浙江杭州市運河學(xué)校（310000）　伊秀君

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線與面的碰撞
——以“求陰影部分的周長和面積”為例

浙江杭州市運河學(xué)校（310000）伊秀君

周長和面積是平面封閉圖形的重要量度。就求陰影部分的周長錯誤率居高不下這一現(xiàn)象進(jìn)行了學(xué)生訪談、錯因分析，發(fā)現(xiàn)是“錯”不是“誤”，從而制定了“反賓為主，記號化，橫向聯(lián)系，觸摸分解”等教學(xué)策略，努力促進(jìn)學(xué)生知識的正向遷移，更有效和充分地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

周長和面積碰撞思維

周長和面積是平面幾何中的兩個基本概念，如果線指的是圖形的周長，面指的是圖形的面積，那線與面之間不但有和諧的音符，也有無數(shù)多的激情碰撞，而線和面的碰撞則是學(xué)生幾何作業(yè)錯誤中永恒的主題。

一、碰撞追溯

在三年級長方形和正方形的面積的知識點出現(xiàn)后，線和面發(fā)生第一次碰撞：一是面積單位和周長單位之間的碰撞，究其原因，是學(xué)生思維的惰性和思維的單線性造成的，隨著年齡的增長，這種錯誤將慢慢消失；二是正方形的面積計算公式和周長計算公式之間的碰撞，學(xué)生會經(jīng)常用正方形的計算周長公式來計算正方形的面積，究其原因，就是正方形的周長公式比面積公式更簡單，信息量少，更容易在記憶里保持和提取。在四年級平行四邊形、三角形、梯形這些規(guī)則圖形的面積的知識點出現(xiàn)后，周長和面積的計算公式、單位又發(fā)生了更激烈的碰撞。

二、碰撞延續(xù)

在六年級上學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的周長和圓的面積后，在計算陰影部分的面積和周長時，線和面的碰撞又讓錯誤率居高不下。于是我把學(xué)生在練習(xí)中的錯誤進(jìn)行了整理。

學(xué)生練習(xí)（求陰影部分周長）錯誤示例整理表

以上是求陰影部分周長的學(xué)生錯誤摘錄（全班45名學(xué)生）。在統(tǒng)計以上這些錯誤時發(fā)現(xiàn)，求陰影部分的面積除了計算上的錯誤，沒出現(xiàn)方法上的錯誤，而計算陰影部分的周長，錯誤一直在延續(xù)，而且錯誤率居高不下。曾經(jīng)認(rèn)為是“誤”不是“錯”，這時才認(rèn)清學(xué)生是“錯”不是“誤”。

三、碰撞分析

既然是“錯”不是“誤”，于是我決定仔細(xì)地詢問學(xué)生，研究學(xué)生的錯因。通過詢問、調(diào)查和歸類，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的“錯”有下列三種“因”。

1.思維的定式

思維定式是人們按照一種固定的思路和習(xí)慣性方法來考慮、分析和解決問題的一種心理現(xiàn)象。思維定式既有積極的一面，也有消極的一面。積極的一面是它可以幫助學(xué)生消化所學(xué)的知識和積累的經(jīng)驗，從而正確有效地解決同一類問題。消極的一面是學(xué)生往往受其影響，過分依賴過去的經(jīng)驗，只注意知識的記憶，而忽視對問題中各種量之間相互關(guān)系的分析和研究，在解決問題時，思路單一，極大地妨礙了發(fā)散思維的發(fā)展。

在求解圖4的周長時，有學(xué)生列出了算式：

師：請說說什么是周長？

生：封閉圖形一周的長度。

師：請摸出這個陰影部分的周長。

（學(xué)生正確地摸出這個陰影部分的周長）

師：這里周長應(yīng)該怎么求？

圖4

師：為什么這么求，你不是摸過了嗎？

生：我是用“兩個小的半圓的周長+一個大的半圓的周長=陰影部分的周長”來求的。

因為重視這次的“錯”，我聽懂了這個學(xué)生的解釋。在求圖1的周長時，曾經(jīng)列出算式“50×4+3.14×50”，因此我一直認(rèn)為學(xué)生是因為看錯題目才解答錯誤的，以教師的思維代替學(xué)生的思維，才會造成一錯再錯。

我們曾經(jīng)強調(diào)過如圖5的圖形的周長：一個半圓的周長=圓周長的一半+一條直徑。

圖5

于是，學(xué)生就把陰影部分的周長看成是三個半圓的周長，而每個半圓的周長都是用圓周長的一半加上一條直徑，那么三個半圓的周長就是這種先入為主的思維，使學(xué)生在分析問題時只相信自己的感覺和經(jīng)驗，把量與量之間的關(guān)系看成是一成不變的，致使解題時思維僵化。

2.思維的單線性

思維的單線性是指直線的、單向的、單維的和缺乏變化的思維方式。

在求解圖4的周長時，有6個學(xué)生說大腦一片空白，經(jīng)過談話發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出現(xiàn)這種情況有兩種可能：

（1）場依存性

當(dāng)代美國心理學(xué)家赫爾曼.威金特（HermanWitkin）曾對空軍飛行員靠什么線索來確定自己是否坐直的問題設(shè)計了一個實驗，結(jié)果得出：有些人知覺時較多地受他所看到的環(huán)境信息的影響；有些人則較多地受來自身體內(nèi)部的線索的影響。他把受環(huán)境因素影響大者稱之為場依存性，把不受或很少受環(huán)境因素影響者稱之為場獨立性。圖6左邊是個簡單的幾何圖形，要被試者從右邊這個復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出左邊這一簡單圖形。有些人幾乎立即就能指出這個圖形，不會被周圍的線條分散精力，而有些人則需要花費較長的時間才能分辨出來。這說明，人們在知覺過程中確實具有場依存性和場獨立性的差異。

圖6

（2）數(shù)學(xué)語言互相轉(zhuǎn)化的能力弱

數(shù)學(xué)語言是一種有別于自然語言的學(xué)科專業(yè)化語言，是人類數(shù)學(xué)思維長期發(fā)展過程中形成的特殊表達(dá)形式。它是以文字（包括數(shù)字與字母）、符號及圖形為詞匯，數(shù)學(xué)法則、定理、公式為語法法則的一種語言，一般有三種形式：表述（文字）語言、符號語言、圖形語言。所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言必須具備一種語言形式轉(zhuǎn)化到另一種語言形式的能力：文字語言符號化和圖示化，圖形語言文字化。

求陰影部分的周長和面積是用圖形語言來表述問題，形象、直觀、一目了然，但一部分學(xué)生不善于將圖形語言描述的問題用符號和文字表達(dá)出來，不能從復(fù)雜的圖形中抽象出陰影部分的周長，既然找不到陰影部分的周長，完成題目也就無從下手，只能是空白。

3.思維的相似性

求陰影部分的面積和周長計算方法之間的碰撞，其實就是思維的相似性碰撞。數(shù)學(xué)思維的相似性是思維相似律在數(shù)學(xué)思維活動中的反映，表現(xiàn)為幾何相似、關(guān)系相似、結(jié)構(gòu)相似與實質(zhì)相似，還有靜態(tài)相似與動態(tài)相似等。對相似因素和相似關(guān)系的認(rèn)識能加深理解數(shù)學(xué)對象的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律性，提高思維的深刻性，發(fā)展思維的創(chuàng)造性。

下面是對解答圖2發(fā)生錯誤（1）的學(xué)生的訪談。

師：陰影部分的周長在哪，能摸一摸嗎？

（學(xué)生演示正確）

師：陰影部分的周長由幾段組成，其中一段怎么求？

師：那么這樣的4段怎樣求？

生：噢，我明白了。

師：能說說你為什么會犯這樣的錯誤嗎？

生：我用求陰影部分面積的方法來求周長了。

（1）概念模糊

我在詢問這部分學(xué)生錯因的時候，他們的目光總是躲躲閃閃，回答問題也是猶猶豫豫，因為他們需要同學(xué)的提醒。原因是教師教學(xué)時的某些習(xí)慣做法，比如，有意無意地突出封閉圖形的面（經(jīng)常貼出彩色紙剪的圖形），忽略封閉圖形的邊（很少有教師勾勒彩色圖形的邊），也會對學(xué)生頭腦中的圖形概念產(chǎn)生影響。以圖7這個典型的題目為例。

圖7

學(xué)生在摸這個陰影部分的周長時非常緊張，無從下手，需要老師和同學(xué)們的提醒，至于怎么求解更是摸不著頭腦。

（2）概念“同化”

在做題時，學(xué)生總是會用一個概念去“同化”另一個概念，而不是自覺地去“分化”。這類學(xué)生的解題都有一個共同的特點，都是先計算陰影部分的面積，再計算陰影部分的周長，在計算陰影部分的周長時習(xí)慣性用求面積的方法。陰影部分的面積和周長放在一起求時，相似因素造成的強刺激，也給相關(guān)概念的“分化”帶來困難。

這類學(xué)生只要再讓他讀兩遍題目，他就知道錯在哪里了。

四、碰撞感悟

對學(xué)生的錯因進(jìn)行了訪談、分析、歸類，得出這些錯不是“誤”造成的，而是“錯”造成的?！罢`”是指失誤而造成的錯，而“錯”是指學(xué)習(xí)者構(gòu)造了自己特有的概念與程式造成的錯。是因為“錯”造成的，所以一直錯絕非偶然，而是必然。針對此現(xiàn)象，我和其他老師一起制定了以下教學(xué)策略。

1.回到教學(xué)起點，掌握知識本質(zhì)

這些經(jīng)常發(fā)生周長和面積“碰撞”的學(xué)生都有著共同的特點：周長和面積的意義不能區(qū)分清楚，至少是沒能轉(zhuǎn)化為圖式表征來加以區(qū)分周長和面積的意義。

（1）激活辨析

首先，激活原有概念的內(nèi)涵，讓錯誤的學(xué)生通過回憶說出周長和面積的概念：周長是封閉圖形一周的長度，拉開是一條線段；面積是物體的表面和平面圖形的大小，是一個面。其次，感受概念的外延，讓學(xué)生在紙上畫出一個正方形，并用紅筆描出這個正方形的周長，把這個用紅筆涂的線拉開也就是一條線段，同樣也畫在紙上，并標(biāo)出四段；用黑筆涂出這個正方形的面積。激活是對概念知識的重新感知，是讓學(xué)生把周長和面積的文字概念轉(zhuǎn)化為圖式表征來加以區(qū)分。最后通過比較和辨析的練習(xí)讓學(xué)生對信息進(jìn)行加工和內(nèi)化，這樣就順應(yīng)了兒童認(rèn)知發(fā)展由外部動作到內(nèi)部思維的規(guī)律。

曹培英老師用以下的操作對圖形的周長和面積進(jìn)行比較和辨析：

（1）周長相等面積不等的圖形

圖8

圖9

（2）周長不等面積相等的圖形

圖10

如此，不妨指導(dǎo)學(xué)生在計算組合圖形的周長與面積時，采取畫圖與列式相結(jié)合的方式，“畫一條，算一條”（周長），“涂一塊，算一塊”（面積），以此正確區(qū)分周長與面積。

（2）記號化

圖形語言雖然形象，但識圖和畫圖是學(xué)生的難點。為此，有必要將圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言和符號語言，以加強學(xué)生對平面幾何問題的理解。日本福井大學(xué)柳本成一教授在中學(xué)幾何演繹推理證明教學(xué)方面有一些新的嘗試，他主要研究在課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生運用圖形記號、數(shù)學(xué)符號語言和邏輯推理方法表達(dá)幾何中的演繹推理過程。他的基本思想是改變學(xué)生純粹模仿教科書上解題方法的情況，帶學(xué)生進(jìn)入幾何思維的世界。他的做法是在原幾何圖形中標(biāo)出線段相等、角度相等等記號，這些帶有記號的幾何圖形就是“信息圖形”，即“記號化”的幾何圖形，然后將信息圖形轉(zhuǎn)化為“符號語言”，即“符號化”的數(shù)學(xué)表達(dá)。柳本教授的這一數(shù)學(xué)思想同樣也適合于小學(xué)階段的解決幾何圖形問題的教學(xué)。例如：

讓學(xué)生先從原來復(fù)雜的圖形中抽象出簡單的周長圖形，用紅筆描出陰影部分的周長，即把圖形的周長“記號化”。如果還是覺得模糊，再用“文字語言”來表達(dá)，最后列出正確的算式。這樣就完成了把圖形語言正確地轉(zhuǎn)化成符號語言的過程，自然不會受面積的干擾。

2.回到思維原點，激活主體思維

解題錯誤的學(xué)生都有一個共同點，那就是思維停滯或思維受阻，學(xué)過的東西不能靈活運用，需要旁人的提醒。即使暫時會了，那也是思維的模仿，或者是暫時的記憶。

（1））反賓為主

對一個問題能根據(jù)情況的變化而變化，也就是說，能根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的事實，及時修正原來的想法，這就是思維的靈活性。求陰影部分的周長，學(xué)生只要看到半圓的周長就想到用“圓周長的一半+一條直徑”，這樣的思維定式阻礙了學(xué)生解題的思路，這時，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生把陰影部分的周長抽象為圖11，并畫下來。這樣就讓學(xué)生注意了量的相對性，打破了量的絕對性界限。這種反賓為主的思想，既消除了“先入為主”帶來的負(fù)遷移，又可以化繁為簡，降低解題的難度。

圖11

圖12

（2）橫向聯(lián)系

具有場依存性的學(xué)生受環(huán)境因素影響較大，不能將一個模式（或圖式）分解成許多部分，思想單一。經(jīng)常給具有場依存性的學(xué)生進(jìn)行辨認(rèn)鑲嵌圖形的游戲，也有一定的教學(xué)效果。例如：從圖12中找出圖中右上角這個簡單圖形。

“他山之石，可以攻玉”。利用思維的發(fā)散，教師可以經(jīng)常給學(xué)生玩這樣的游戲，借助知識間的橫向聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。學(xué)數(shù)學(xué)知識，解數(shù)學(xué)題目，不僅要用到數(shù)學(xué)的專業(yè)知識，有時還要借助于語文、音樂、美術(shù)等方面的知識、方法、技巧，這就是知識的“橫向聯(lián)系”。

（3）觸摸分解

“摸”，字典中的解釋：用手接觸或輕輕撫摸。在知覺學(xué)習(xí)中，應(yīng)提倡發(fā)揮多種知覺功能的作用。有實驗表明，智力落后的兒童難以辨別較復(fù)雜的物品，但是把這些物品的某些部分切割下來，讓他觸摸以后，該兒童便能掌握較復(fù)雜的辨別方法。

觸摸也是讀懂圖形的一種有效手段，在完成圖形的練習(xí)中，“摸一摸”可以讓學(xué)生對圖形有一定的感知，對所要解決的問題有一定的認(rèn)識，同時能促進(jìn)思維的聯(lián)動。教師可以提醒學(xué)生“能用手摸出這個陰影部分的周長嗎？”當(dāng)學(xué)生用手摸出這個陰影部分的周長之后，可提示“這個陰影部分的周長由幾部分組成，將一個復(fù)雜圖形進(jìn)行分解，例如圖4可以分解成一個大圓周長的一半和兩個小圓周長的一半。每一段分別怎么求……”

解題難免會出錯，但不要把學(xué)生的錯誤總認(rèn)為是偶然，其實學(xué)生發(fā)生的每一個錯誤都是必然。教學(xué)中教師應(yīng)及時地發(fā)現(xiàn)并捕捉學(xué)生的這些錯誤，開展深入、細(xì)致的研究，讓學(xué)生認(rèn)錯、知錯、改錯，因為教師知錯是改錯的前提，學(xué)生知錯是重新?lián)碛姓_認(rèn)識的開始，是一個內(nèi)容豐富的認(rèn)知過程。

（責(zé)編童夏）

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1007-9068（2016）20-014