殷清濤（甘肅省敦煌市敦煌中學）

關(guān)于廣義正態(tài)分布性質(zhì)的研究

殷清濤
（甘肅省敦煌市敦煌中學）

一、引言

正態(tài)分布是由德國著名數(shù)學家高斯首先得到的，所以也常常稱為高斯分布。正態(tài)分布在數(shù)學、物理、化學及工程中都具有非常重要的地位，尤其在統(tǒng)計學中有著重大的影響力。事實上，正態(tài)分布是應用最為廣泛的一種分布，它存在于人們生產(chǎn)生活的各個方面。例如，同一機器生產(chǎn)出的大量產(chǎn)品的質(zhì)量分布；同一年齡段人類的身高、體重分布；某一地區(qū)年降水量的分布；科學實驗中測量同一物體的誤差分布，理想氣體的速度分布等等?，F(xiàn)在人們知道，正態(tài)分布是由中心極限定理保證的。實際應用中，還存在一些其他形式的分布，例如t分布、F分布等，其實，這些分布也是由正態(tài)分布直接導出的。正態(tài)分布可以用來估計頻數(shù)分布，制定參考值范圍，質(zhì)量控制等等。然而，我們知道，作為保證正態(tài)分布的中心極限定理，是以大數(shù)法則為前提的，具體地說，事件的數(shù)目越多，中心極限定理越嚴格，才能保證趨向于正態(tài)分布。理論上講，事件的數(shù)目為無窮大時，中心極限定理才嚴格正確，分布才是正態(tài)分布。實際生活中，事件的數(shù)目顯然不是無窮大，因此正態(tài)分布實際上并不能準確無誤地表示分布規(guī)律。在本篇文章中提出以廣義正態(tài)分布代替?zhèn)鹘y(tǒng)正態(tài)分布，可以很有效地解決這一矛盾。

二、廣義正態(tài)分布及其運算法則

傳統(tǒng)正態(tài)分布的分布函數(shù)可表示為：

從上式可以看出，正態(tài)分布的核心是自然指數(shù)e，是自然對數(shù)的底數(shù)，是一個無限不循環(huán)小數(shù)，其值約為2.71828……，它是一個超越數(shù)。自然指數(shù)在整個數(shù)學史上都具有非常重要的地位。自然指數(shù)是由一個重要極限給出的。即當n趨于無限時（1+1/n）n=e。以自然指數(shù)為底數(shù)的對數(shù)叫做自然對數(shù)，一般用ln表示。自然對數(shù)的含義是在單位時間內(nèi)，持續(xù)的翻倍增長所能達到的極限值。

所謂廣義正態(tài)分布，就是在傳統(tǒng)的正態(tài)分布基礎(chǔ)上，增加上一個量q，該量稱為非廣延參數(shù)，已經(jīng)被廣泛應用于物理、化學、生物、工程、經(jīng)濟、計算機科學等各個領(lǐng)域中。它的正確性已經(jīng)得到了廣泛承認。接下來，從微分方程出發(fā)研究廣義正態(tài)分布：

考慮這樣一個簡單的一階線性微分方程：dy/dx=y，它的解是y=ex，反函數(shù)是y=lnx。很容易看出該微分方程導出了自然指數(shù)和自然對數(shù)。

再考慮非線性微分方程：dy/dx=yq，它的解是y=［1+（1-q）x］1/（1-q）=exq，反函數(shù)是當q無限接近1時，得到了自然指數(shù)和自然對數(shù)的極限形式，以后簡單稱之為廣義自然指數(shù)和廣義自然對數(shù)。以廣義自然指數(shù)為基礎(chǔ)，便可以得到廣義正態(tài)分布函數(shù)：

對于自然對數(shù)和自然底數(shù)，有如下基本性質(zhì)：

這兩個基本性質(zhì)是正態(tài)分布得以廣泛應用的一個重要理由，因為它們使得正態(tài)分布在運算中極為簡便，若缺少這兩個基本性質(zhì)，幾乎所有涉及正態(tài)分布的運算量都將增大很多倍。然而，廣義自然指數(shù)與廣義自然底數(shù)卻不具備傳統(tǒng)自然對數(shù)與傳統(tǒng)自然底數(shù)的這些優(yōu)良性質(zhì)，即exq·eyq=eq（x+y+（1-q）xy），很顯然exq·eyq不等于exyq；同理從lnq（xy）=lnqx+lnqy+（1-q）lnqlnqy可以看出當q不等于1時，lnqx+lnqy不等于lnq（xy），這使得廣義正態(tài)分布在實際應用中計算繁瑣，下面定義一套新的運算法則，可以有效簡化廣義正態(tài)分布的計算量。

如果同時定義廣義乘法與廣義加法規(guī)則如下：

則以上性質(zhì)可以得到保持：

可以看到在廣義乘法規(guī)則下exq×eyq正好等于ex+yq；

可以看到，在廣義加法規(guī)則下lnqx+lnqy正好等于lnqxy。

既然定義了廣義乘法與廣義加法規(guī)則，廣義除法與廣義減法規(guī)則也就自然而然地給出，此處不再詳述。接下來，在此基礎(chǔ)上建立較為復雜的運算：廣義微分和廣義積分，從而形成一整套廣義運算規(guī)則。首先定義廣義微分：

于是相應的廣義積分由下式給出：

以上討論的廣義正態(tài)分布下的運算法則都是相對簡潔的，事實上實際運算中還會出現(xiàn)很多本文未能包含的情況，但不管多么復雜的運算，總能從本文定義的加減乘除以及微分積分經(jīng)過適當?shù)慕M合以及變形給出。在廣義運算規(guī)則下，廣義正態(tài)分布中的運算量大大減少，這很好地減輕了工業(yè)生產(chǎn)和科學實驗中的計算量，具有非常重要的實際意義。

三、廣義正態(tài)分布的跨學科應用

為了進一步說明廣義正態(tài)分布的重要性，以下將舉出兩個廣義正態(tài)分布成功應用的例子。

例1.某地抽樣調(diào)查兩百名十九歲的男大學生的身高，發(fā)現(xiàn)平均身高為172.5厘米，標準差為3.98厘米。求這兩百名十九歲男大學生中，有多少人身高分布在168.5厘米到176.5厘米之間？若依照傳統(tǒng)正態(tài)分布理論，可以很容易得出67%的男大學生處在該范圍，于是算出應該有134人身高分布在168.5厘米到176.5厘米之間。然而實際情況卻有所偏差。該地抽樣調(diào)查結(jié)果顯示，這兩百名十九歲的男大學生身高處在該范圍的人數(shù)為136人。應用廣義正態(tài)分布理論，取q值為0.96，可發(fā)現(xiàn)廣義正態(tài)分布計算所得值為136人，與實際抽樣調(diào)查結(jié)果相同。事實上，傳統(tǒng)正態(tài)分布與實際的偏差來源于抽樣的局限性。抽樣的樣本容量越小，理論與實際的偏差越大，q越偏離1，越應該使用廣義正態(tài)分布。傳統(tǒng)正態(tài)分布嚴格來講只適用于抽樣容量無限大的情況。

例2.理想氣體分子的速度分量分布。物理學中經(jīng)常以理想氣體為例來驗證新理論的正確性。所謂理想氣體，是指氣體分子本身體積與容器總體積相比很小，可忽略不計，且氣體分子之間的作用力也很小，也可忽略不計的氣體。一般認為，理想氣體的速度分量遵循麥克斯韋分布律，麥克斯韋分布律實質(zhì)上也就是正態(tài)分布。然而，理想氣體的速度分量分布，是否真的遵從正態(tài)分布，一般多年來都是作為一個既定的事實，從未在實驗上直接測量驗證過。近年來，越來越多的科學家認為，正態(tài)分布或許只是一種可能的分布，而不是唯一的分布。另外，理想氣體的條件過于苛刻，實際上不存在能夠滿足理想氣體條件的真實氣體。廣義正態(tài)分布為對應的廣義麥克斯韋分布律提供了一種可能，對于不同的氣體，取不同的q值，可以更好地描述真實氣體系統(tǒng)。

周秋生.廣義正態(tài)分布及其二次函數(shù)的性質(zhì)［J］.測繪工程，1999（1）.

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