吳喜洋　湯伶俐　李超華　宮 雪

(上海師范大學(xué)物理系　上?！?00234)

方 偉

(上海師范大學(xué)物理系　上?！?00234；

上海市星系和宇宙學(xué)半解析研究重點實驗室　上?！?00234)

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遞推法求分形物體的轉(zhuǎn)動慣量

吳喜洋湯伶俐李超華宮 雪

(上海師范大學(xué)物理系上海200234)

方 偉

(上海師范大學(xué)物理系上海200234；

上海市星系和宇宙學(xué)半解析研究重點實驗室上海200234)

應(yīng)用遞推法，結(jié)合量綱分析，標度變換及平行軸定理，求解了n階康托爾集、謝爾賓斯基地毯、門格海綿、謝爾賓斯基四面體的轉(zhuǎn)動慣量.

量綱分析分形轉(zhuǎn)動慣量遞推法

1　前言

形狀規(guī)則的剛體轉(zhuǎn)動慣量可由基本定義式積分求得.利用量綱分析法，對某些具有一定對稱性且質(zhì)量分布均勻的物體[諸如細棒、平面體(三角形、矩形、等腰梯形、正多邊形、扇形、圓形、三角形等)、長方體等]的轉(zhuǎn)動慣量亦可在不用積分等繁雜運算的情況下利用量綱分析法巧妙求出[1～4].文獻[5]將上述方法推廣至分形物體，利用分形物體的自相似特性，結(jié)合量綱分析、標度變換和平行軸定理分別求出了謝爾賓斯基三角形、門格海綿、謝爾賓斯基四面體等分形物體的轉(zhuǎn)動慣量.文獻[6]研究發(fā)現(xiàn)，該方法在求該文中的那些體積、面積或者長度趨向于零的分形物體的轉(zhuǎn)動慣量時并不奏效，這是由于數(shù)學(xué)上的無窮階分形與物理上可實現(xiàn)的有限階分形物體之間存在差別導(dǎo)致. 文獻[6]巧妙地利用了n-1階的分形物體與n階分形物體的一部分存在相似性的特點，同樣利用標度變換和量綱分析法，給出了求n階分形物體轉(zhuǎn)動慣量的方法. 文中以簡單的分形正三角形為例，顯示該結(jié)果在n趨向無窮大時與文獻[5]的結(jié)果是一致的.本文準備利用文獻[6]中的方法來具體求解幾個典型的分形物體的轉(zhuǎn)動慣量，并證明當(dāng)分形物體的階數(shù)n趨向無窮大時，其結(jié)果與文獻[5]的結(jié)果都是一致的，進而說明該方法的有效性.

2　遞推法求分形物體轉(zhuǎn)動慣量

2.1康托爾集

取一條單位長度的線段，把它3等分，截掉中間那一段，然后將剩下的兩段分別3等分，再去掉中間一段，對剩下的更短的線段繼續(xù)同樣的操作.隨著不斷的分割，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，可得到一個離散的點集，稱為康托爾點集，其長度為零.

圖1

定義如圖1(a)所示為第0階分形圖形，圖1(b)為第1階分形圖形，圖1(c)為第2階分形圖形，圖1(d)為第3階分形圖形，以此類推直至第n階分形圖形.設(shè)圖1(a)是質(zhì)量為m，邊長為L的直線段.根據(jù)量綱分析，它繞過質(zhì)心O且垂直于該線段的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量可表示為

I0=λmL2

(1)

其中λ為無量綱的比例系數(shù)，且λ僅與物體的形狀有關(guān).

(2)

(3)

(4)

(5)

為求第n階康托爾集的轉(zhuǎn)動慣量的最終表達式，先將上式改寫為

(6)

(7)

當(dāng)n→時，In=0，這是顯而易見的，即對于數(shù)學(xué)上的康托爾集其質(zhì)量為零，轉(zhuǎn)動慣量也為零.

(8)

當(dāng)n→時，.利用文獻[5]中求轉(zhuǎn)動慣量的方法計算發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果一致，但實際上，由于康托爾集長度為零，質(zhì)量為零，文獻[5]中算出來的轉(zhuǎn)動慣量并沒有實際意義.

2.2謝爾賓斯基地毯(分形正方形)

謝爾賓斯基地毯是瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基在1916年提出的一種分形，其構(gòu)造與謝爾賓斯基三角形相似，是將一個正方形每條邊三等分，連接對邊的等分點可將正方形劃分為9個相等的小正方形，去掉中間的小正方形，再對剩下的小正方形重復(fù)上述操作所得的圖形.

圖2

根據(jù)量綱分析、標度變換和平行軸定理可得

(9)

(10)

(11)

(12)

最終由遞推公式求數(shù)列通項的方法可得

(13)

當(dāng)n→∞時，In=0，即對于數(shù)學(xué)上的分形正方形，其質(zhì)量為零，轉(zhuǎn)動慣量也為零.

根據(jù)方程(7)到方程(8)的類似處理方式，若以第n階分形正方形的質(zhì)量為m來計算，那么轉(zhuǎn)動慣量最終的值應(yīng)為

(14)

2.3門格海棉(分形正方體)

門格海棉，是數(shù)學(xué)家卡爾·門格于1926年提出的，是康托爾集和謝爾賓斯基地毯在三維空間的推廣.把正方體每條棱3等分，連接這些等分點，將其分割為27個小正方體，挖去6個面上和中間的1個小正方體，接下來對余下20個小正方體繼續(xù)同一操作，即得到分形正方體(如圖3).

圖3

(15)

(16)

(17)

(18)

最終由遞推公式求數(shù)列通項的方法可得

(19)

當(dāng)n→∞時，In=0，即對于數(shù)學(xué)分形正方體其質(zhì)量為零，轉(zhuǎn)動慣量也為零.

同理，根據(jù)方程(7)到方程(8)的類似處理方式，若以第n階分形正方體的質(zhì)量為m來計算，則轉(zhuǎn)動慣量最終的值應(yīng)為

(20)

2.4謝爾賓斯基四面體(分形四面體)

謝爾賓斯基四面體是由四面體按三角形的剖分方式得來的，具體的分型步驟是：取6條棱的中點并連線，可把四面體剖分為8個小四面體，將除4個頂點所在的小四面體外的其他4個小四面體挖空，然后對留下的小四面體重復(fù)同樣的操作即可得圖4所示分形四面體.

圖4

(21)

(22)

同理可得第3階分形四面體的轉(zhuǎn)動慣量為

(23)

(24)

最終由遞推公式求數(shù)列通項的方法可得

(25)

當(dāng)n→∞時，In=0，即數(shù)學(xué)上分形四面體的轉(zhuǎn)動慣量也為零.

同理，根據(jù)方程(7)到方程(8)的類似處理方式，若第n階分形正方形的質(zhì)量為m，則最終的表達式

(26)

應(yīng)用遞推法，結(jié)合標度變換和量綱分析法來求解分形物體的轉(zhuǎn)動慣量，巧妙地解決了單純用量綱法求解質(zhì)量為零的分形物體的轉(zhuǎn)動慣量所存在的問題.

3　小結(jié)

本文中我們利用文獻[6]中提出的遞推法分別詳細推導(dǎo)了質(zhì)量為m的n階康托爾集、n階分形正方形、n階分形立方體、n階分形四面體的轉(zhuǎn)動慣量，它們分別為

該方法求分形物體的轉(zhuǎn)動慣量可以直接應(yīng)用于普通物理《力學(xué)》的課堂教學(xué)中，這樣可將學(xué)生從較為復(fù)雜的微積分運算中解放出來，進而注重對標度變換、量綱分析等物理方法和物理圖像的培養(yǎng)，從而有利于增強物理系學(xué)生的物理直覺.另外，本文通過理論計算求得的4個公式還可以通過實驗來直接予以驗證.因此，本文內(nèi)容亦可以設(shè)計成動手能力較強的拓展性物理實驗.

最后需要指出的是，由于分形物體具有不同于一般物體的分數(shù)維度，上述得到的結(jié)果里面是否含有與該物體的分數(shù)維度有關(guān)的信息，值得我們進一步去思考.

1Robert Rabinoff.Moments of inertia by scaling arguments:how to avoid messy integrals.Am.J.Phys.,1985,53(5):501～502

2Robert Rabinoff，俞志毅. 用標度變換求轉(zhuǎn)動慣量: 如何避免繁雜的積分.大學(xué)物理，1987，6 ( 7) : 31～32

3吳文旺. 用量綱分析法求解轉(zhuǎn)動慣量.石家莊鐵道學(xué)院學(xué)報，1993，6(3)，85～90

4楊忠. 用量綱分析法求平面物體的轉(zhuǎn)動慣量.大學(xué)物理，1997，16 ( 4) : 45～46

5許佳敏，邱為鋼. 分形物體轉(zhuǎn)動慣量的計算.大學(xué)物理，2011，30 ( 11) : 53～55

6方偉，涂泓，馮杰.對量綱法求分形物體轉(zhuǎn)動慣量的再思考.大學(xué)物理，2016(In press)

Recurrence Method to Calculate the Moment of Inertia of Fractal Body

Wu XiyangTang LingliLi ChaohuaGong Xue

(Department of Physics,Shanghai Normal University，Shanghai200234)

Fang Wei

(Department of Physics,Shanghai Normal University，Shanghai200234；Shanghai Key Lab for Astrophysics,Shanghai200234)

Using recurrence method, combined with dimensional analysis, scale transformation and parallel axis theorem, the moment of inertia of the Cantor set, Sierpinski carpet, Menger sponge and Sierpinski tetrahedron are calculated.

dimension analysis;fractal;moment of inertia;recurrence

吳喜洋(1991-)，女，在讀研究生.

方偉(1981-)，男，副教授，主要從事天體物理、宇宙學(xué)及物理教學(xué)與課程論方面的研究.

2016-04-18)