陶志雷（安徽省淮南一中）

線性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解求法及數(shù)據(jù)分析

陶志雷
（安徽省淮南一中）

在中學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)中，對(duì)線性規(guī)劃的求解方法及相應(yīng)結(jié)果的分析提出了一定的要求。主要討論兩個(gè)變量線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解求法，并舉出生活中的例子加深理解。通過(guò)對(duì)結(jié)論中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，反映出各個(gè)量在實(shí)際問(wèn)題中的地位和作用。

數(shù)學(xué)問(wèn)題；圖解法；函數(shù)

線性規(guī)劃的應(yīng)用在大學(xué)數(shù)學(xué)分支運(yùn)籌學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)很大的比例，它可以幫助人們有效地進(jìn)行科學(xué)管理。它是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要部分，也是現(xiàn)代科學(xué)管理的重要手段之一。求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問(wèn)題，統(tǒng)稱為L(zhǎng)P問(wèn)題，使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解叫最優(yōu)解。

本文主要是針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中線性規(guī)劃問(wèn)題的類型，討論在目前中學(xué)現(xiàn)有解題方法圖解法的基礎(chǔ)上，對(duì)實(shí)例進(jìn)行分析并用圖解法求出最優(yōu)解，并在最優(yōu)解的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上討論某些變量值改變時(shí)相應(yīng)結(jié)果的變化。

圖解法的一般步驟是：（1）建平面直角坐標(biāo)系；（2）找到可行的區(qū)域，作目標(biāo)函數(shù)等值線；（3）移動(dòng)等值線到可行區(qū)域的邊界，知道函數(shù)與可行區(qū)域的交點(diǎn)就是最優(yōu)解。

例1.解線性規(guī)劃：

首先，觀察題目要求，在這個(gè)問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)是z=700x+1200y，要求在約束條件（1）4x+5y≤200；（2）3x+10y≤300下求出最大值。

我們已經(jīng)知道題目的要求和目的，根據(jù)題目的約束條件畫出圖1。

圖1　

結(jié)論分析：（1）如果現(xiàn)在改變例1中的約束條件，將原來(lái)約束條件的小于等于全部改為大于等于，這時(shí)可行域由原來(lái)的封閉區(qū)域A變?yōu)闊o(wú)窮區(qū)域B，此時(shí)maxz無(wú)最大值解，也就是說(shuō)z可以取得無(wú)窮大。但是如果將目標(biāo)函數(shù)由求最大值改為最小值，約束條件不變，那么（20，24）就是minz的唯一最小值解。

（2）將對(duì)應(yīng)x=20，y=24代入不等式，發(fā)現(xiàn)約束條件正好變?yōu)榈忍?hào)，說(shuō)明資源x，y是短缺的，從經(jīng)濟(jì)角度考慮的話，就是可以通過(guò)繼續(xù)增大x，y，從而增加產(chǎn)出z。

（3）如果第一個(gè)約束條件改變?yōu)?x+5y≤201，通過(guò)畫圖可發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)最優(yōu)解變?yōu)椋?0.4，23.88），對(duì)應(yīng)z值增大136，則可認(rèn)為136是約束條件：（1）對(duì)應(yīng)資源對(duì)目標(biāo)函數(shù)的邊際貢獻(xiàn)。于是可以推出當(dāng)4x+5y≤201時(shí)目標(biāo)函數(shù)z的值就相應(yīng)增加1360。同理，可以找出約束條件（2）的邊際貢獻(xiàn)。

例2.某地需要甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)桌，每張桌子要木料和油漆兩個(gè)步驟才算完工。甲乙分別用1h和2h做成一張桌子，要3h和1h油漆桌子。木工和油漆工工作不多于8h和9h，工廠造一張甲乙桌分別獲利2000元和3000元，現(xiàn)工廠想要獲得最大利潤(rùn)，每天應(yīng)生產(chǎn)甲乙桌子各多少?gòu)垼?/p>

注意：在列本題的模型時(shí)有一個(gè)小小的技巧，就是對(duì)單位的處理上，如果將此處的2000元和3000元分別處理為2千元和3千元，那在畫等值線的時(shí)候能夠大大地簡(jiǎn)化計(jì)算。

解：設(shè)工廠每天生產(chǎn)甲類桌子x張，乙類桌子y張，則x、y滿足條件：

由于本題中要求，x，y取整數(shù)，所以也是整數(shù)規(guī)劃類型，但是我們也可以將整數(shù)約束條件先去掉，做出圖2：

圖2　

解法（2）：在如上可行域中找出所有的整數(shù)解（1，0），（2，0），（3，0），（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），然后比較對(duì)應(yīng)z值大小可以直接求出最大值點(diǎn)位（2，3）。

結(jié)論分析：將變量值代入不等式，發(fā)現(xiàn)約束條件正好變?yōu)榈忍?hào)，說(shuō)明資源x，y是短缺的，從經(jīng)濟(jì)角度考慮的話，就是可以通過(guò)繼續(xù)增大x，y，從而增加產(chǎn)出z。但由于此題中的變量要求取整，故對(duì)應(yīng)資源只增加單位1時(shí)對(duì)整體結(jié)果z未必會(huì)產(chǎn)生影響。另外，在討論約束條件時(shí)，要將x，y當(dāng)成有相互制約關(guān)系的整體變量討論，否則分別討論就容易得出錯(cuò)誤結(jié)論。

［1］錢頌迪.運(yùn)籌學(xué)［M］.清華大學(xué)出版社，1990：9-37.

［2］胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用［M］.2版.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1993：13.

·編輯李建軍