曾文憲，方　興，劉經(jīng)南,2，姚宜斌

1. 武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079； 2. 武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079

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通用EIV平差模型及其加權(quán)整體最小二乘估計

曾文憲1，方興1，劉經(jīng)南1,2，姚宜斌1

1. 武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079； 2. 武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079

Foundationsupport：TheNationalNaturalScienceFoundationofChina(Nos. 41404005；41474006；41231174；41274022 );TheFundamentalResearchFoundsfortheCentralUniversities(No. 2042016kf0175)

以平差基本理論為基礎(chǔ)，提出了EIV(errors-in-variables)平差模型的通用形式，涵蓋了間接平差、條件平差、附有參數(shù)的條件平差及附有限制條件的間接平差等基本EIV模型形式?；谡w最小二乘估計準(zhǔn)則，研究了通用EIV模型的加權(quán)整體最小二乘算法，并推導(dǎo)了估計結(jié)果的近似精度公式。通用EIV模型及其整體最小二乘算法是對EIV模型估計理論的進(jìn)一步完善，統(tǒng)一的整體最小二乘算法有利于軟件的編程實(shí)現(xiàn)，有助于推動EIV模型估計理論的應(yīng)用。

通用EIV平差模型；加權(quán)整體最小二乘算法；估計精度;非線性最優(yōu)化算法

經(jīng)典平差模型的通用形式涵括了條件平差、附有參數(shù)的條件平差、間接平差及附有限制條件的間接平差等基本平差模型[1]。假定觀測向量含隨機(jī)誤差，參數(shù)的系數(shù)矩陣為固定量，采用最小二乘估計(leastsquares，LS)準(zhǔn)則可求得上述4類基本平差模型以及通用平差模型的最優(yōu)無偏解。最小二乘估計理論是數(shù)據(jù)處理的基本方法之一，在大地測量等眾多科學(xué)研究和工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

隨著現(xiàn)代各專業(yè)領(lǐng)域?qū)δＰ秃蛿?shù)據(jù)精度要求的不斷提高，當(dāng)平差模型參數(shù)的系數(shù)矩陣包含隨機(jī)誤差(errors-in-variables，EIV)時，最小二乘估計有偏[2]。文獻(xiàn)[3]首次將最小二乘估計準(zhǔn)則擴(kuò)展至整體最小二乘估計(totalleastsquares，TLS)，即同時顧及所有觀測數(shù)據(jù)(觀測向量和系數(shù)矩陣)的隨機(jī)誤差。文獻(xiàn)[2]證明了EIV模型的TLS解具有漸進(jìn)無偏性，理論上要優(yōu)于LS解。假定權(quán)矩陣為對角陣的情況下，文獻(xiàn)[4]通過線性化首次推導(dǎo)了統(tǒng)計意義上的加權(quán)整體最小二乘算法(weightedtotalleastsquares，WTLS)，文獻(xiàn)[5]采用拉格朗日乘數(shù)法導(dǎo)出了WTLS解。之后，眾多文獻(xiàn)研究了系數(shù)矩陣與觀測向量在特殊權(quán)矩陣情況下的WTLS算法[6-9]，文獻(xiàn)[10—12]提出了僅限定系數(shù)矩陣和觀測向量不相關(guān)情況下的WTLS算法，文獻(xiàn)[13—15]將WTLS算法推廣到任意權(quán)矩陣的一般情況。通過將模型擴(kuò)展到附有限制條件的EIV模型，文獻(xiàn)[16—22]研究了附有等式和不等式約束的WTLS算法。文獻(xiàn)[23]在假定觀測向量和系數(shù)矩陣誤差不相關(guān)的情況下研究了EIV條件平差模型的WTLS算法。

到目前為止，WTLS算法主要基于EIV間接平差模型或者附有限制條件的間接平差模型，即參數(shù)的系數(shù)矩陣隨機(jī)，觀測向量的系數(shù)矩陣為單位陣。盡管間接平差模型是最常用的平差模型，但并非通用的平差模型形式，如觀測向量的系數(shù)矩陣可能包含隨機(jī)誤差，因此，從平差模型理論而言，類似于經(jīng)典平差模型發(fā)展脈絡(luò)，EIV模型形式尚有待進(jìn)一步完善。從應(yīng)用上而言，某些特定數(shù)據(jù)在一定條件下或許更適宜于表示為條件平差或者附有參數(shù)的條件平差模型等形式，需要擴(kuò)展相應(yīng)的模型形式供選擇和比較?；谏鲜隼碚摵蛻?yīng)用兩方面的意義，本文提出了EIV平差模型的通用形式，包括觀測向量的系數(shù)矩陣和參數(shù)的系數(shù)矩陣隨機(jī)或者非隨機(jī)等各類情況，在此基礎(chǔ)上，采用拉格朗日乘數(shù)法推導(dǎo)了通用EIV平差模型的統(tǒng)一WTLS算法及其近似精度估計公式。通用EIV平差模型的WTLS算法適用于任意權(quán)矩陣，涵括了條件平差、附有參數(shù)的條件平差、間接平差以及附有限制條件的間接平差等各類模型形式，統(tǒng)一的WTLS算法有利于具體工程的編程實(shí)現(xiàn)。

1　通用EIV平差模型形式

1.1經(jīng)典平差模型的通用形式及其最小二乘解

經(jīng)典平差函數(shù)模型的通用形式為[1]

B(y+vy)+Ax+w=0

(1)

式中，y和vy表示n×1的觀測向量和改正數(shù)向量；B為f×n觀測向量系數(shù)矩陣；x為u×1參數(shù)向量；A為f×u的參數(shù)系數(shù)矩陣；w為f×1常數(shù)向量；B和A均為固定矩陣。

按照經(jīng)典平差理論，模型(1)涵括了條件平差、附有參數(shù)的條件平差、間接平差和附有限制條件的間接平差模型等4種基本函數(shù)模型形式，參數(shù)的最小二乘估計及其精度為[1]

1.2通用EIV平差模型

若把經(jīng)典通用平差模型(1)中觀測向量的系數(shù)矩陣B和參數(shù)的系數(shù)矩陣A由固定矩陣推廣到隨機(jī)矩陣，從而經(jīng)典平差模型擴(kuò)展為通用EIV平差模型

(B+VB)(y+vy)+(A+VA)x+w=0

(2)

式中，y和vy表示n×1的觀測向量及其改正數(shù)向量；B和VB表示f×n的觀測向量系數(shù)矩陣及其改正數(shù)矩陣；x為u×1參數(shù)向量；A和VA表示f×u的參數(shù)系數(shù)矩陣及其改正數(shù)矩陣。B、y和A為含隨機(jī)誤差的觀測數(shù)據(jù)，模型(2)的隨機(jī)模型可表示為

通用EIV模型(2)涵括了以下4種基本EIV平差模型：

(1) 當(dāng)模型不含參數(shù)x，僅由觀測值y的幾何關(guān)系構(gòu)成條件方程，稱為EIV條件平差模型

(B+VB)(y+vy)+w=0

(3)

(2) 當(dāng)模型中含有部分參數(shù)時，觀測值和參數(shù)共同構(gòu)成條件方程，稱為EIV附有參數(shù)的條件平差模型，模型形式與式(2)等同。

(3) 當(dāng)y能夠表示為獨(dú)立參數(shù)x的函數(shù)，即表示成觀測方程的形式，稱為EIV間接平差模型

y+vy=(A+VA)x+w

(4)

(4) 當(dāng)參數(shù)x間存在函數(shù)關(guān)系時，稱為EIV附有限制條件的間接平差模型

Bc(y+vy)+(Ac+VAc)x+wc=0

(5)

2　通用EIV平差模型的加權(quán)整體最小二乘估計

2.1WTLS算法

整體最小二乘準(zhǔn)則本質(zhì)上是最小二乘準(zhǔn)則的擴(kuò)展，要求系數(shù)矩陣和觀測向量中的全部觀測數(shù)據(jù)L的殘差平方和最小，該準(zhǔn)則下模型(2)的求解轉(zhuǎn)化為以下最優(yōu)化估計問題

相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

Φ(v,λ,x)=vTPv+2λT(By+Bvy+VBy+VBvy+Ax+VAx+w)=

vTPv+2λT(By+Ax+Cv+w)

將上式分別對待估計量求一階偏導(dǎo)并令其等于0

(6)

(7)

(8)

式中，變量上加尖號表示模型的估計量。

由式(7)得

(9)

式(9)代入式(8)

(10)

式(10)代入式(9)

(11)

式(10)代入式(6)得到WTLS參數(shù)解

(12)

(13)

2.2WTLS估計結(jié)果的精度評定

由于EIV模型的非線性特點(diǎn)，到目前為止，WTLS解的統(tǒng)計特性研究成果非常有限[24]。文獻(xiàn)[6,25—26]推導(dǎo)了等權(quán)情況下的精度近似公式。文獻(xiàn)[10,27]通過將EIV模型轉(zhuǎn)化為經(jīng)典平差模型研究了WTLS解的一階近似精度。本文對通用EIV模型進(jìn)行線性化，將其轉(zhuǎn)換為線性高斯赫爾默特模型形式，推導(dǎo)了一階近似精度公式。

參數(shù)或隨機(jī)量符號上加“～”表示真值，模型(2)可寫為如下形式

則模型(2)的線性化形式可表示為

A0Δx+Clvl+wl=0

(14)

(15)

(16)

(17)

3　實(shí)例分析

本節(jié)以直線擬合模型為例說明和驗(yàn)證論文提出的模型和算法。盡管對于直線擬合而言，采用EIV間接模型更為簡單直觀，但隨著EIV模型在現(xiàn)代測繪領(lǐng)域應(yīng)用的深入，某些模型可能更適用于其他EIV模型形式，因此，為了說明通用EIV模型及其WTLS算法的估計過程，實(shí)例將直線表示為通用EIV模型(2)的形式，即附有參數(shù)的條件平差模型形式進(jìn)行估計。

若設(shè)直線的截距和斜率為待估參數(shù)，直線的EIV間接平差模型形式(4)為

(18)

表1　直線數(shù)據(jù)點(diǎn)的觀測值

若僅設(shè)斜率為參數(shù)x，直線的EIV間接形式(18)轉(zhuǎn)化為通用EIV模型(2)的形式，其中多余觀測數(shù)為2，參數(shù)個數(shù)為1，則3個線性無關(guān)的條件方程為

(19)

式中，第1式描述了過1、3兩點(diǎn)的直線斜率等于過1、2兩點(diǎn)直線的斜率，第2、3式描述了根據(jù)第1點(diǎn)計算的截距分別等于第2、第4點(diǎn)計算的截距，上式寫成矩陣形式為

(20)

表2　通用EIV平差模型估計結(jié)果

分析EIV模型(18)的估計結(jié)果，可得到如下結(jié)論：

(1) 表2計算結(jié)果表明，通用EIV模型的WTLS算法與目前EIV間接模型的WTLS常規(guī)算法結(jié)果相等，證明了本文算法的正確性。 此外，通用WTLS估計精度公式與間接WTLS精度公式均為估計參數(shù)的一階近似精度公式，兩者僅模型形式不同，因此兩種算法參數(shù)的估計精度相等。

(2) 如果將式(19)第一個條件方程改為第1點(diǎn)計算的截距等于第3點(diǎn)的截距，此時，條件方程簡化為僅A為隨機(jī)矩陣而B為固定矩陣的EIV附有參數(shù)的條件平差模型：B(y+vy)+(A+VA)x+w=0。

(3) 若不設(shè)任何參數(shù)，利用直線方程的兩點(diǎn)式可列出直線擬合的EIV條件平差模型：(B+VB)(y+vy)+w=0。

(4) 如果某個觀測點(diǎn)i視為無誤差的已知點(diǎn)，可列出EIV附有限制條件的間接平差模型

從以上實(shí)例分析可以看到，對于某個具體EIV平差問題，可以根據(jù)需要選擇適宜的平差模型形式求解。通用EIV模型涵括了EIV的4類基本平差模型形式，本文提出的WTLS算法是4種模型的統(tǒng)一解。

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(責(zé)任編輯：宋啟凡)

修回日期： 2016-06-10

E-mail：wxzeng@sgg.whu.edu.cn

Correspondingauthor：FANGXing

E-mail：xfang@sgg.whu.edu.cn

WeightedTotalLeastSquaresofUniversalEIVAdjustmentModel

ZENGWenxian1,FANGXing1,LIUJingnan1,2,YAOYibin1

1.SchoolofGeodesyandGeomatics,WuhanUniversity,Wuhan430079,China; 2.ResearchCenterofGNSS,WuhanUniversity,Wuhan430079,China

Thispaperproposestheuniversalerrors-in-variables(EIV)adjustmentmodelbasedonthefundamentaladjustmenttheory,whichcoverstheparametricadjustmentmodel,conditionaladjustmentmodel，conditionaladjustmentmodelwithparametersandparametricadjustmentmodelwithconstrains.Applyingtotalleastsquares(TLS)principle,wededucetheweightedTLS(WTLS)algorithmandtheapproximatedprecisionoftheEIVmodel.TheuniversalEIVadjustmentmodelanditsestimatorofWTLScontributetotheintegrityoftheoryofEIVmodelestimation.TheproposeduniformWTLSalgorithmisappropriateforprogramminginsoftware,whichcancontributetothegeodeticapplicationofthetheoryoftheEIVmodelestimation.

universalEIVadjustmentmodel;weightedtotalleastsquares;precision;nonlinearoptimization

ZENGWenxian(1975—),female,PhD,majorsinthetheoryandmethodofsurveyingdataprocessing.

P207

A

1001-1595(2016)08-0890-05

國家自然科學(xué)基金(41404005；41474006；41231174；41274022)；中央高?；究蒲谢?2042016kf0175)

2015-03-25

曾文憲(1975—)，女，博士，主要從事測量數(shù)據(jù)處理理論與應(yīng)用的研究。

方興

引文格式：曾文憲，方興，劉經(jīng)南，等.通用EIV平差模型及其加權(quán)整體最小二乘估計[J].測繪學(xué)報，2016,45(8)：890-894.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150156.

ZENGWenxian,FANGXing,LIUJingnan,etal.WeightedTotalLeastSquaresofUniversalEIVAdjustmentModel[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica,2016,45(8):890-894.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150156.