鄭 金

(凌源市職教中心　遼寧 朝陽(yáng)　122500)

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電容器與電源連接電路中的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系

鄭 金

(凌源市職教中心遼寧 朝陽(yáng)122500)

推導(dǎo)了電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能的公式以及電能密度公式，探究了電容器與電源連接電路中的電場(chǎng)能在外力做功的過(guò)程中的轉(zhuǎn)化規(guī)律，利用電容器的靜電能公式和虛功法解答有關(guān)電容器極板間距大小或電介質(zhì)多少發(fā)生變化的競(jìng)賽題.

電容器電場(chǎng)能能量密度

真空平行板電容器儲(chǔ)存的靜電能為

其中V=Sd為平行板電容器兩極板間的體積.由此可知真空中電場(chǎng)的能量密度為

這表明空間電場(chǎng)具有能量，電能密度正比于場(chǎng)強(qiáng)的平方.

所以空間勻強(qiáng)電場(chǎng)的靜電能等于能量密度與所占體積的乘積，即We=wV.

【例1】平行板電容器的正對(duì)面積為S，初始時(shí)兩板間距為d，兩板與電壓U相連接.如果要把電容器的兩個(gè)極板拉開(kāi)，間距變?yōu)?d，那么需要做多少功？在這個(gè)過(guò)程中，電容器的能量變化了多少？

解析:平行板電容器的電容為

開(kāi)始時(shí)儲(chǔ)存的電場(chǎng)能為

后來(lái)儲(chǔ)存的電場(chǎng)能為

可知電場(chǎng)能的變化量為

若極板間距為x，則一個(gè)極板受到另一個(gè)極板的靜電引力為

克服電場(chǎng)力做的功為

由此可見(jiàn)，拉開(kāi)極板做功的過(guò)程使電容器的能量減小為原來(lái)的一半.而且做多少功，電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能就減少多少.電荷離開(kāi)兩極板時(shí)，給電池充電，使電池的能量增加了，同時(shí)在電路中產(chǎn)生了焦耳熱.

對(duì)于一個(gè)與電源連接的電容器，當(dāng)外力使極板間距增大時(shí)，電場(chǎng)能的變化等于外力做的功，好像滿足功能關(guān)系，與電路中的電源無(wú)關(guān)，其實(shí)不然.因?yàn)樵谕饬ψ龉Φ倪^(guò)程中，電容器通過(guò)電源把能量釋放出去，電場(chǎng)能轉(zhuǎn)化為電源的能量或消耗在電源的內(nèi)阻上，電源參與了能量轉(zhuǎn)化，因此外力做功或者電場(chǎng)力做功與電容器電場(chǎng)能的變化在因果上不滿足功能關(guān)系，只是在數(shù)量上相等而已.但對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)中的能量變化滿足能量守恒定律.

【例2】平行板電容器兩極板A與B的間距為d，豎直地插在密度為ρ，相對(duì)介電常數(shù)為εr的液態(tài)電介質(zhì)中，當(dāng)兩極板連接一定的電壓U時(shí)，求電容器兩極板間液面上升的高度h(不計(jì)液體表面張力).

解析:虛設(shè)電介質(zhì)遷移，電源能量轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能和電場(chǎng)能.

設(shè)電容器極板的水平方向?qū)挾葹閍，平衡時(shí)兩極板間液面上升的高度為h，則超出液面部分的液體介質(zhì)受到豎直向上作用力的大小為

F=mg=ρa(bǔ)dhg

假設(shè)液體在力F作用下又向上發(fā)生一小段位移Δh，則力F做的功等于重力勢(shì)能的增加量，即

ΔW1=FΔh=ρa(bǔ)dhgΔh

電容的增量為

由電容的定義式可得電容器增加的電荷量為

因此增加的電場(chǎng)能為

電源做的功為

由能量守恒定律得

ΔW2=ΔE+ΔW1

解得

【例3】電容式電壓計(jì)是由空氣平行板電容器與彈簧構(gòu)成.其中一個(gè)極板固定不動(dòng)，另一個(gè)極板可沿垂直于板面方向平動(dòng)，勁度系數(shù)為κ′的彈簧固定在可動(dòng)極板上.如圖1所示.極板的正對(duì)面積為S，當(dāng)電壓為零時(shí)兩極板間距為d.此儀器能夠測(cè)量的最大電壓是多少？

圖1

解法1:設(shè)電壓為零時(shí)，彈簧形變量為零，當(dāng)加上電壓U時(shí)，引力使極板間距減小，則電容增大，電荷量增大，引力增大，當(dāng)最終平衡時(shí)，極板間引力為F，與彈簧的彈力大小相等，方向相反，設(shè)此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x，極板間電壓仍為U，間距為l=d-x.可用虛功法推導(dǎo)靜電力F與極板間距l(xiāng)的關(guān)系.

假設(shè)在靜電力作用下，極板發(fā)生微小位移Δx，則克服彈簧的彈力所做的功為

W=F·Δx

開(kāi)始時(shí)電容器儲(chǔ)存的靜電能為

此時(shí)電容器增加的電場(chǎng)能為

ΔE1=WC2-WC1=

即

移動(dòng)的電荷量為

q=ΔC·U

則電源放出的能量為

ΔE2=ΔC·U2

由能量守恒定律有

ΔE2=ΔE1+W

可得

由此得

式中l(wèi)=d-x.

而此時(shí)彈簧的彈力為F′=κ′x，與極板間的靜電引力平衡，即

則

實(shí)際上，總能量都是由電源提供的，其中一半能量轉(zhuǎn)化為電容器的靜電能，另一半能量使極板發(fā)生移動(dòng)，轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能.

解法2:假設(shè)在靜電力作用下，極板發(fā)生微小位移Δx，則克服彈簧的彈力所做的功即靜電引力做的功為W=F·Δx.

二者在數(shù)量上相等，即W=ΔE，可得

在上述兩種解法中，若利用電容器的靜電能公式計(jì)算，則靜電能增加量為

若利用能量密度公式計(jì)算，則靜電能減少量為

那么二者是否發(fā)生矛盾呢？其實(shí)不然，因?yàn)榍罢哽o電能的增加量是指儲(chǔ)存在電容器中的靜電能，是電源給電容器充電的結(jié)果；而后者靜電能的減少量是指電磁系統(tǒng)損失的靜電能，不是儲(chǔ)存在電容器中，而是從電磁系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到彈簧中去了，是極板間的靜電引力做功的結(jié)果.靜電引力做多少功，電場(chǎng)能就減少多少，彈簧的彈性勢(shì)能就增加多少，或者說(shuō)電源放出2倍的能量轉(zhuǎn)化為電容器的靜電能，其中一半儲(chǔ)存在電容器中，另一半用來(lái)克服彈簧彈力做功，轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能.

1物理學(xué)難題選登Ⅴ.物理通報(bào)，2007(11)：33

2物理學(xué)難題選登Ⅴ解答.物理通報(bào)，2007(12)：38

3楊國(guó)平.虛功原理.數(shù)理天地，2006(3)

4楊國(guó)平.物理解題中的極值方法.物理通報(bào)，2012(4):56

2016-04-07)