山西中北大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院　　王明亞　李瑞琴　隨磊

3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅克比矩陣及剛度分析

山西中北大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院王明亞李瑞琴隨磊

本文研究了3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解及雅克比矩陣，并求解了該機(jī)構(gòu)的剛度矩陣模型。首先對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行描述，建立相應(yīng)坐標(biāo)系；利用閉環(huán)矢量法得到該機(jī)構(gòu)的逆解約束方程；對(duì)約束方程求導(dǎo)，可得其速度雅克比矩陣；以雅克比矩陣為基礎(chǔ)求解其剛度矩陣。

3-PSP；運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解；雅克比矩陣；剛度

前言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)近些年來(lái)成為機(jī)構(gòu)學(xué)的研究熱點(diǎn)。3-PSP空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一類(lèi)，具有少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的傳統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)，并有其獨(dú)特性，目前研究和開(kāi)發(fā)得還很不充分。鄧飛等［1］建立了3-PSP空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型，得到了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解方程，得出了其位置關(guān)系解。利用ADAMS對(duì)其進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了位置計(jì)算方程的正確性。黃鵬等［2］建立了3-PSP機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，進(jìn)行了包括伴生運(yùn)動(dòng)和被動(dòng)關(guān)節(jié)變量的完整運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。對(duì)3-PSP機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)行程、速度特性和精度進(jìn)行分析，證明該機(jī)構(gòu)適用于混聯(lián)結(jié)構(gòu)中的并聯(lián)模塊，能夠滿(mǎn)足航空、航天、汽車(chē)等領(lǐng)域復(fù)雜零件的加工需要。張志良［3］對(duì)3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)行進(jìn)了詳細(xì)的運(yùn)動(dòng)性能研究，主要包括：機(jī)構(gòu)奇異性、工作空間和靈巧度等，并進(jìn)行了仿真，為3-PSP的研究奠定了基礎(chǔ)。

本文首先對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行描述，建立相應(yīng)坐標(biāo)系；利用閉環(huán)矢量法得到該機(jī)構(gòu)的逆解約束方程；對(duì)約束方程求導(dǎo)，可得其速度雅克比矩陣；以雅克比矩陣為基礎(chǔ)求解其剛度矩陣。

1　 3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的描述與運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

1.1機(jī)構(gòu)描述

3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示，3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)和三條PSP支鏈組成。動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)由相隔120°的三條支鏈連接，每條支鏈由一個(gè)驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副（P）、一個(gè)被動(dòng)球面副（S）和一個(gè)被動(dòng)移動(dòng)副（P）構(gòu)成。如圖1所示，在靜平臺(tái)上建立絕對(duì)坐標(biāo)系｛A-xyz｝；在動(dòng)平臺(tái)上建立坐標(biāo)系｛P-wuv｝。

圖1　 3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

1.2機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

由圖1可知，坐標(biāo)系｛A-xyz｝中，設(shè)支鏈底A1、A2、A3為頂點(diǎn)的等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則A到點(diǎn)A1、A2、A3的各矢量為：

坐標(biāo)系 ｛P-wuv｝中，設(shè)動(dòng)平臺(tái)中心P到球面副中心Si（i=1，2，3）的距離為bi，則各矢量為：

坐標(biāo)系｛A-xyz｝中，到對(duì)應(yīng)支鏈球面副中心Si的矢量，即三條支鏈驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度：

設(shè)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P的矢量為：

不同坐標(biāo)系之間的矢量變換可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換［4］。利用旋轉(zhuǎn)矩陣ApR，可以將坐標(biāo)系｛P-uvw｝中任意矢量轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)系｛A-xyz｝中，ApR為：

式中，c為cos的簡(jiǎn)寫(xiě)，s為sin的簡(jiǎn)寫(xiě)，θ、φ、λ為坐標(biāo)系｛P-uvw｝相對(duì)于坐標(biāo)系｛A-xyz｝繞x、y、z的三個(gè)獨(dú)立轉(zhuǎn)角。

因此，坐標(biāo)系｛A-xyz｝中，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P到球面副中心Si的矢量為：

使用封閉矢量環(huán)法，每條支鏈都可以得到一條閉環(huán)矢量［5］：

將式（6）代入式（7），可得該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)約束方程：

求解式（8），式中共13個(gè)變量，θ、φ、λ為已知輸出變量，a為機(jī)構(gòu)參數(shù)，可求得三條支鏈驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度qi。

2　雅克比矩陣分析

運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解約束方程等式兩邊求導(dǎo)可得輸入和輸出速度之間的關(guān)系，可得機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣。

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)約束方程（8）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：

式中，qi和bi分別為第i個(gè)驅(qū)動(dòng)桿和球面副的運(yùn)動(dòng)速率和分別為第i個(gè)驅(qū)動(dòng)桿和矢量si的單位向量，為動(dòng)平臺(tái)的第i條分支相對(duì)第i個(gè)球面副的運(yùn)動(dòng)速率，ω為動(dòng)平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)角速度，vp為P的速度

假設(shè)特定矢量n垂直于矢量si，其單位向量為：

根據(jù)向量運(yùn)算性質(zhì)得：

矩陣形式為：

3　 剛度矩陣

由于所研究的機(jī)構(gòu)為對(duì)稱(chēng)機(jī)構(gòu)，各分支的剛度系數(shù)之間存在如下關(guān)系k11=k22=k33，可以變形為。

4　結(jié)論

本文研究了3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解及雅克比矩陣，并求解了該機(jī)構(gòu)的剛度矩陣模型，為今后該機(jī)構(gòu)在混聯(lián)機(jī)構(gòu)中應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)和參考依據(jù)。

［1］鄧飛，李文忠.3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的空間位置正解分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，2009，26（1）：41-45.

［2］黃鵬，王立平等.新型3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能及精度分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46（15）：1-7.

［3］張志良.三自由度3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能與仿真研究［D］.太原：中北大學(xué)，2014.

［4］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006.5.