安徽省蚌埠市新城實(shí)驗(yàn)學(xué)?！「吆窳?/p>

對(duì)探索"多邊形內(nèi)角和公式"的思考

2015年11月,筆者有幸在安徽省黃山市觀摩了第九屆全國(guó)初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示,來自全國(guó)的各路"高手",通過爐火純青的教學(xué)展示、成熟穩(wěn)定的發(fā)揮及智慧嫻熟的答辯為觀摩老師奉獻(xiàn)了一道道豐盛的精神大餐.在觀摩的多節(jié)展示課中,有兩位老師依據(jù)自己對(duì)教材的理解,通過獨(dú)特的教學(xué)設(shè)計(jì)、新穎的探究方法、思想方法的不同參透方式,對(duì)"多邊形內(nèi)角和"進(jìn)行了精彩演繹,引起與會(huì)眾多老師的共鳴.本文擬對(duì)兩位老師的"多邊形內(nèi)角和公式"探究方案進(jìn)行展示,并給出解讀與思考,與同行研討.

一、探究方案片斷展示

1.R老師的探究方案

問題1:每個(gè)小組從準(zhǔn)備好的資料盒里取出一張長(zhǎng)方形卡紙,任意剪掉一個(gè)角,思考有幾種不同的剪法,剪出可能的圖形.

老師預(yù)設(shè)有三種情形,如圖1、圖2、圖3所示.

圖1

圖2

圖3

師追問:剪出的圖形的內(nèi)角和是多少度?你是怎么計(jì)算的?

(圖1、圖2得到的三角形、梯形是學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)過的,很容易知道內(nèi)角和,但對(duì)于圖3,裁剪的學(xué)生只給出了大概的猜想,認(rèn)為肯定大于360°,沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚f明)

師:對(duì)于圖3這樣一個(gè)五邊形,內(nèi)角和應(yīng)該是多少度呢?請(qǐng)同桌之間相互討論交流后,寫出解答過程.

學(xué)生交流后,給出如下兩種解決方法:

方法1:利用平角定義及三角形內(nèi)角和,確定∠1+∠4=270°,進(jìn)而確定五邊形內(nèi)角和.

方法2:通過∠1或∠4的頂點(diǎn)作垂線,把五邊形轉(zhuǎn)化為梯形與長(zhǎng)方形計(jì)算.

總結(jié):(老師結(jié)合方法2)像這樣,把新的問題轉(zhuǎn)化為舊的問題,用舊的知識(shí)解決新問題的方法,在數(shù)學(xué)上叫"轉(zhuǎn)化"的數(shù)學(xué)思想.

問題2:正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形等特殊四邊形的內(nèi)角和為360°,對(duì)于任意的四邊形能否利用"轉(zhuǎn)化"求出內(nèi)角和呢?請(qǐng)每個(gè)同學(xué)畫出任意一個(gè)四邊形,利用"轉(zhuǎn)化"的思想把新問題轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)進(jìn)行解決.

學(xué)生經(jīng)過4~5分鐘的思考交流,小組代表展示了四種轉(zhuǎn)化方法:①連對(duì)角線轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形;②三角形+特殊四邊形;③邊上取點(diǎn)轉(zhuǎn)化;④內(nèi)部取點(diǎn)轉(zhuǎn)化.

問題3:大家通過不同角度的思考,證明了任意四邊形的內(nèi)角和為360°,那么任意五邊形、六邊形、七邊形、…、n邊形的內(nèi)角和又是多少度呢?

(學(xué)生通過獨(dú)立思考后,小組內(nèi)部再交流各自想法)

學(xué)生通過求五邊形、六邊形,進(jìn)而總結(jié)出n邊形的內(nèi)角和,其中在類比四邊形的轉(zhuǎn)化辦法求五邊形、六邊形的內(nèi)角和時(shí),除出現(xiàn)了過一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線、在一邊上取一點(diǎn)、在內(nèi)部取一點(diǎn)的方法外,還出現(xiàn)了將五邊形分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形,六邊形分成兩個(gè)四邊形或一個(gè)五邊形和一個(gè)三角形的奇妙想法.

問題4:同學(xué)們剛才通過從頂點(diǎn)出發(fā)、從邊出發(fā)、內(nèi)部取一點(diǎn)的方法研究了四邊形的內(nèi)角和,若從外部任取一點(diǎn)又能否通過轉(zhuǎn)化得出結(jié)論呢?

(因時(shí)間關(guān)系,留到了課下研究)

2.C老師的探究方案

問題1:三角形內(nèi)角和是多少度?正方形內(nèi)角和是多少度?長(zhǎng)方形內(nèi)角和是多少度?對(duì)于資料盒中的任意四邊形紙片內(nèi)角和是多少度?猜猜看,你能驗(yàn)證嗎?

學(xué)生有用量角器測(cè)量,有用紙片進(jìn)行撕拼、折疊等,老師在學(xué)生有了想法后,讓學(xué)生講解自己的思路.

問題2:(老師在黑板上放個(gè)四邊形紙片,形成一個(gè)任意四邊形,如圖4)對(duì)于黑板上的四邊形還可以折疊嗎?這個(gè)圖形該怎樣求它的內(nèi)角和呢?

圖4

圖5

在學(xué)生講述通過折疊想到連接對(duì)角線,把四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形解決后,老師讓學(xué)生把解決過程用幾何推理的方式寫在學(xué)案上.

問題3:(老師從講臺(tái)上拿一個(gè)五邊形紙片,在黑板上形成一個(gè)任意五邊形圖形)如圖5,對(duì)于這樣一個(gè)五邊形,你也能得到它的內(nèi)角和嗎?請(qǐng)同學(xué)們思考一下.

問題4:能否用類似的方法求出六邊形、七邊形、…、n邊形的內(nèi)角和呢?請(qǐng)同學(xué)們小組討論后再填寫下面的表格:

多邊形四邊形五邊形六邊形…n邊形過一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線條數(shù)1 2…分割出三角形個(gè)數(shù)2 3…多邊形內(nèi)角和2X180° 3X180°…

問題5:對(duì)于任意五邊形,除了剛才的分割方法,你還有沒有其他的分割方法呢?請(qǐng)思考后,小組內(nèi)交流想法.

學(xué)生經(jīng)過討論交流后,得到如下分割方法:①邊上取點(diǎn)與其他各點(diǎn)相連;②三角形+四邊形;③內(nèi)部取點(diǎn)后與其他各點(diǎn)相;④外部取點(diǎn)后與其他各點(diǎn)相連.

問題6:(學(xué)生分享各種分割方法后)這些分割方法有什么相同的地方?

生:都是通過分割的方法將五邊形分成兩個(gè)三角形,或一個(gè)三角形與一個(gè)四邊形.

師:這其實(shí)是一種轉(zhuǎn)化思想,即把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題來解決.(最后用幾何畫板演示通過點(diǎn)的移動(dòng)得到五邊形分割的各種方法)

二、兩個(gè)方案片斷的解讀

1.對(duì)R老師探究方案的解讀

R老師對(duì)多邊形內(nèi)角和公式的探索總體上采用了由特殊到一般,由具體到抽象的教學(xué)策略.一方面通過學(xué)生自主思考與互動(dòng)研討,把問題的研究從特殊引向一般,讓學(xué)生充分經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和的全過程;另一方面在定理的推導(dǎo)過程中,注意分析如三角形、特殊四邊形等已有模型的特征,通過已有的模型研究、轉(zhuǎn)化、類比.在具體的探究上,R老師采用開放式的探究教學(xué)模式,如在任意四邊形、五邊形、六邊形、…、n邊形內(nèi)角和探索方案上突出開放性問題的設(shè)計(jì)與提出,啟發(fā)學(xué)生從不同方面思考問題、解決問題.開放性問題由于沒有指明研究的方法,只提供研究的方向,為學(xué)生的自主探究留足了空間,開放性問題的提出,激發(fā)了學(xué)生探究的興趣,使學(xué)生的思維始終停留在一個(gè)高層次的活動(dòng)中,一個(gè)個(gè)精彩的探究方案便自然地呈現(xiàn)了出來.難能可貴的是,學(xué)生竟然想到把五邊形分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形,六邊形分成一個(gè)三角形和一個(gè)五邊形或兩個(gè)四邊形的探究方案,筆者想沒有R老師的開放性探究策略,留給學(xué)生充分自由的探究時(shí)間,是不可能出現(xiàn)這種難能可貴的原生態(tài)的思維過程的,也更不可能出現(xiàn)那位女同學(xué)"轉(zhuǎn)化是不需要任何形式與套路"的精彩總結(jié).

2.對(duì)C老師探究方案的解讀

C老師對(duì)多邊形內(nèi)角和的探究方案可復(fù)制、可翻講、接地氣,家常便飯但又與眾不同,

過一點(diǎn)作對(duì)角線是C老師探究方案的主線.首先通過四邊形紙片折疊的方式確定內(nèi)角和,過渡到當(dāng)一個(gè)任意四邊形、五邊形不能折疊時(shí),該如何確定它的內(nèi)角和,讓學(xué)生經(jīng)歷分割的方法將四邊形、五邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題,初步感受轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,再通過學(xué)生完成表格的形式確定n邊形內(nèi)角和,使學(xué)生形成一條完整的思維鏈.整個(gè)過程,過渡自然,邏輯連貫,一氣呵成.為了讓學(xué)生更好地體會(huì)"轉(zhuǎn)化、化歸"的數(shù)學(xué)思想,C老師又通過讓學(xué)生用其他方法探究五邊形內(nèi)角和,最后讓學(xué)生思考這些方法的共同點(diǎn)后,C老師才道出點(diǎn)睛之筆(轉(zhuǎn)化、化歸的數(shù)學(xué)思想).在一些細(xì)節(jié)的處理上,如通過把紙片放到黑板上,形成幾何圖形,對(duì)幾何推理的重視及通過幾何畫板演示讓學(xué)生體會(huì)分割五邊形各種方法的共性等,都讓人眼前一亮.

三、對(duì)探究多邊形內(nèi)角和相關(guān)問題的思考

1.對(duì)"特殊到一般"探究方式的思考

對(duì)于多邊形內(nèi)角和公式的探究,雖然老師們采用的具體方式有所不同,但基本上都是遵循由特殊到一般的探究策略,即通過特殊四邊形的內(nèi)角和過渡到任意四邊形,進(jìn)而推廣到五邊形、六邊形,……最后推導(dǎo)出n邊形內(nèi)角和公式.但對(duì)于任意四邊形內(nèi)角和的探究上,雖然方案各異,但本質(zhì)上都是在平面內(nèi)取一點(diǎn)與四邊形各點(diǎn)相連,這一關(guān)鍵點(diǎn)的選擇是否也可以采用由特殊到一般的探究方案呢?即通過在四邊形所在平面內(nèi)首先找一個(gè)特殊點(diǎn)(如兩條對(duì)角線的交點(diǎn))與各頂點(diǎn)相連進(jìn)行探究后,再通過點(diǎn)的移動(dòng)確定相應(yīng)的方案.這是否在滲透轉(zhuǎn)化、化歸思想的同時(shí),更有利于學(xué)生理解不同探究方案的本質(zhì)呢?我們?cè)隗@嘆R老師的學(xué)生發(fā)現(xiàn)那么多探究方案的同時(shí),也在遺憾為什么就沒有學(xué)生通過延長(zhǎng)四邊形的兩邊構(gòu)造三角形這種情況,這是否與老師在這方面的引導(dǎo)的欠缺有關(guān)呢?

2.對(duì)"問題趨動(dòng)"教學(xué)的思考

我們知道,數(shù)學(xué)問題的提出是驅(qū)動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的關(guān)鍵,在平時(shí)的教學(xué)中,老師們都遇到過這樣一種情況,當(dāng)把問題拋下后,有時(shí)候老師費(fèi)了九牛二虎之力,學(xué)生仍是啟而不發(fā),一般認(rèn)為主要原因是問題的設(shè)置起點(diǎn)過高,難度較大,超出學(xué)生的能力范圍.通過本次觀摩,筆者認(rèn)為除了以上原因,還有一個(gè)很大的原因是老師開始所提出的問題能否驅(qū)動(dòng)整節(jié)課教學(xué)的開展,二位老師展示課中問題的設(shè)置就讓人眼前一亮.R老師通過一個(gè)開放性的問題:一張長(zhǎng)方形卡紙,任意剪掉一個(gè)角,思考有幾種不同的剪法,這個(gè)問題起點(diǎn)很低,學(xué)生參與進(jìn)去很容易,但要想完整解決這個(gè)問題,又需要分類討論,更為可貴的是,這個(gè)問題起到了驅(qū)動(dòng)整個(gè)課堂教學(xué)的目的,即先解決特殊的四邊形、五邊形(如對(duì)邊平行的或含有直角的),再解決一般的四邊形,進(jìn)而解決一般的n邊形;而C老師通過任意四邊形紙片內(nèi)角和是多少度的一個(gè)簡(jiǎn)單問題,通過學(xué)生的折疊,由折痕聯(lián)想到添加對(duì)角形,而過一點(diǎn)作對(duì)角線是C老師探究n邊形內(nèi)角和的主線.

3.對(duì)探究方案的思考

在多邊形內(nèi)角和的探究上,傳統(tǒng)上采用的方法都是把一個(gè)多邊形利用轉(zhuǎn)化的方法變成三角形相關(guān)問題解決.那我們能否另辟蹊徑,反其道而行之,以內(nèi)角的增多而引起內(nèi)角和的變化來研究多邊形內(nèi)角和問題呢?如圖6,如何由三角形的分割而得到四邊形,由四邊形分割得五邊形,進(jìn)而得出n邊形內(nèi)角和呢?或者如圖7,在三角形外增加一個(gè)三角形得四邊形,四邊形外增加一個(gè)三角形得五邊形,…,利用這種"遞推"的方法,與傳統(tǒng)的方法相比哪一個(gè)更自然,哪一個(gè)更利于學(xué)生探究活動(dòng)的展開,也是我們不得不思考的一個(gè)問題.再比如,在多邊形內(nèi)角和與外角和的探究順序上,可否考慮先研究多邊形的外角和,再利用內(nèi)外角的關(guān)系研究?jī)?nèi)角和呢?有興趣的讀者不妨試一試.

圖6

圖7

4.適合教與學(xué)的方案才是最好的

對(duì)于教材某個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的不同處理,很多老師都會(huì)思考,哪一種方法更好,哪一種方法更能體現(xiàn)出老師的"功夫"?這或許有利于老師通過反思優(yōu)化自己的教與學(xué)生的學(xué).然而,世界上沒有兩片完全相同的樹葉,不同的老師面對(duì)的學(xué)生都是獨(dú)特的"這一個(gè)",他們?cè)谡w成績(jī)、思維發(fā)展的水平、主動(dòng)探究的意識(shí)都存在著差異,作為主導(dǎo)者的老師在個(gè)人的教學(xué)水平、調(diào)控課堂的能力、個(gè)人魅力等方面也不盡相同.老師只能尊重和理解學(xué)生,針對(duì)學(xué)生的差異和發(fā)展需求,尋求適合自己及班級(jí)學(xué)生實(shí)際情況的方法.比如,對(duì)多邊形內(nèi)角和的探索,若班級(jí)內(nèi)學(xué)生思維活躍、樂于探究,自己的調(diào)控能力不弱的話,不妨就通過開放性問題,給學(xué)生足夠的時(shí)間去探索,讓學(xué)生的思想真正解放(如R老師方案);若班級(jí)內(nèi)學(xué)生水平一般,學(xué)生的思維有所欠缺,老師給學(xué)生一個(gè)探究"暗示",也不失為一種突破難點(diǎn)的好方法.被別人用實(shí)踐證明的好方案,卻不一定適合自己的教學(xué),簡(jiǎn)單的"復(fù)制",效果并不一定好.再比如,在數(shù)學(xué)思想的滲透上,在評(píng)課環(huán)節(jié),很多老師認(rèn)為R老師過份強(qiáng)調(diào)了"轉(zhuǎn)化"的數(shù)學(xué)思想,認(rèn)為數(shù)學(xué)思想應(yīng)讓學(xué)生去體會(huì),老師不應(yīng)說出來,可是筆者覺得,如果平時(shí)就注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透,學(xué)生已較多地經(jīng)歷了"轉(zhuǎn)化"的方法解決問題,那這節(jié)課著重強(qiáng)調(diào)一下也未嘗不可,學(xué)生在課堂上精彩的表現(xiàn),不就說明了R老師對(duì)數(shù)學(xué)思想處理的成功嗎?所以利于學(xué)生思維訓(xùn)練,利于學(xué)生的探究,利于自己教學(xué)開展的方案就是最好的,簡(jiǎn)言之,適合的就是最好的.

參考方獻(xiàn):

1.高厚良."意外驚喜"源于以生為本的方案設(shè)計(jì)---"多邊形內(nèi)角和"的探索方案片段[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2013(8).

2.劉華.追求邏輯連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)---以"多邊形內(nèi)角和"教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2015(3).

3.沈駿.同課異構(gòu):探索多邊形內(nèi)角和的教學(xué)品酌[J].教育科學(xué)論壇,2010(8).