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生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)角度看世界
---以"籃球運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題"為例

本節(jié)課以"籃球比賽"為載體,通過(guò)生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化,引導(dǎo)學(xué)生探索解決"籃球比賽"情境中與二次函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,喚起學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題的意識(shí),養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的方法分析解決問(wèn)題的思維習(xí)慣;感悟數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的教育價(jià)值,發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)."應(yīng)用意識(shí)"是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版) (以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)十個(gè)核心概念之一,核心概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的統(tǒng)領(lǐng)和主線.數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是一種用數(shù)學(xué)的眼光從數(shù)學(xué)的角度觀察、分析、解決現(xiàn)實(shí)世界中問(wèn)題的心理傾向和思維反應(yīng).數(shù)學(xué)素養(yǎng)則是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).包含三層遞進(jìn)含義:一是能用數(shù)學(xué)的眼光審視生活;二是在生活中養(yǎng)成積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)習(xí)慣;三是在不斷聯(lián)系數(shù)學(xué)與生活的過(guò)程中自覺(jué)形成公共的思維力、應(yīng)用力和行世觀.

一、問(wèn)題引動(dòng),喚起應(yīng)用意識(shí)

師:同學(xué)們喜歡籃球運(yùn)動(dòng)嗎?

眾生:喜歡.

師:本節(jié)課老師將與同學(xué)們一起來(lái)研究"籃球運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題"(板書課題),同學(xué)們加油啊!

問(wèn)題1:如圖1,一場(chǎng)籃球賽中,運(yùn)動(dòng)員小姚在距籃下4米處跳起投籃,籃球運(yùn)行的路線是拋物線,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí),到達(dá)最大高度3.5米,然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米,在這次跳投中,球在頭頂上方0.25米處出手,問(wèn):球出手時(shí)他跳離地面的高度是多少?

圖1

師:請(qǐng)同學(xué)們審題,尋求解決問(wèn)題的方法.

評(píng)析:問(wèn)題1中"距籃下4米處跳起投籃","籃圈中心到地面的距離為3.05米","球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí),到達(dá)最大高度3.5米","問(wèn)球出手時(shí)他跳離地面的高度是多少"等數(shù)據(jù)貼近生活現(xiàn)實(shí),源于自然生活的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,這對(duì)喜歡籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)感覺(jué)相當(dāng)?shù)挠H近自然,傾注人文關(guān)懷.這種源于自然生活的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題能喚起學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光審視生活,積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想解決問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí)和心理沖動(dòng),培育了學(xué)生的數(shù)學(xué)敏感性和應(yīng)用意識(shí),感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值和趣味性.

二、問(wèn)題解決,體驗(yàn)應(yīng)用過(guò)程

師:如圖1,請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合問(wèn)題1中的現(xiàn)實(shí)情境想一想,要解決問(wèn)題1需用什么數(shù)學(xué)知識(shí)?

生1:(思考后回答)籃球在空中運(yùn)行的路線是拋物線,可能會(huì)用到二次函數(shù)的知識(shí).

師:用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的思路是什么?

生2:"問(wèn)題情境---建立模型---求解驗(yàn)證".

評(píng)析:"用什么數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題1",使學(xué)生都處于一種急于求成的興奮之中,由"籃球運(yùn)行的路線是拋物線",學(xué)生自然而然地想到利用二次函數(shù)的知識(shí)可能會(huì)解決問(wèn)題1,從而確定解決問(wèn)題的思路和方法.

師:用二次函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題1需要借助什么數(shù)學(xué)工具?

眾生:利用平面直角坐標(biāo)系.

師:同學(xué)們的想法很好!下面就請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)結(jié)合圖1中的關(guān)鍵點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

師生活動(dòng):學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)嘗試,教師巡視了解、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)情況(足夠?qū)W習(xí)時(shí)間后),收集、反饋、展示小組合作學(xué)習(xí)成果.

師:請(qǐng)各小組學(xué)生代表匯報(bào)展示本組合作學(xué)習(xí)成果.

生3:如圖2,我們小組交流得到以投籃者站立點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),這點(diǎn)與籃球架和地面接觸點(diǎn)中心的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系.

生4:如圖3,我們小組是以籃球在空中經(jīng)過(guò)的最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于地面的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系.

生5:如圖4,我們小組選擇的是以籃圈中心為坐標(biāo)原點(diǎn),與水平地面平行的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系.

圖2

圖3

圖4

師:以上各組在建立平面直角坐標(biāo)系時(shí),從不同的角度選擇了不同的坐標(biāo)原點(diǎn),這些想法都很好,接下來(lái)請(qǐng)說(shuō)說(shuō)確定籃球運(yùn)行的路線(拋物線)的解析式的思路.

生6:如圖2,設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,由題意可知點(diǎn)B(2.5,3.5)和C(4,3.05),點(diǎn)B又是拋物線的頂點(diǎn),可通過(guò)建立方程組,確定二次函數(shù)的解析式.

生7:如圖3,拋物線的坐標(biāo)原點(diǎn)又是拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1.5,-3.5),通過(guò)建立方程組,可確定二次函數(shù)的解析式.

生8:(其他組的學(xué)生)點(diǎn)D的坐標(biāo)不正確,應(yīng)該是(1.5,-0.45).

師:(對(duì)生8)你能講一講理由嗎?

生8:點(diǎn)D的縱坐標(biāo)應(yīng)該是籃球的最高點(diǎn)到籃圈中心的距離3.5-3.05.

師:很好!這位同學(xué)很細(xì)心,發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題,希望大家向他學(xué)習(xí).雖然前面的同學(xué)在計(jì)算點(diǎn)D的坐標(biāo)時(shí)沒(méi)算對(duì),但他們的這種解題思路是獨(dú)到的.

生9:如圖4,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(-1.5, 0.45),可確定二次函數(shù)的解析式.

評(píng)析:學(xué)生在面臨一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí),僅靠摸仿、記憶等方式是很難解決的.在函數(shù)學(xué)習(xí)之前,學(xué)生對(duì)數(shù)與形的學(xué)習(xí)基本上是分開(kāi)進(jìn)行的,只需要對(duì)數(shù)或形進(jìn)行單一的思維,即所謂"數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微".此時(shí)老師利用"形"的引入給學(xué)生研究問(wèn)題帶來(lái)了直觀的空間感受,讓學(xué)生說(shuō)出在小組合作學(xué)習(xí)中從不同的角度選擇坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系的思路,體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性,使得不同坐標(biāo)系的建立讓每個(gè)學(xué)生都處于一種驚奇和不斷發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,并形成自己的解決問(wèn)題的基本策略.教師隨堂巡視、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并收集、整理學(xué)習(xí)情況,展示小組合作學(xué)習(xí)成果,即使學(xué)生的計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤,教師也及時(shí)對(duì)學(xué)生"獨(dú)到的解題思路"給予鼓勵(lì),激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心.較好地落實(shí)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》"敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新,養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度"的課程目標(biāo).

師:接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)怎樣求出"球出手時(shí)他跳離地面的高度"?

生10:根據(jù)前面建立的直角坐標(biāo)系,先確定拋物線的解析式,求點(diǎn)A的坐標(biāo),然后用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)減去運(yùn)動(dòng)員小姚的身高.

師:說(shuō)得好!請(qǐng)同學(xué)們按照各組構(gòu)建的思路選擇合適的方法獨(dú)立求解.

全班學(xué)生獨(dú)立解題,教師任選三個(gè)學(xué)生分別根據(jù)圖2、圖3、圖4板書解題過(guò)程.

生11:如圖2,設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,于是

當(dāng)x=0時(shí),y=2.25,2.25-1.8-0.25=0.2.所以他跳離地面的高度是0.2米.

生12:如圖3,設(shè)拋物線的解析式為y=ax2,于是2.25a= -0.45,解得a=-,所以y=-x2,當(dāng)x=-2.5時(shí),y= 1.25,3.5-1.25-1.8-0.25=0.2.

生13:如圖4,設(shè)解析式為y=ax2+bx,得解得當(dāng)x=-4時(shí),y= -0.8,3.05-0.8-0.25-1.8=0.2.

師:對(duì)比以上解法,說(shuō)說(shuō)你的想法.

生14:我認(rèn)為生11的解法比較煩,我的解法是:設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2.5)2+3.5,解得a=-,所以y= -(x-1.5)2+3.5,當(dāng)x=0時(shí),y=2.25,2.25-1.8-0.25=0.2,所以他跳離地面的高度是0.2米.

師:這位同學(xué)說(shuō)得很好,說(shuō)明他能認(rèn)真分析問(wèn)題,是大家應(yīng)該學(xué)習(xí)的.

生15:選擇恰當(dāng)?shù)姆椒墒褂?jì)算簡(jiǎn)單.已知拋物線的頂點(diǎn),設(shè)為頂點(diǎn)形式,容易求拋物線的解析式.

生16:在建立直角坐標(biāo)系,求二次函數(shù)解析式時(shí),選擇坐標(biāo)原點(diǎn)要注意,怎樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便.我認(rèn)為,在這個(gè)問(wèn)題中,將坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在拋物線頂點(diǎn)處,最好算.

評(píng)析:數(shù)學(xué)計(jì)算的教學(xué)中最大瓶頸就是怕耽誤教學(xué)時(shí)間,完不成教學(xué)任務(wù),(特別是一些公開(kāi)課、示范課、研討課)往往是將題目的演算步驟由教師全包全攬,以上過(guò)程中教師順著學(xué)生的思路,恰當(dāng)?shù)靥幚碇v授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主計(jì)算、合作交流,同時(shí)在交流中進(jìn)一步理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能,提高了學(xué)生的運(yùn)算能力.

三、問(wèn)題拓展,發(fā)展應(yīng)用意識(shí)

問(wèn)題2:這場(chǎng)籃球賽中,另一位運(yùn)動(dòng)員小蔡跳起投籃,如圖5,已知球出手時(shí)離地面高米,與籃圈中心的水平距離為8米,當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米,問(wèn):此球能否投中?

圖5

圖6

師:請(qǐng)同學(xué)們類比問(wèn)題1的解題思路,構(gòu)建自己的解法.

生17:(簡(jiǎn)要計(jì)算后)先建立如圖6所示的平面直角坐標(biāo)系,已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A,判斷點(diǎn)(4,0.95)是否在籃球運(yùn)行的拋物線上,如果在就能投中,如果不在就不能投中.

師:請(qǐng)你上來(lái)寫出你的解題過(guò)程.

生17:(板書)設(shè)解析式為y=ax2,于是16a=,a=所以點(diǎn)(4,0.95)不在拋物線上,因此不能投中.

師:這位同學(xué)的解法很好,還有補(bǔ)充的嗎?

師:假設(shè)出手的角度和力度都不變,則如何才能使此球投中?

生19(舉手):可以跳得高一點(diǎn).

師:對(duì),可以跳得高一點(diǎn),實(shí)際上就是把拋物線沿著y軸向上平移,并用幻燈片演示(圖略),你能計(jì)算出可以跳高多少嗎?

生20:我覺(jué)得可以朝著籃球架的方向走一點(diǎn),我不知道怎么算.

生21:可先計(jì)算縱坐標(biāo)為3.05-4時(shí)的橫坐標(biāo),再求4和這個(gè)數(shù)的差就行了.

師:同學(xué)們,你們認(rèn)為這位同學(xué)的計(jì)算方法正確嗎?

生眾:正確.

師強(qiáng)調(diào):朝前走一點(diǎn),實(shí)際上就是把拋物線向右平移,并用幻燈片演示(圖略),這一過(guò)程再一次驗(yàn)證了二次函數(shù)y=ax2,y=a(x+m)2,y=a(x+m)2+n的聯(lián)系.

評(píng)析:問(wèn)題2承接問(wèn)題1,又有變化,不是作簡(jiǎn)單的摸仿,特別是利用點(diǎn)的坐標(biāo)是否在拋物線上來(lái)檢驗(yàn)進(jìn)球與否,體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的理念,使應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)模型思想得到了進(jìn)一步的拓展.對(duì)投籃不進(jìn)作進(jìn)一步的探究,看似簡(jiǎn)單自然,卻意味深長(zhǎng),老師巧妙的設(shè)問(wèn),讓學(xué)生在不知不覺(jué)中復(fù)習(xí)了拋物線是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì),以及圖形的平移,使知識(shí)結(jié)構(gòu)體系渾然一體,則從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā),加強(qiáng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用,結(jié)累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、總結(jié)回顧,升華應(yīng)用意識(shí)

師:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題方面有什么收獲與感想?

生22:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),知道了在解決現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題時(shí),可以將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解.

師:請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合自己解決問(wèn)題1的經(jīng)歷說(shuō)說(shuō)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程.

學(xué)生議論后你一言我一語(yǔ)回答(過(guò)程略).

師(概括):從思維層面上講,尋找解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程(思路)有以下三個(gè)層次:

第一層次:通過(guò)生活現(xiàn)實(shí)關(guān)注來(lái)源于自然、社會(huì)中更為廣泛的現(xiàn)象和具體的"問(wèn)題情境",感受生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化,明確解決問(wèn)題的基本策略.

第二層次:在"問(wèn)題解決的過(guò)程中"主動(dòng)嘗試用不同的方法"建立模型","求解驗(yàn)證"形成解決問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

第三層次:通過(guò)"問(wèn)題的拓展"和總結(jié)回顧,回歸生活的本來(lái)面目,實(shí)現(xiàn)了由數(shù)學(xué)看現(xiàn)實(shí),由現(xiàn)實(shí)想數(shù)學(xué)的思維方式的提升.

評(píng)析:從學(xué)生的總結(jié)來(lái)看,這節(jié)課,學(xué)生獲得了基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和應(yīng)用意識(shí).通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)生活化,體會(huì)數(shù)學(xué)方法對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中現(xiàn)象的解釋,意識(shí)到用數(shù)學(xué)的角度看世界,喚起學(xué)生欲發(fā)現(xiàn)、想探究、思創(chuàng)造的愿望.

課后感悟:二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,在初中數(shù)學(xué)課程體系中占據(jù)重要的位置,也是數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容,知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng).讓學(xué)生應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題,變抽象為現(xiàn)實(shí),是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的出發(fā)點(diǎn).本節(jié)課用生活中人們司空見(jiàn)慣的籃球運(yùn)動(dòng)為題材,貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn),使生活走向數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)依托于生活,顯得自然而然、水到渠成,沒(méi)有突兀之感,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的親和力.它還具有降低學(xué)生心理預(yù)期難度的作用,源于數(shù)學(xué)來(lái)自身邊,自然生成一種諧和的安全心理,使數(shù)學(xué)不再可怕.日本數(shù)學(xué)家米三國(guó)臧說(shuō)過(guò):"在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),畢業(yè)后若沒(méi)什么機(jī)會(huì)去用,一兩年后,很快就忘掉了.然而,不管他們從事什么工作,唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等,卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用,使他們終生受益."這種數(shù)學(xué)的精神就是我們所說(shuō)的數(shù)學(xué)素養(yǎng),這種回歸數(shù)學(xué)素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué),就是我們數(shù)學(xué)教育的理想.

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2.胡軍,張幫洪,冉文宇.凸顯問(wèn)題探究,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)---以人教版七年級(jí)下冊(cè)"實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組"(第1課時(shí))為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2015(4).

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4.孫朝仁,馬敏.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的應(yīng)用型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中版),2015(11).