江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué)　嚴(yán)曉冬

"用教材教":二次根式的加減教學(xué)與思考

最近一次學(xué)校教研活動(dòng)中,筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教"二次根式的加減",在研習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)、不同版本教材之后,決定放棄教學(xué)上的情境引入,增補(bǔ)了"同類平方根",取得了較好的教學(xué)效果.本文整理該課的教學(xué)過程,并跟進(jìn)闡釋教學(xué)立意,供研討.

一、教學(xué)過程概述

活動(dòng)(一)回顧舊知,引出概念

圖1

在黑板上順次呈現(xiàn)如上所示的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,到了最后一個(gè)框空著,讓學(xué)生猜想"學(xué)什么呢",從而引出本課課題---二次根式的加減.

過渡:在學(xué)習(xí)二次根式的乘除運(yùn)算時(shí),我們積累了很多運(yùn)算經(jīng)驗(yàn),比如最后的運(yùn)算結(jié)果要追求最簡(jiǎn)二次根式的形式,最簡(jiǎn)二次根式也是我們化簡(jiǎn)或運(yùn)算的一種目標(biāo)和方向,接下來(lái)要學(xué)習(xí)的二次根式的加減仍然需要追求這樣的最簡(jiǎn)形式,讓我們先來(lái)練習(xí)一組化簡(jiǎn)吧!

一組化簡(jiǎn)題(不做特殊說(shuō)明時(shí),字母都表示正數(shù)):

教學(xué)預(yù)設(shè):同學(xué)們化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)同小題的4個(gè)最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)(式)都相同,給出同類二次根式的定義:幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后,如果被開方式相同,這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.如上面的每個(gè)小題中的4個(gè)二次根式都是同類二次根式.

教學(xué)提醒:同類二次根式需要經(jīng)過化簡(jiǎn)后才能識(shí)別和判定,而不能僅從形式上確認(rèn).有時(shí)形式差異很大,但經(jīng)過化簡(jiǎn)后卻是同類二次根式.安排以下一組練習(xí).

例1下列二次根式中,哪些是同類二次根式?

教學(xué)點(diǎn)評(píng):這里共有3組同類二次根式,被開方式分別是2、3、2ab.

活動(dòng)(二)合并同類二次根式

過渡語(yǔ):在七年級(jí)學(xué)習(xí)整式的加減時(shí),我們?cè)毩?xí)過合并同類項(xiàng),類似地,同類二次根式也可以進(jìn)行合并,它們的算理是一致的.

例2合并下列各式中的同類二次根式:

教學(xué)點(diǎn)評(píng):引導(dǎo)學(xué)生類比合并同類項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn),先識(shí)別同類二次根式再合并它們的系數(shù).

活動(dòng)(三)二次根式的加減

過渡語(yǔ):有了合并同類二次根式的經(jīng)驗(yàn),接下來(lái)我們可以開展二次根式的加減運(yùn)算了,其本質(zhì)就是先將二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式再確認(rèn)有沒有同類二次根式,如果有就合并.

例3計(jì)算:

教學(xué)點(diǎn)評(píng):為學(xué)生總結(jié)二次根式的加減法則:二次根式加減時(shí),可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再將同類二次根式合并.提醒學(xué)生注意,不是同類二次根式的(如),則不能進(jìn)行合并.

計(jì)算練習(xí):

教學(xué)點(diǎn)評(píng):提醒學(xué)生運(yùn)算的順序仍然遵循之前所有運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn),比如同級(jí)運(yùn)算從左向右,有括號(hào)先算括號(hào)里面的.

活動(dòng)(四)情境應(yīng)用問題

例4現(xiàn)有一塊長(zhǎng)為7.5dm、寬為5dm的木板,能否采用如圖2所示的方式,在這塊木板上截出兩個(gè)面積分別為8dm2和18dm2的正方形木板?

圖2

(1)直接寫出截出的兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng):________, ________;(需要化簡(jiǎn))

(2)教材上指出"顯然木板夠?qū)?,怎么理解?

(3)教材上建議考慮"木板是否夠長(zhǎng)",怎么理解?

(4)如果不用計(jì)算器,你能否用更精確的方法解答"問題".

設(shè)計(jì)意圖:這個(gè)情境問題來(lái)源于人教版八年級(jí)下冊(cè)教材二次根式加減法的情境創(chuàng)設(shè),從前面的引入部分來(lái)看,我們沒有通過這個(gè)生活現(xiàn)實(shí)引入新課,所以把這個(gè)生活情境放到本課最后的應(yīng)用環(huán)節(jié),并開發(fā)了4個(gè)小問,有序引導(dǎo)學(xué)生思考問題.,所以顯然夠?qū)?(3)需要比較與7.5的大小;,而,所以,即能夠截出.

附:課堂檢測(cè)

(1)下列計(jì)算是否正確?為什么?

(2)填空:

講解預(yù)設(shè):(1)

(3)計(jì)算:

(4)如圖3,兩個(gè)圓的圓心相同,它們的面積分別是12.56和25.12.求圓環(huán)的寬度d(π取3.14,結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位).

圖3

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.基于數(shù)學(xué)的"前后一致"構(gòu)思教學(xué)設(shè)計(jì)

二次根式的加減運(yùn)算是二次根式一章的重點(diǎn)內(nèi)容,接續(xù)在二次根式的乘除運(yùn)算之后,是運(yùn)算教學(xué)中的重要環(huán)節(jié).前面所學(xué)的二次根式的兩個(gè)性質(zhì)、最簡(jiǎn)二次根式的概念與化簡(jiǎn)對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)至關(guān)重要,所以開課階段我們選擇了先復(fù)習(xí)這一章的知識(shí)結(jié)構(gòu),通過留白結(jié)構(gòu)圖的方式引出本課課題.接著,安排一組二次根式化簡(jiǎn)的小練習(xí),既復(fù)習(xí)了舊知,又為本節(jié)新課中學(xué)生所要用到的常見的二次根式化簡(jiǎn)提供了預(yù)熱.值得指出的是,這不僅向?qū)W生傳遞了前后一致、邏輯連貫的數(shù)學(xué)整體觀,還滲透著研究套路:數(shù)、式的學(xué)習(xí),都是遵循著"數(shù)(式)的概念→性質(zhì)→運(yùn)算法則→運(yùn)算通性(簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高運(yùn)算效率)→情境應(yīng)用"研究套路展開的.

2.從"教教材"到"用教材教"

華東師大終身教授鐘啟泉先生曾指出:"教師不能滿足于現(xiàn)成教科書的普適性預(yù)設(shè),而是需要在課堂教學(xué)之前,根據(jù)本校、本班學(xué)生的實(shí)際重新作出預(yù)設(shè)",并認(rèn)為新、舊教學(xué)的分水嶺就是從"教教材"過渡到"用教材教".熟悉人教版教材最近兩次修改的同行應(yīng)該知道,二次根式的加減都是通過"生活現(xiàn)實(shí)"引入的.事實(shí)上,不得不承認(rèn)新世紀(jì)以來(lái)的教材改版過分強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活現(xiàn)實(shí)是不恰當(dāng)?shù)?《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》已對(duì)情境選用做出必要的糾偏,比如要重視生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)的恰當(dāng)選用.這也是我們?cè)谏厦嬲n例中選擇從"最簡(jiǎn)二次根式"這個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)的主要原因.

3.加強(qiáng)教學(xué)環(huán)節(jié)之間的"關(guān)聯(lián)互動(dòng)"

數(shù)學(xué)新授課的教學(xué)環(huán)節(jié)常常是情境導(dǎo)入、歸納性質(zhì)(法則或定理)、例題示范、練習(xí)鞏固、小結(jié)作業(yè).然而各個(gè)環(huán)節(jié)之間的關(guān)聯(lián)卻顯得薄弱,甚至有時(shí)不同教學(xué)環(huán)節(jié)之間轉(zhuǎn)場(chǎng)生硬,缺少必要的過渡,這也是我們?cè)谏厦娓鱾€(gè)環(huán)節(jié)之中預(yù)設(shè)過渡語(yǔ)的意圖之一.此外,與必要的過渡語(yǔ)相比,加強(qiáng)不同教學(xué)環(huán)節(jié)之間的關(guān)聯(lián)互動(dòng)則更應(yīng)成為教學(xué)預(yù)設(shè)的用力點(diǎn).比如上面課例中的教學(xué)活動(dòng)(一)中,安排的一組化簡(jiǎn)題,對(duì)后續(xù)所有環(huán)節(jié)中的運(yùn)算都有啟示與鋪墊作用;教學(xué)活動(dòng)(二)中的合并同類二次根式對(duì)教學(xué)活動(dòng)(三)中的二次根式加減有直接的幫助,也就是說(shuō)雖然沒有開課盡快進(jìn)入所謂的二次根式加減運(yùn)算,然而在前兩個(gè)環(huán)節(jié)"耗時(shí)費(fèi)力"之后,學(xué)生對(duì)二次根式加減的運(yùn)算程序已了然于胸,接下來(lái)只是給出規(guī)范的運(yùn)算步驟而已.

三、寫在最后

運(yùn)算教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)之一,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,機(jī)械而繁雜的運(yùn)算必然會(huì)被電腦取代,正如預(yù)設(shè)本課時(shí),筆者曾認(rèn)真研習(xí)上個(gè)世紀(jì)九十年代人教版的"初中代數(shù)(第3冊(cè))",其中還有大量的涉及查表求方根等運(yùn)算規(guī)律的計(jì)算,現(xiàn)在這類問題在初中數(shù)學(xué)教材中都"消失"了,這也說(shuō)明技術(shù)的進(jìn)步,已不需要再教學(xué)上述內(nèi)容.然而運(yùn)算教學(xué)在現(xiàn)代技術(shù)環(huán)境下如何教,教什么,這是值得每個(gè)教者深入思考的話題.我們提供二次根式加減的教學(xué)設(shè)計(jì),只是一次深入思考后的教學(xué)實(shí)踐與反思,仍不成熟,敬候批評(píng).