曾清娟，馬亞萍，路秋英

(浙江理工大學數(shù)學系，杭州 310018)

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時滯群體競技體育模型的穩(wěn)定性與Hopf分支研究

曾清娟，馬亞萍，路秋英

(浙江理工大學數(shù)學系，杭州 310018)

提出了一種帶有時間滯后作用的群體競技體育模型，通過時滯微分方程理論及Hopf分支理論，研究時滯因素對群體競技體育活動的影響。首先計算時滯微分方程的線性化系統(tǒng)，得到線性化系統(tǒng)特征方程根的分布情況，進而得到平衡點穩(wěn)定性發(fā)生改變的條件及局部Hopf分支的存在性。利用Matlab軟件在時滯的臨界點附近對系統(tǒng)正平衡點的穩(wěn)定性及Hopf分支產(chǎn)生的周期振動進行了數(shù)值模擬，驗證了理論結果的可靠性。

平衡點；穩(wěn)定性；時滯；Hopf分支；數(shù)值模擬

0　引　言

微分方程建模最早可以追溯到Multhus的早期人口模型、Lotka和Volterra的捕食者-食餌模型。這些模型一度被用來更好地發(fā)現(xiàn)和理解各種生物現(xiàn)象和社會問題。然而，過于簡單的模型很難準確反映觀察到的各種復雜動力學行為，如周期解的存在性就是其中之一，為此需要不斷對模型進行改進。一種方法是不斷提高方程的維數(shù)，然而代價是成倍增加的參數(shù)，很難通過實際數(shù)據(jù)給出估計；另外一種辦法是考慮時間的滯后效應。時滯效應普遍存在于現(xiàn)實問題中，時滯可以對應疾病的潛伏期、輸送延遲、反應延遲等。而且簡單的時滯微分系統(tǒng)往往包含了豐富的復雜動力學行為。例如，宋永利等[1]研究了時間滯后效應的基因調(diào)控模型，王新秀[2]對具有時滯的Volterra捕食系統(tǒng)進行了Hopf分支研究，王志麗等[3]討論了一類具有時滯和收獲的捕食模型的穩(wěn)定性和Hopf分支。盡管時滯微分系統(tǒng)的研究具有重要意義，然而直到20世紀60年代，這方面的研究主要集中在穩(wěn)定性、有界性、漸進性及平衡態(tài)、周期解及概周期解的震蕩性方面。與普通常微分系統(tǒng)相比，分支理論方面的研究相對較少。Hale[4]最早研究時滯微分系統(tǒng)的局部分支，他研究了時滯微分系統(tǒng)中心流型的存在性及Hopf分支定理。然而Hale的理論難以應用于實際問題。對于有限時滯的時滯微分系統(tǒng)，我們期望根據(jù)線性系統(tǒng)的特征根的情況來了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支情況。由于線性系統(tǒng)的特征方程是關于時滯的函數(shù)，因此特征根也是時滯的函數(shù)。而且隨著時滯的改變，奇點的穩(wěn)定性會隨之發(fā)生改變，從而在一些臨界值附近會產(chǎn)生Hopf分支。此外，對部分時滯微分方程，隨著時滯變化奇點出現(xiàn)從穩(wěn)定到不穩(wěn)定、再到穩(wěn)定這種交替出現(xiàn)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象就是所謂的穩(wěn)定開關現(xiàn)象[5]。對于時滯個數(shù)為1的情況，Cooke等[6]最早進行了研究。本文亦針對時滯個數(shù)為1的群體競技體育活動模型進行研究。

楊水龍[7]提出了一種群體競技體育活動的常微分方程模型。這里的競技活動是指參加者必須具有一定的技能而非指專業(yè)競技體育活動。該文將總的人類群體分為三類：Ⅰ.無參加體育活動的技能，但可以發(fā)展為參加活動的人，用p1(t)表示；Ⅱ.有參加體育活動的技能且本人愿意參加體育活動，用p2(t)表示；Ⅲ類有參加體育活動的技能而不愿參加者，用p3(t)表示。同時，將三類人總數(shù)設為1,則得到群體競技體育活動的常微分方程模型如下：

其中，α表示第Ⅰ類個體在第Ⅱ類個體影響下轉化為第Ⅱ類個體的轉化率；β表示第Ⅱ個體轉化為第Ⅲ類個體的轉化率，這里假定第Ⅲ類個體沒有影響作用；a,b分別表示出生率和死亡率；ri(i=1,2)分別表示第Ⅰ、Ⅱ類個體的遷移率。

由于群體競技體育要求參加者具有一定的競技技能，因此對于無體育技能而又想發(fā)展成為可以參加活動的人，必須接受一定的培訓和訓練；培訓和訓練導致無參加體育活動技能的個體轉化為具有參加體育競技的個體必然需要一定的時間。上述模型[7]沒有考慮時間滯后效應，本文對此進行改進，提出了一種具有時間滯后效應的時滯群體競技體育活動模型。本文通過時滯微分方程理論和Hopf分支理論，討論了平衡點的穩(wěn)定性和由平衡點“失穩(wěn)”引發(fā)Hopf分支產(chǎn)生的周期解的存在性，最后借助Matlab軟件對理論結果進行了模擬和驗證。

1　改進后的模型

考慮到參加體育活動技能的個體轉化為具有參加體育競技的個體需要一定的時間，設為τ，則改進后的時滯微分方程模型可以表示為：

(1)

其中：x,y,z分別表示Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類個體在時刻t的總數(shù)；α表示第Ⅰ類個體在第Ⅱ類個體影響下轉化為第Ⅱ類個體的轉化率；β表示第Ⅱ個體轉化為第Ⅲ類個體的轉化率，這里假定第Ⅲ類個體沒有影響作用；a,b分別表示出生率和死亡率；ri(i=1,2,3)分別表示第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ類個體的遷移率。由于三類群體總人數(shù)之和保持不變，所以只須考慮上述由Ⅰ、Ⅱ類個體構成的二維系統(tǒng)。

2　平衡點的穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性

首先計算系統(tǒng)的平衡點。

2.1邊界平衡點E0的漸近穩(wěn)定性

H1：b-r1>0，

則邊界平衡點為非負平衡點。那么系統(tǒng)(1)在平衡點E0(x0,0)處的線性化系統(tǒng)為：

(2)

(3)

(λ-m1)(λ-m2-m3e-λτ)=0

(4)

根據(jù)假設H1，顯然λ=m1=r1-b總是方程(4)的負根，所以接下來研究特征方程(4)的第二個因子λ-m2-m3e-λτ。

令

G(λ)=λ-m2-m3e-λτ

(5)

如果m3<-m2成立，當τ=0時，即沒有時滯影響，可參考文獻[7]，可知系統(tǒng)在邊界平衡點是漸近穩(wěn)定的。下面考慮τ>0的情況。

引理1當τ>0 時，如果m3<-m2成立，特征方程(4)沒有純虛根。

證明：假設λ=iω(ω>0) 為特征方程(4)的一個純虛根，將λ=iω 代入方程(4)，并分離實部虛部，得到如下方程：

(6)

平方相加，得到

矛盾，即對任意τ≥0，方程(4)沒有純虛根，也就是說特征方程的零點不會出現(xiàn)在虛軸或者穿過虛軸。

綜合以上的分析，當系統(tǒng)滿足假設H1時，對于任意τ≥0，可得到的結論如下：

a)如果m3>-m2，E0(x0,0)不穩(wěn)定；

b)如果m3<-m2，E0(x0,0)局部漸近穩(wěn)定。

2.2正平衡點E*(x*,y*) 的漸近穩(wěn)定性

引理2 假設H2：b-r2+β>0,aα+(r1-b)(b-r2+β)>0成立，則系統(tǒng)(1)顯然有唯一的正平衡點E*(x*,y*)。

系統(tǒng)(1)在正平衡點E*(x*,y*) 處的線性化系統(tǒng)為：

根據(jù)上式，可得到在正平衡點E*(x*,y*)的線性化系統(tǒng)為：

(7)

系統(tǒng)(7)對應的特征方程整理可得：

λ2+(p0λ+p1)e-λτ+q0λ+q1=0

(8)

其中：p0=-αx*，q0=(b-r1+αy*)-(r2-b-β)，p1=αx*(r1-b)，q1=(r1-b-αy*)(r2-b-β)。

引理3假設條件H2成立，并且有

H3:q1-p1=aα-(r1-b)(b-r2+β)<0，

則當τ從零增加時，存在τ0使得當τ∈[0,τ0)時，正平衡點E*局部漸近穩(wěn)定；當τ>τ0時E*不穩(wěn)定；而當τ=τj時，系統(tǒng)(1)在正平衡點E*附近產(chǎn)生Hopf分支。

證明：首先證明特征方程在正平衡點E*處存在一對純虛根±iω0,ω0>0。

當τ=0 時，式(8)整理可得：

λ2+(p0+q0)λ+(p1+q1)=0

(9)

對于上述無時滯條件下的討論可參考文獻[7]，得知當τ=0時，正平衡點E*漸近穩(wěn)定。下面討論τ>0的情況。

當τ>0時，如果λ=iω(ω>0) 為特征方程(8)的純虛根,代入并分離實部虛部得：

(10)

由方程組(10)消去三角函數(shù)，可以得到：

(11)

其中：

(12)

若又有

H3:q1-p1=aα-(r1-b)(b-r2+β)<0

成立，同時由(12)知方程(11)存在唯一正實根ω0，則當τ=τj,j=0,1,2,… 時方程(8)存在一對互為共軛的純虛根±iω0。

根據(jù)方程組(10)可得到：

(13)

結合(10)、(11)、(12)，定義

(14)

那么，(τ,λ)=(τj,iω0)滿足方程(8)。

定義

λ(τ)=α(τ)+iω(τ)

(15)

為特征方程(8)的一般形式的根，且有：

α(τj)=0,ω(τj)=ω0。

(16)

因此，

三是嚴守紀律，守住底線。要加強政治紀律、工作紀律，尤其是中層以上干部，一定要有底線意識，要合法合規(guī)做事，牢牢守住法律這根紅線，講政治、守規(guī)矩、做表率，杜絕任何違規(guī)違紀現(xiàn)象。要認識到位，執(zhí)行力到位，用制度管事，推動各項工作落地見效。要堅持安全發(fā)展理念，堅守安全紅線，筑牢發(fā)展底線，落實責任，強化措施，務求實效，為企業(yè)發(fā)展提供強有力的安全保障。

其中：M=p0cosωτ，N=2ω-p0sinωτ，X=-p0ω2cosωτ+p1ωsinωτ，Y=p0ω2sinωτ+p1ωcosωτ.

根據(jù)(13)式可推導得下式成立：

從而證明了橫截性條件成立。

因此，Hopf分支在ω=ω0，τ=τj處發(fā)生，證畢。

2.3系統(tǒng)的Hopf分支

綜上所述，關于時滯，系統(tǒng)在τ=τj發(fā)生穩(wěn)定性改變。從而根據(jù)Hopf分支理論得到該時滯群體競技體育活動模型(1)在其正平衡點E*(x*,y*)處發(fā)生Hopf分支。

定理1設系統(tǒng)(1)滿足條件H2、H3，且ω0、τj(j=0，1,2……)如(13)、(14)所定義的，則：

b) 時滯τ=τj,j=0,1,2,…是系統(tǒng)(1)在正平衡點E*處的Hopf分支值。

3　數(shù)值模擬

選取一組參數(shù)如下：

a=0.012,α=0.38,r1-b=0.21,

r2-b-β=-0.126.

則根據(jù)前面的分析及公式，經(jīng)計算得到

p0=-0.1260,q0=0.1622,

p1=0.0265,q1=0.0046.

E*(x*,y*)=(0.3316,0.6479)，

ω2=0.1594;ω=0.0254，

τ0=1.5222.

通過Matlab軟件繪圖，對于系統(tǒng)(1)，得到：當時滯τ=1.3<τ0時的數(shù)值模擬結果，得到系統(tǒng)的數(shù)值解的波形圖和平面相圖，見圖1和圖2；當時滯τ=1.56>τ0時的數(shù)值模擬結果，同上，見圖3和圖4。

圖1　Ⅰ類和Ⅱ類人群占總人數(shù)的百分比關于時間的波形圖注：其中初值取(0.1,0.6)，τ=1.3<τ0=1.5222。

圖2?、耦惡廷蝾惾巳旱钠矫嫦鄨D注：其中初值取(0.1,0.6)，τ=1.3<τ0=1.5222。

圖3?、耦惡廷蝾惾巳赫伎側藬?shù)的百分比關于時間的波形圖注：其中初值取(0.1,0.6)，τ=1.56>τ0=1.5222。

圖4　Ⅰ類和Ⅱ類人群人數(shù)的平面相圖注：其中初值取(0.1,0.6)，τ=1.56>τ0=1.5222。

通過Matlab數(shù)值模擬，可以清楚看出正平衡的穩(wěn)定性隨著時滯的改變發(fā)生了變化。取初始值為(x0,y0)=(1,1)，當τ=1.3<τ0，系統(tǒng)(1)的正平衡點E*局部漸近穩(wěn)定(圖1和圖2)；當 τ=1.56>τ0時，系統(tǒng)(1)的正平衡點E*不穩(wěn)定(見圖3和圖4)；當τ=τ0時，系統(tǒng)(1)在正平衡點E*附近存在Hopf分支周期解。因此，對時滯群體競技體育模型，本文得到無參加體育活動技能但可發(fā)展為參加活動的人群與具有參加體育活動技能且本人愿意參加體育活動的人群之間存在周期性的變化。這與理論的分析結果一致。

4　總　結

本文研究了一類時滯群體競技體育活動模型。首先，通過理論分析可以得到時滯群體競技體育活動模型對時滯τ存在穩(wěn)定性開關。當時滯τ從0不斷增加的過程中，存在某些臨界值點，在這些臨界點處系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性總是由穩(wěn)定變到不穩(wěn)定，即τ從零增加每通過臨界值時，從正平衡點分支出周期解。其次，通過Matlab軟件對時滯群體競技體育活動模型進行了數(shù)值模擬，通過選取一組參數(shù)，驗證了上述模型的理論結果。模型分析和數(shù)值模擬結果表明，對具有時滯作用的群體競技體育模型，無參加體育活動技能但可發(fā)展為參加活動的人群Ⅰ和具有

參加體育活動技能且本人愿意參加體育活動的人群Ⅱ之間存在周期性的動態(tài)平衡。

[1] 宋永利, 葉子. 時滯基因調(diào)控模型的穩(wěn)定性與 Hopf 分支[J]. 同濟大學學報: 自然科學版, 2013, 41(4): 630-636.

[2] 王新秀. 具有時滯的Volterra捕食系統(tǒng)的Hopf分支分析[D]. 蘭州: 西北大學, 2010：16-32.

[3] 王志麗, 徐瑞. 一類具有時滯和收獲的捕食模型的穩(wěn)定性和Hopf分支[J]. 北華大學學報: 自然科學版, 2014, 15(1): 1-6.

[4] HALE J . Functional differential equations[M]. Berlin: Springer Verlag , 1977: 9-22.[5] Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics[M]. Boston: Academic Press, 1993: 58-62.

[6] COOKE K L, GROSSMAN Z. Discrete delay, distributed delay and stability switches[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1982, 86(2): 592-627.

[7] 楊水龍. 群體競技體育活動常微分方程模型的穩(wěn)定性與Hopf 分支[J]. 山西師范大學學報: 自然科學版, 2000, 14(4): 12-15.

(責任編輯： 康鋒)

Stability and Hopf Bifurcation of Time-delay Group Competitive Sports Model

ZENGQingjuan,MAYaping,LUQiuying

(School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

This paper proposes group competitive sports model with time delay function. The influence of time delay on group competitive sports activities is studied through delay differential equation and Hopf bifurcation theory. Firstly, linearization system of delay differential equation is calculated to gain distribution of the corresponding characteristic equation root. Further, the conditions for the change in equilibrium point stability and the existence of Hopf bifurcation are obtained. Besides, Matlab software is applied to carry out numerical simulation of equilibrium point stability near the critical point of time delay and periodic vibration caused by Hopf bifurcation. The simulation result verifies the reliability of theoretical results.

equilibrium point; stability; time delay; Hopf bifurcation; numerical simulation

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.01.026

2015-01-08

國家自然科學基金項目(11101370, 11211130093)，浙江理工大學“521人才培養(yǎng)計劃” (11430132521304)

曾清娟(1990-)，女，湖南茶陵人，碩士研究生，主要從事微分方程與定性理論方面的研究。

路秋英，E-mail：qiuyinglu@163.com

O175.12

A

1673- 3851 (2016) 01- 0154- 05 引用頁碼： 010806