江蘇省無錫市蠡園中學(xué)　周進榮江蘇省無錫市蠡園中學(xué)　王燕

.江蘇省無錫市王華民數(shù)學(xué)名師工作室.

讓定理在實驗操作中"自然生成"
---聽"線段、角的軸對稱性(1)"有感

最近,濱湖區(qū)王華民數(shù)學(xué)名師工作室組織了一次聽、評課活動,格致中學(xué)的尤曉珍老師執(zhí)教了一節(jié)研究課---"線段的軸對稱性".本課中,尤老師將數(shù)學(xué)實驗引入課堂教學(xué),讓線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理在實驗操作中自然生成,取得了較好的教學(xué)效果,引起大家的共鳴.下面將本節(jié)課的部分教學(xué)片段予以展示,與同行交流.

一、教學(xué)片段

1.創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)興趣

師:在一張薄紙上畫一條線段AB,如圖1,你能找出與線段AB的端點A、B距離相等的點嗎?這樣的點有多少個?

圖1

(學(xué)生嘗試找點)

生1:線段AB的中點與端點A、B的距離相等.

師:還有嗎?

生2:還有,好像在線段AB的中點的上下位置.

(具體在哪里,學(xué)生一時無法準確表達)

師:相信通過本節(jié)課的學(xué)習,我們一定能解決該問題!

2.引入實驗,探索定理

(1)畫一畫、折一折.

請你準備一張薄紙,在這張薄張上任意畫一條線段AB,如圖2,折紙,使兩端點A、B重合,如圖3所示.

圖2

圖3

師:按要求對折線段后,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生3:線段AB是軸對稱圖形,折痕l是它的對稱軸.

生4:折痕l是線段AB的垂直平分線.

(2)猜一猜、量一量.

師:如圖4,在線段AB的垂直平分線l上任意找一點P,連接PA、PB,猜想PA與PB有何數(shù)量關(guān)系.量量看!

生5:PA=PB.

圖4

圖5

(3)想一想、證一證.

師:如圖5,在線段AB的垂直平分線l上另外找一點Q,連接QA、QB,QA與QB還有上述的數(shù)量關(guān)系嗎?說說你的理由.

生6:還有上述相等關(guān)系,可用"SAS"證明△QAO≌△QBO,可知QA=QB.

師:類似于P、Q這樣的點有多少個?它們都有什么樣的特征?

生7:類似于P、Q這樣的點有無數(shù)個,它們到點A、B的距離都相等!

師:好,我們把上述特征稱為線段的垂直平分線的性質(zhì)定理.誰能用簡潔的語言概括一下?

生8:線段垂直平分線上的一點到線段兩端點的距離相等.

師:如圖6,若點P是線段AB的垂直平分線l外一點,那么PA與PB還相等嗎?量量看,說說你的理由.

圖6

圖7

生9:PA與PB不相等,顯然PA>PB.

師:能證明嗎?

生10:如圖7,連接NB,由于點N在直線l上,由線段垂直平分線定理可知:AN=BN,所以PA=AN+NP=BN+NP> PB.

師:通過上面的探索,我們又有什么發(fā)現(xiàn)?

生11:線段垂直平分線外的一點到線段兩端點的距離不相等.

……

(4)猜一猜、畫一畫.

師:如果一個點在一條線段的垂直平分線上,那么這個點到這條線段兩端的距離相等.反過來,如果一個點到一條線段的兩端的距離相等,那么這個點在這條線段的垂直平分線上嗎?

生12:如圖8,若點Q在線段AB上,且QA=QB,則Q是線段AB的中點,顯然點Q在線段AB的垂直平分線上,如圖9.

圖8

圖9

師:若點Q是線段AB外任意一點,且QA=QB,如圖10,那么點Q在線段AB的垂直平分線上嗎?為什么?

圖10

圖11

生13:如圖11,過點Q作QH⊥AB于點H,利用"HL"證明三角形全等,可得到QH垂直平分AB.

生14:如圖11,過點Q作∠AQB的角平分線交AB于點H,利用"SAS"證明三角形全等,也可得到QH垂直平分AB.

生15:如圖11,過點Q作AB邊上的中線交AB于點H,利用"SSS"證明三角形全等,同樣可得到QH垂直平分AB.

師:通過上述探索,你又有什么發(fā)現(xiàn)?

生16:如果有一點到線段兩端點的距離相等,那么這個點在線段的垂直平分線上.

師:我們把它稱為線段垂直平分線的判定定理,它與性質(zhì)定理有何關(guān)系?

生17:它是性質(zhì)定理的逆定理.

圖12

3.運用定理,解決問題

(1)想一想、說一說.

師:在一張薄紙上畫一條線段AB,如圖12,你能找出與線段AB的端點A、B距離相等的點嗎?這樣的點有多少個?

生18:根據(jù)線段垂直平分線的判定定理,這樣的點有無數(shù)個,它們都在線段AB的垂直平分線上. (首尾呼應(yīng),學(xué)生學(xué)以致用) (2)想一想、畫一畫.

師:你能運用所學(xué)知識,用尺規(guī)畫出任一條線段的垂直平分線嗎?如果能,說說你作圖的依據(jù).

(學(xué)生嘗試畫一條線段的垂直平分線)

圖13

圖14

師:這樣做的依據(jù)是什么?

生20:在用尺規(guī)作圖的過程中,因為PA=PB,所以點P在AB的垂直平分線上;因為QA=QB,所以點Q也在AB的垂直平分線上.由于兩點確定一條直線,故PQ是AB的垂直平分線.

……

二、幾點思考

(1)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》指出:"學(xué)生學(xué)習應(yīng)當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等,都是學(xué)習數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程."在數(shù)學(xué)教學(xué)中,讓學(xué)生變"聽"數(shù)學(xué)為"做"數(shù)學(xué),變"被動接受"為"主動探究",通過"做"數(shù)學(xué)實驗體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣,感悟數(shù)學(xué)的真諦,發(fā)展數(shù)學(xué)思維和智慧,提高實踐能力和創(chuàng)新意識,逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

(2)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)壓縮了學(xué)習知識的思維過程,往往造成感知與概括之間的思維斷層,既無法保證教學(xué)質(zhì)量,更不可能發(fā)展學(xué)生的學(xué)習策略.新課程理念提倡重視過程教學(xué),在揭示知識生成規(guī)律上,讓學(xué)生自己動手實驗,不斷嘗試、感悟,自己去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理,從而使學(xué)生對定理的理解更深刻.

(3)本節(jié)課教學(xué)設(shè)計流暢、合理,重點、難點突出.從學(xué)生熟悉的問題入手,讓學(xué)生帶著疑問有針對性地聽課,探索并證明了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理,學(xué)會用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線,以"問題串"的形式引發(fā)學(xué)生思考,并加以適當?shù)淖穯?培養(yǎng)學(xué)生思考問題的嚴謹性和表達的條理性,在本節(jié)課的最后又通過所學(xué)知識解決了問題,使學(xué)生的思維得到了進一步的提升.學(xué)生經(jīng)歷了"作圖-猜想-證明"的過程,發(fā)展了空間觀念和演繹推理的能力.可以說是學(xué)以致用,首尾呼應(yīng),效果很不錯.

(4)實驗教學(xué)活動中的"操作-思維"互不可分,操作是前導(dǎo),思維是關(guān)鍵,學(xué)生通過動手做實驗,增加感性認識,豐富大腦的表象,促進學(xué)生把外界生活實際和感知與內(nèi)隱的思維活動緊密聯(lián)系起來,使他們的形象思維和抽象思維協(xié)調(diào)發(fā)展,促使其感性認識深化為理性,提高其思維能力.

(5)數(shù)學(xué)定理的抽象性通常都有某種"直觀"的想法為背景.作為教師,就應(yīng)該通過實驗,把這種"直觀"的背景顯現(xiàn)出來,幫助學(xué)生抓住其本質(zhì),了解它的變形和發(fā)展及與其他問題的聯(lián)系.本節(jié)課老師讓學(xué)生通過一系列的動手操作,讓學(xué)生經(jīng)歷探索線段的軸對稱的過程,在"操作-探究-歸納-證明"的過程中不斷嘗試、感悟,讓定理在實驗操作中自然生成,學(xué)生在輕松的環(huán)境中掌握了知識,寓教于樂!