張子振，緱超博，張振輝

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽 蚌埠 233030)

?

一類具有非線性發(fā)生率的時(shí)滯傳染病模型Hopf分支*

張子振，緱超博，張振輝

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽 蚌埠 233030)

以恢復(fù)個(gè)體臨時(shí)免疫期時(shí)滯為分支參數(shù)，研究了一類具有階段結(jié)構(gòu)和非線性發(fā)生率的時(shí)滯SIRS傳染病模型的局部Hopf分支.首先計(jì)算得到模型的有病毒平衡點(diǎn)，然后通過(guò)分析模型相應(yīng)特征方程根的分布， 得到模型有病毒平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf分支的時(shí)滯臨界點(diǎn)τ0.研究表明，當(dāng)時(shí)滯的值低于臨界點(diǎn)τ0時(shí)，有病毒平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.而一旦時(shí)滯的值超越臨界點(diǎn)，模型的有病毒平衡點(diǎn)將失去穩(wěn)定性并在有病毒平衡點(diǎn)附近產(chǎn)生一簇分支周期解.最后，利用仿真示例對(duì)理論分析結(jié)果的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證.

SIRS模型；階段結(jié)構(gòu)；時(shí)滯；Hopf分支

引言

數(shù)學(xué)模型已經(jīng)成為分析傳染病傳播、控制機(jī)理的一種重要的工具.近年來(lái)，不少研究學(xué)者利用微分方程描述傳染病傳播模型[1～5].以上文獻(xiàn)都是針對(duì)具有雙線性發(fā)生率的傳染病傳播模型展開(kāi)的研究工作.基于雙線性發(fā)生率建立的傳染病傳播模型，假設(shè)疾病感染人數(shù)是線性增長(zhǎng)的.然而，一位感染者在單位時(shí)間內(nèi)所接觸的群體規(guī)模是有限的.因此，具有非線性發(fā)生率的傳染病傳播模型受到研究學(xué)者的廣泛關(guān)注[6～8].文獻(xiàn)[8]提出了下列具有非線性發(fā)生率和階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯傳染病模型：

(1)

其中，X(t)表示幼年階段人口在t時(shí)刻的密度， S(t)，I(t)和R(t)分別表示成年階段人口中易感者、感染者和恢復(fù)者在t時(shí)刻的密度.A，B，α，β，γ，δ，σ，ε和μ為為模型(1)的參數(shù)，具體含義可以參考文獻(xiàn)[8]. τ為疾病的潛伏期時(shí)滯.文獻(xiàn)[8]以時(shí)滯τ為分支參數(shù)研究了模型(1)的Hopf分支存在性以及分支的性質(zhì).但是現(xiàn)實(shí)世界中，每個(gè)恢復(fù)狀態(tài)的個(gè)體，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的臨時(shí)免疫期之后才能再次成為易感者.基于此，本文考慮如下時(shí)滯傳染病模型：

(2)

其中，τ為恢復(fù)個(gè)體臨時(shí)免疫期時(shí)滯.本文主要研究時(shí)滯τ對(duì)模型(2)局部穩(wěn)定性的影響.

1　有病毒平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性分析

經(jīng)過(guò)計(jì)算可知，當(dāng)Aβσ+βσ(μ+ε+γ)>μ(μ0+σ)(μ+ε+γ)，并且(μ+δ)(μ0+σ)(μ+ε+γ)(μα+β)>Bασ(μ+δ)(μ+ε+γ)+βγδ(μ0+σ)時(shí)，系統(tǒng)(2)存在唯一有病毒平衡點(diǎn)E*(X*,S*,I*,R*)，

其中，

作平移變換u1(t)=X(t)-X*, u2(t)=S(t)-S*, u3(t)=I(t)-I*,u4(t)=R(t)-R*.仍然記u1(t),u2(t),u3(t),u4(t)為 X(t),S(t),I(t)和R(t).

系統(tǒng)(2)在有病毒平衡點(diǎn)E*(X*,S*,I*,R*)處的線性化部分為:

(3)

其中,

a44=-μ, b44=-δ.

于是，系統(tǒng)(3)的特征方程為：

λ4+p3λ3+p2λ2+p1λ+p0+(q3λ3+q2λ2+q1λ+q0)e-λτ=0

(4)

其中，

p0=a33a44(a11a22-a12a21)-a11a23a32a44,

p1=(a12a21-a11a22)(a33+a44)+a23a32(a1+a10)-a9a10(a11+a44)-a33a44(a11+a22),

p2=a11a22+a33a44-a12a21-a23a32+(a11+a22)(a33+a44),

p3=-(a11+a22+a33+a44),

q0=a11a32a43b24-a11a23a32b44-a12a21a33b44,

q1=(a12a21+a23a32-a11a22-a11a33-a22a33)b44-a32a43b24,

q2=a11a22+a33a44-a12a21-a23a32+(a11+a22)(a33+a44),q3=-b44.

當(dāng)τ=0時(shí)，方程(4)變?yōu)?/p>

λ4+p03λ3+p02λ2+p01λ+p00=0.

(5)

其中，p00=p0+q0,p01=p1+q1,p02=p2+q2, p03=p3+q3

根據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)可知，如果條件(H1)即：方程(6)～(9) 成立, 則模型(2)的有病毒平衡點(diǎn)E*(X*,S*,I*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的.

Det1=A03>0

(6)

(7)

(8)

(9)

當(dāng)τ>0時(shí)，令λ=iω*(ω*>0)為特征方程(4)的根，有

(10)

從而，有

(11)

其中，

下面，假設(shè)：(H2):方程(11)至少存在有一個(gè)正根.如果條件(H2)成立，那么方程(11)存在一個(gè)正根 ω*0使得方程(4)存在一對(duì)純虛根±iω*0.進(jìn)而得到

對(duì)方程(4) 的左右兩端分別對(duì)τ進(jìn)行求導(dǎo), 得到

因此，

定理1對(duì)于模型(2)，如果(H1)～(H3)成立，則當(dāng) τ∈[0,τ0)時(shí),模型(2) 的有病毒平衡點(diǎn)E*(X*,S*,I*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的；模型(2)在τ=τ0附近產(chǎn)生Hopf分支，并在有病毒平衡點(diǎn)E*(X*,S*,I*,R*)處產(chǎn)生一簇分支周期解.

2　仿真示例

取A=15,B=1,σ=2.85，μ0=0.03，μ=0.01,α=0.012，β=0.25,δ=0.51,ε=0.2,γ=0.15.得到下列系統(tǒng)：

(12)

系統(tǒng)(12)存在唯一有病毒平衡點(diǎn)E*(6.205 8,2.872 7,82.910 1,23.916 4).進(jìn)而得到ω0=0.884 5,τ0=4.025 7.當(dāng)τ=3.35∈[0,4.025 7)時(shí)，系統(tǒng)(12)是局部漸近穩(wěn)定的，仿真效果如圖2所示.當(dāng)τ=4.275>4.025 7時(shí)，系統(tǒng)(12)在E*(6.205 8,2.872 7,82.910 1,23.916 4)附近產(chǎn)生一簇分支周期解.仿真效果如圖4所示.

圖1: 當(dāng)τ=3.35<τ0=4.025 7時(shí)，系統(tǒng)(12)漸近穩(wěn)定

圖2: 當(dāng)τ=4.275>τ0=4.025 7時(shí)，系統(tǒng)(12)失去穩(wěn)定性

圖3: 當(dāng)τ=3.35<τ0=4.025 7時(shí)，系統(tǒng)(12)漸近穩(wěn)定

圖4: 當(dāng)τ=4.275>τ0=4.025 7時(shí)，系統(tǒng)(12)失去穩(wěn)定性

3　結(jié)論

本文基于文獻(xiàn)[9]中的具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯傳染病模型，并考慮到恢復(fù)個(gè)體對(duì)疾病的臨時(shí)免疫期，提出了另外一種形式的具有階段結(jié)構(gòu)和時(shí)滯SIRS傳染病模型.首先給出模型有病毒平衡點(diǎn)存在的充分性條件，然后以時(shí)滯為分支參數(shù)，利用特征值方法分析得到有病毒平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定和模型產(chǎn)生Hopf分支的時(shí)滯臨界點(diǎn)τ0. 并給出仿真示例對(duì)理論分析結(jié)果的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證.研究表明，當(dāng)時(shí)滯τ∈[0,τ0)時(shí)，便于采取措施對(duì)疾病的傳播進(jìn)行有效控制.當(dāng)τ>τ0時(shí)，此時(shí)將不利于控制疾病在社會(huì)中的傳播.

[1]Wang J.J, Zhang J.Z, Jin Z, Analysis of an SIR model with bilinear incidence rate [J].Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11 (4): 2390-2402.

[2]Zhang T.L, Liu J.L, Teng Z.D. Stability of Hopf bifurcation of a delayed SIRS epidemic model with stage structure [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11(1): 293-306.

[3]Wan H, Cui J. A. Rich dynamics of an epidemic model with saturation recovery [J]. Journal of Applied Mathematics, 2013(9),2013.

[4]Wang L. W, Yang X. F. Global stability of a delayed SIRS model with temporary immunity [J]. Chaos Solitons & Fractals, 2008, 38(1):221-226.

[5]Song M, Ma W. B. Asymptotic properties of a revised SIR epidemic model with density dependent birth rate and time delay [J]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A:Mathematical Analysis, 2006, 13(2):199-208.

[6]Ruan S. G, Wang W. D. Dynamical behavior of an epidemic model with a nonliear incidence rate [J]. Journal of Differential Equations, 2003, 188(1):135-163.

[7]Yoichi E, Eleonora M, Yoshiaki M, et al. Stability analysis of delayed SIR epidemic models with a class of nonlinear incidence rates [J]. Applied Mathematics and Computation, 2012, 218(9): 5327-5336.

[8]陳方方, 洪靈. 一類具有時(shí)滯和非線性發(fā)生率的SIRS傳染病模型穩(wěn)定性與Hopf分岔分析[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào), 2014,12(1): 79-85.

[9]Hassard B. D, KazarinoffN. D, Wan Y. H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge University Press, Cambridge, 1981.

Hopf Bifurcation of a Delayed Epidemic Model with Nonlinear Incidence Rate

ZHANG Zi-zhen, GOU Chao-bo, ZHANG Zhen-hui

(School of Management Science and Engineering, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu Anhui 233030, China)

Local Hopf bifurcation of a delayed epidemic model with nonlinear incidence rate and stage-structure is studied in this paper. The viral equilibrium of the model is obtained and then the critical value of the delay for local stability of the viral equilibrium and existence of local Hopf bifurcation is also obtained by analyzing distribution of roots of the corresponding characteristic equation. It is proved that the viral equilibrium is locally asymptotically stable when the value of the delay is below and it will lose its stability and generate a cluster of branching periodic solutions near a viral equilibrium point when the value of the delay is above. Finally, a numerical example is presented to testify the validity of theoretical results.

SIRS model; stage-structure; delay; Hopf bifurcation

1673-2103(2016)02-0008-05

2015-11-05

2015年度安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2015A144)

張子振(1982-)，男，山東聊城人，講師，博士.研究方向：計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)安全，動(dòng)力系統(tǒng).

O175.12

A