drops

2　抗差最小二乘擬合

抗差參數(shù)估計通過合理設(shè)置各數(shù)據(jù)權(quán)重來抑制異常跳躍對重力值的影響：對正常觀測值采取保權(quán)處理；對非正常但可利用的觀測值采取降權(quán)處理；對粗差，使其權(quán)重為0，在參數(shù)擬合中不使用[9-10]?？共顓?shù)估計主要基于迭代的方法來設(shè)置各數(shù)據(jù)點的權(quán)重因子，且?guī)Ъ訖?quán)估計參數(shù)矩陣的計算公式可表示為[8]：

圖5　傳統(tǒng)最小二乘擬合與抗差最小二乘擬合曲線對比(a)和抗差最小二乘中各測量數(shù)據(jù)的權(quán)重(b)Fig.5　Curve fitting comparison between ordinary least square and robust trend estimation(a) and weights of the data for robust trend estimation(b)

采用抗差最小二乘處理自由落體重力儀數(shù)據(jù)，并與傳統(tǒng)最小二乘擬合曲線進行對比(圖5(a))。圖5(b)給出了抗差估計中各數(shù)據(jù)點在參數(shù)估計中的權(quán)重曲線。該權(quán)重曲線顯示，自由落體測量數(shù)據(jù)中最后部分數(shù)據(jù)的權(quán)重幾乎為0，為異常數(shù)據(jù)，與圖5(a)中曲線相符。對比傳統(tǒng)最小二乘與抗差最小二乘的殘差位移直方圖(圖6)顯示，采用抗差參數(shù)估計使殘差位移由10-4m量級減小到約10-9m量級，相對傳統(tǒng)最小二乘而言，抗差參數(shù)估計的殘差位移更接近正態(tài)分布。

圖6　傳統(tǒng)最小二乘擬合與抗差最小二乘擬合的殘差位移直方圖Fig.6　Distance residuals histogram for both ordinary least square and robust trend estimation

若進行參數(shù)擬合的數(shù)據(jù)段中沒有異常點，傳統(tǒng)最小二乘法(OLS)和抗差最小二乘法(Robust)與g9軟件處理結(jié)果的差異都在0.2μGal以內(nèi)。若進行參數(shù)擬合的數(shù)據(jù)段含有異常跳躍，利用傳統(tǒng)最小二乘法與抗差最小二乘法以及g9軟件的數(shù)據(jù)處理結(jié)果見表1。表1顯示，用傳統(tǒng)最小二乘法處理數(shù)據(jù)得到的重力值與g9軟件計算結(jié)果差異巨大；采用抗差最小二乘法時，大部分異常數(shù)據(jù)對重力加速度擬合參數(shù)的影響得到抑制，重力值的精度提高約6～8個量級。

表1　傳統(tǒng)最小二乘法(OLS)、抗差最小二乘法分別與g9軟件處理結(jié)果的對比

3　結(jié)　語

抗差參數(shù)估計應用到自由落體式絕對重力儀的數(shù)據(jù)處理中，極大地抑制了異常點對重力加速度計算結(jié)果的影響，提高了重力值的精度。相對傳統(tǒng)最小二乘法而言，抗差參數(shù)估計的計算結(jié)果與g9軟件處理結(jié)果差異更小，且能容忍部分異常數(shù)據(jù)，魯棒性能良好。同時，該方法也給出了一種鑒別自由落體中異常數(shù)據(jù)的途徑。

[1]Micro-g LaCoste. G9 User’s Manual[Z]. 2012

[2]Nagornyi V D. A New Approach to Absolute Gravimeter Analysis[J]. Metrologia, 1995, 32(3): 201-208

[3]Niebauer T M, Sasagawa G S, Faller J E, et al. A New Generation of Absolute Gravimeters[J]. Metrologia, 1995, 32(3): 159-180

[4]Orlob M. Spectral Analysis of Synthetically Affected FG5 Absolute Gravimeter Residuals[D]. Dallas:University of Texas, 2011

[5]Orlob M. Absolute Gravimetry Instrumentation of FG5 and an Overview of Applications[R]. ENGO 615-Advanced Physical Geodesy Project Report, 2008

[6]Orlob M, Braun A. Impact Estimation and Filtering of Disturbances in FG5 Absolute Gravimeter Observations[J]. International Journal of Geosciences, 2013, 4(2), 302-308

[7]Nagornyi V D, Svitlov S, Araya A. Improving Absolute Gravity Estimates by theLp-Norm Approximation of the Ballistic Trajectory[EB/OL].http://arxiv.org/abs/1509.00750,2015[8]費業(yè)泰. 誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，2000 (Fei Yetai. Error Theory and Data Processing.[M]. Beijing: China Machine Press, 2000)

[9]Holland P W, Welsch R E. Robust Regression Using Iteratively Reweighted Least-Squares[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods, 1977, 6(9): 813-827

[10] 楊元喜. 抗差估計理論及其應用[M]. 北京：八一出版社，1993 (Yang Yuanxi. Robust Estimation Theory and Its Application.[M]. Beijing: Bayi Press, 1993)

Foundation support:National Key Scientific Instrument and Equipment Development Project, No.ZDYZ2012-1-04; National Natural Science Foundation of China, No.41504140.

About the first author:HU Ming, PhD, assistant researcher, majors in inertial sensor and gravimeter, E-mail: huming@whigg.ac.cn.

Robust Trend Estimation and Its Application in the Free Fall Absolute Gravimeter

HUMing1ZHANGWeimin1YANGMeng1TIANWei1ZHONGMin1

1State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics, Institute of Geodesy and Geophysics,CAS, 340 Xudong Street, Wuhan 430077, China

Robust trend estimation is employed for some outliers in the free fall absolute gravimeter. We compare gravity as obtained by ordinary least square estimation and by robust trend estimation. The results show that we can reject outliers by adjusting the weighting factors of the time-distance pairs, thus improving measurement accuracy.

ordinary least square estimation; robust trend estimation; absolute gravimeter; free fall

2015-11-13

胡明，博士，助理研究員，主要從事慣性傳感器與重力儀相關(guān)研究，E-mail：huming@whigg.ac.cn。

10.14075/j.jgg.2016.09.018

1671-5942(2016)09-0833-04

P223

A

項目來源：國家重大科研裝備研制項目(ZDYZ2012-1-04)；國家自然科學基金(41504140)。