王　慧，王偉平

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

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關(guān)于兩個(gè)(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式乘積的研究

王慧，王偉平

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

利用組合數(shù)學(xué)的方法研究了兩個(gè)(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式的乘積滿足的恒等式、遞推關(guān)系及生成函數(shù)，建立了兩個(gè)(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式的乘積之和滿足的遞推關(guān)系及顯式表達(dá)式，推廣了Falcon的結(jié)論。此外，通過將所得的關(guān)于(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式序列的一般性結(jié)果應(yīng)用到經(jīng)典的Fibonacci多項(xiàng)式及Chebyshev多項(xiàng)式上，得到了很多新的組合恒等式。

(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式；(p,q)型Lucas多項(xiàng)式；生成函數(shù)；遞推關(guān)系；組合恒等式

0　引　言

在組合數(shù)學(xué)中，很多特殊的組合序列都可以通過二階的遞推關(guān)系定義，例如Fibonacci數(shù)、Lucas數(shù)、Pell數(shù)、Fibonacci多項(xiàng)式、Lucas多項(xiàng)式等。這些序列在組合數(shù)學(xué)、數(shù)論、數(shù)值分析等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用。

定義(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式序列(un(x))和(p,q)型Lucas多項(xiàng)式序列(vn(x))為：

u0(x)=0，u1(x)=1，un(x)

=p(x)un-1(x)+q(x)un-2(x)，(n≥2)，

v0(x)=2，v1(x)=p(x)，vn(x)

=p(x)vn-1(x)+q(x)vn-2(x)，(n≥2).

很多特殊的多項(xiàng)式序列都是(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式序列以及(p,q)型Lucas多項(xiàng)式序列的特例(見表1)[1-4]。此外，若p(x)與q(x)都取非零實(shí)數(shù)，就得到著名的Lucas序列。例如，F(xiàn)ibonacci數(shù)、Lucas數(shù)等構(gòu)成的二階遞推序列都是特殊的Lucas序列。

表1　 特殊的(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式和

由定義可以得到(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式序列(un(x))以及(p,q)型Lucas多項(xiàng)式序列(vn(x))的前幾項(xiàng)：

u0(x)=0，u1(x)=1，u2(x)=p，

u3(x)=p2+q，u4(x)=p3+2pq，

v0(x)=2，v1(x)=p，v2(x)=p2+2q，

v3(x)=p3+3pq，v4(x)=p4+4p2q+2q2，

為簡(jiǎn)潔起見，本文將多項(xiàng)式p(x)簡(jiǎn)寫成p, q(x)簡(jiǎn)寫成q。如果令α和β為特征方程t2-pt-q=0的根，則：

且α+β=p, αβ=-q，利用特征根α和β可以給出(un(x))和(vn(x))滿足的Binet公式：

近年來，有關(guān)(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式序列和(p,q)型Lucas多項(xiàng)式序列的研究很多。例如：Lee等[1]研究了這些序列的一些基本性質(zhì)及相關(guān)的矩陣；Wang[2]研究了這些序列滿足的組合恒等式；He等[3]研究了更一般形式的滿足二階線性遞推關(guān)系的數(shù)列與多項(xiàng)式序列，并且利用這些序列研究了某些代數(shù)方程和常微分方程的解的問題。其他研究可以參見一些相關(guān)的論文[4-6]。

Falcon[7]研究了兩個(gè)k-Fibonacci數(shù)的乘積之和，其中k-Fibonacci數(shù)實(shí)際上也是(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式序列的特例，只要令p(x)=k, q(x)=1即可。本文將在Falcon[7]的工作的基礎(chǔ)上，將數(shù)列推廣到多項(xiàng)式序列，研究?jī)蓚€(gè)(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式的乘積滿足的恒等式、遞推關(guān)系及生成函數(shù)，并進(jìn)一步研究?jī)蓚€(gè)(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式的乘積之和滿足的遞推關(guān)系及顯式表達(dá)式，最后本文將所得的一般性結(jié)果應(yīng)用到經(jīng)典的Fibonacci多項(xiàng)式以及Chebyshev多項(xiàng)式上，建立了很多含F(xiàn)ibonacci多項(xiàng)式、Lucas多項(xiàng)式、第一類與第二類Chebyshev多項(xiàng)式的恒等式。

1　兩個(gè)(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式的乘積

下面將研究?jī)蓚€(gè)Fibonacci多項(xiàng)式的乘積滿足的恒等式和遞推關(guān)系。

定理1(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式序列(un(x))滿足如下恒等式：

um(x)un+1(x)-um+1(x)un(x)=

-(-q)mun-m(x)，(n≥m)

(1)

un-1(x)un+1(x)-(un(x))2=-(-q)n-1

(2)

un+r(x)un+r+h(x)-(-q)2r+hun-r(x)un-r-h(x)=

u2n(x)u2r+h(x)

(3)

證明利用Binet公式即可證得式(1)與式(3)，在式(1)中令m=n-1可得式(2)。注意式(1)為D’Ocagne恒等式的推廣，式(2)為Simson恒等式的推廣，且式(2)在文獻(xiàn)[1]的定理2.21中已經(jīng)給出。此外，式(3)推廣了文獻(xiàn)[7]的定理2.1。

引理1設(shè)wn(x)=un(x)un+h(x)，則序列(wn(x))滿足如下遞推關(guān)系：

wn(x)=(p2+q)wn-1(x)+(p2q+q2)wn-2(x)-

q3wn-3(x)，(n≥3).

證明利用序列(un(x))的遞推公式，有：

wn(x)=un(x)un+h(x)=(pun-1(x)+

qun-2(x))(pun+h-1(x)+qun+h-2(x))=

p2wn-1(x)+qun+h-1(x)(un-1(x)-

qun-3(x))+pqun+h-2(x)(pun-2(x)+

qun-3(x))+q2wn-2(x)=

(p2+q)wn-1(x)+(p2q+q2)wn-2(x)-

q2un-3(x)(un+h-1(x)-pun+h-2(x))=

(p2+q)wn-1(x)+(p2q+q2)wn-2(x)-

q3wn-3(x)，

故得證。

利用引理1可進(jìn)一步得到序列(wn(x))的生成函數(shù)。

引理2序列(wn(x))的生成函數(shù)為：

證明利用(wn(x))的遞推關(guān)系，可得：

q2)wn-2(x)-q3wn-3(x)]tn=w1(x)t+

w1(x)t+w2(x)t2-(p2+q)w1(x)t2+

(p2+q)tf(x,t)+(p2q+q2)t2f(x,t)-

q3t3f(x,t)，

由上述方程解出f(x,t)即可。

定理2序列(Sn(x))滿足如下遞推關(guān)系：

Sn(x)=(p2+q+1)Sn-1(x)+(p2q+q2-p2-

q)Sn-2(x)-(q3+q2+p2q)Sn-3(x)+

q3Sn-4(x)，(n≥4).

證明序列(Sn(x))的生成函數(shù)為：

由此可得：

u1+h(x)t+[pu2+h(x)-(p2+q)u1+h(x)]t2=

對(duì)等式兩邊取tn的系數(shù)，即可得證。

引理2及定理2推廣了文獻(xiàn)[7]中3.3節(jié)的結(jié)論。利用定理2及初始條件

S0(x)=0，S1(x)=u1+h(x)，

S2(x)=u1+h(x)+pu2+h(x)，

S3(x)=u1+h(x)+pu2+h(x)+(p2+q)u3+h(x)，

可以遞推地計(jì)算：

定理3設(shè)k≥l≥1, h≥i，則(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式序列(un(x))滿足如下恒等式：

其中：

A(x)=vk+l+h+i(x)-v(n+1)(k+l)+h+i(x)-

(-q)k+lvh+i(x)+(-q)k+lvn(k+l)+h+i(x)，

B(x)=(-q)(n+1)l+iv(n+1)(k-l)+h-i(x)-

(-q)l+i(x)vk+h-l-i(x)+(-q)k+l+ivh-i(x)-

(-q)(n+1)l+k+ivn(k-l)+h-i(x).

證明將Binet公式代入和式并整理得：

利用等比數(shù)列求和公式，并將所得結(jié)果中的第1項(xiàng)和第4項(xiàng)通分合并，第2項(xiàng)和第3項(xiàng)通分合并，利用αβ=-q以及vn(x)=αn+βn，即可得到所求結(jié)果。

推論1當(dāng)k=l=1，i=0時(shí)，有：

(4)

推論2當(dāng)k=l≥1，h=i=0時(shí)，有：

(5)

對(duì)式(4)和(5)中的k、l、h、i取不同的值，還能得到一些特殊形式的乘積之和的封閉形式。

2　一些應(yīng)用

下面將兩個(gè)(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式的乘積之和的結(jié)果應(yīng)用到經(jīng)典的Fibonacci多項(xiàng)式及Chebyshev多項(xiàng)式上。

例1當(dāng)p(x)=x, q(x)=1時(shí)，un(x)為Fibonacci多項(xiàng)式Fn(x), vn(x)為L(zhǎng)ucas多項(xiàng)式Ln(x)，這時(shí)有：

進(jìn)一步，當(dāng)h=0，1，2時(shí)，有：

當(dāng)k=2，3時(shí)，有：

例2當(dāng)p(x)=2x, q(x)=-1時(shí)，un(x)為第二類Chebyshev多項(xiàng)式Un-1(x), vn(x)為第一類Chebyshev多項(xiàng)式2Tn(x)，這時(shí)有：

于是，當(dāng)h=0，1，2時(shí)，有：

當(dāng)k=2，3時(shí)，有：

3　結(jié)　論

本文研究了兩個(gè)(p,q)型Fibonacci多項(xiàng)式的乘積與乘積之和的遞推關(guān)系及表達(dá)式，并將其應(yīng)用到經(jīng)典的Fibonacci多項(xiàng)式以及Chebyshev多項(xiàng)式上。用類似的方法也可以得到其他特殊的多項(xiàng)式滿足的遞推關(guān)系與恒等式。

[1] LEE G Y, ASCI M. Some properties of the(p,q)-Fibonacci and(p,q)-Lucas polynomials[J/OL]. Journal of Applied Mathematics, 2012: 1-18. http://dx.doi.org/10.1155/2012/264842.

[2] WANG J Z. Some new results for the(p,q)-Fibonacci and Lucas polynomials[J]. Andvances in Difference Equations. 2014, 64: 1-15.

[3] HE T X, SHIUE P J S. On sequences of numbers and polynomials defined by linear recurrence relations of order 2[J/OL]. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2009: 1-12. http://dx.doi.org/10. 1155//2009/709386.

[4] CHEON G S, KIM H, SHAPIRO L W. A generalization of Lucas polynomial sequence[J]. Discrete Applied Mathematics, 2009, 157(5): 920-927.

[5] MA S M. Identities involving generalized Fibonacci-type polynomials[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217(22): 9297-9301.

[6] NALLI A, HAUKKANEN P. On generalized Fibonacci and Lucas polynomials[J]. Chaos Solitons Fractals, 2009, 42(5): 3179-3186.

[7] FALCON S. On the sequences of products of twok-Fibonacci numbers[J]. American Review of Mathematics and Statistics, 2014, 1(2): 111-120.

(責(zé)任編輯： 康鋒)

Studies on Products of Two (p,q)-Fibonacci Polynomials

WANGHui,WANGWeiping

(School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

By combinatorial method, the identities, recurrence relation and generating function of the products of two (p,q)-Fibonacci polynomials are studied, and the recurrence relation and explicit expressions of the sums of such products are established. These results generalize those of Faclon. Moreover, many new combinatorial identities are established by applying the general results on the sequence of (p,q)-Fibonacci polynomials to the classical Fibonacci polynomials and Chebyshev polynomials.

(p,q)-Fibonacci polynomials; (p,q)-Lucas polynomials; generating functions; recurrence relations; combinatorial identities

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.01.025

2015-04-03

浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZY13A010016)

王慧(1988-)，女，湖北黃梅人，碩士研究生，主要從事組合數(shù)學(xué)方面的研究。

王偉平，E-mail：wpingwang@zstu.edu.cn

O157.1

A

1673- 3851 (2016) 01- 0145- 05 引用頁碼： 010804