許曉陽

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

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雙液滴撞擊固壁及液膜問題的三維SPH模擬

許曉陽

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

通過表面力張量的梯度離散合理引入表面張力效應(yīng)，并以方形液滴的振蕩問題為例，驗(yàn)證了表面張力模型的有效性?；诠饣Ｗ觿恿W(xué)(SPH)方法，對雙液滴相繼撞擊固壁及液膜問題進(jìn)行了三維數(shù)值模擬，并通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較驗(yàn)證了方法的有效性，分析了液滴間垂直距離對流動過程的影響，精細(xì)地捕捉了液滴產(chǎn)生“皇冠”狀水花并發(fā)生飛濺、不連續(xù)液面的流動過程。數(shù)值結(jié)果表明：SPH方法能夠有效而準(zhǔn)確地描述三維雙液滴撞擊固壁及液膜問題的自由面變化特征，SPH方法對處理自由表面大變形問題具有較好的優(yōu)勢。

光滑粒子動力學(xué)；三維；雙液滴；固壁；液膜

液滴撞擊固壁面及液膜問題在工程中有很多應(yīng)用，例如噴墨打印、燃油霧化和噴涂印刷等。工程應(yīng)用中往往希望得到規(guī)則均勻的薄膜，因此有必要了解多個(gè)液滴撞擊固壁面及液膜現(xiàn)象的內(nèi)在物理機(jī)制[1]。

針對單液滴撞擊固壁面及液膜問題，研究人員已進(jìn)行了很多的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬研究。Wang等[2]實(shí)驗(yàn)研究了單液滴撞擊液膜的飛濺過程，分析了液膜厚度、沖擊速度對流動過程的影響。Josserand等[3]實(shí)驗(yàn)研究了單液滴撞擊液膜的早期現(xiàn)象，并指出飛濺現(xiàn)象會發(fā)生在雷諾數(shù)和韋伯?dāng)?shù)很大的情況下。Xie等[4]使用移動粒子半隱式方法研究了單液滴撞擊液膜的流動過程，結(jié)果表明液滴飛濺現(xiàn)象受液膜厚度和沖擊速度的影響較大。Yarin[5]使用邊界積分方法數(shù)值模擬了單液滴撞擊液膜的軸對稱流動現(xiàn)象，并表明飛濺現(xiàn)象的產(chǎn)生與流體粘度、表面張力和密度等因素相關(guān)。然而，迄今為止，多個(gè)液滴撞擊固壁面及液膜問題的研究還很少見文獻(xiàn)報(bào)道。Fujimoto等[6]對兩個(gè)液滴相繼撞擊固壁面問題進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)觀測研究。許曉陽等[7-8]采用光滑粒子動力學(xué)(Smoothed Particle Hydrodynamics，SPH)方法對雙液滴相繼撞擊固壁面及液膜問題進(jìn)行了二維模擬研究。

SPH方法是由Lucy[9]、Gingold和Monaghan[10]于1977年分別獨(dú)立提出的一種純Lagrange型無網(wǎng)格粒子法。與基于網(wǎng)格的數(shù)值方法相比，SPH方法具有自適應(yīng)特性、Lagrange特性以及粒子性質(zhì)和Lagrange性質(zhì)的和諧結(jié)合等優(yōu)勢，因此適宜模擬自由表面大變形問題[11-14]。本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，對雙液滴相繼撞擊固壁面及液膜問題進(jìn)行了三維SPH模擬研究。特別是，通過表面力張量的梯度離散合理引入表面張力效應(yīng)，并以方形液滴的振蕩問題為例，驗(yàn)證了表面張力模型的有效性。應(yīng)用SPH方法對雙液滴相繼撞擊固壁及液膜問題進(jìn)行了三維模擬，并通過與Fujimoto等[6]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較驗(yàn)證了SPH方法的有效性，分析了液滴間垂直距離對流動過程的影響，精細(xì)地捕捉了液滴撞擊液膜后產(chǎn)生“皇冠”狀水花、發(fā)生飛濺和不連續(xù)液面的流動過程。

1　控制方程

在Lagrange坐標(biāo)系下，等溫牛頓流體的控制方程為

(1)

(2)

式中ρ為流體密度；u為流體速度；P為壓力；μ為動力粘性系數(shù)；F為表面張力。

2　光滑粒子動力學(xué)(SPH)方法

SPH方法是一種基于插值理論的Lagrange無網(wǎng)格方法。在SPH方法中，流體用有限個(gè)粒子來表示，每個(gè)粒子即是一個(gè)插值點(diǎn)，具有一定的質(zhì)量、速度及其他與流體相關(guān)的物理性質(zhì)，粒子隨著流體一起運(yùn)動。

2.1SPH離散

在SPH方法中，對流體控制方程組有多種不同的離散形式[11]。對于連續(xù)性方程(1)，為便于并行處理算法的編程，且降低粒子間非連續(xù)性帶來的計(jì)算誤差，本文選用如下的SPH離散格式[11]：

(3)

對于動量守恒方程(2)，其離散主要取決于右端項(xiàng)中的壓力梯度項(xiàng)和拉普拉斯算子的離散。對于壓力梯度項(xiàng)，本文選用的SPH離散格式為[11]

(4)

而對于拉普拉斯算子，若應(yīng)用SPH方法直接進(jìn)行離散，會產(chǎn)生核函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，而核函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)對粒子的不規(guī)則分布十分敏感，甚至導(dǎo)致模擬過程的中斷。因此，對于拉普拉斯算子的離散，本文采用Shao等[15]基于有限差分插值思想而提出的如下離散格式：

(5)

其中h代表光滑長度。式(5)將拉普拉斯算子離散為僅涉及核函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，從而提高了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。最后，將式(4)和式(5)代入式(2)中，可得動量守恒方程的SPH離散格式為

(6)

2.2表面張力處理

傳統(tǒng)的連續(xù)表面力模型難以準(zhǔn)確預(yù)測大變形自由面的表面法向，進(jìn)而無法根據(jù)法線方向計(jì)算表面曲率。本文利用表面力張量的梯度離散形式引入表面張力效應(yīng)[16]：

(7)

表面張力的張量S為

(8)

(9)

式中cb是粒子b的色標(biāo)，在定義的流體區(qū)域內(nèi)初始設(shè)為1，在流體區(qū)域外設(shè)為0。于是，界面的法向n可由顏色函數(shù)的梯度進(jìn)行計(jì)算

(10)

同時(shí)，為提高邊緣轉(zhuǎn)換區(qū)域的數(shù)值穩(wěn)定性，采用|n|閥參數(shù)的方法計(jì)算界面的單位法向：

(11)

式中閥參數(shù)ε=0.01/h。

該表面張力模型保持總動量守恒，且不需要表面曲率的單獨(dú)計(jì)算，容易推廣到三維應(yīng)用上[16]。

2.3人工黏性

對于液滴撞擊固壁及液膜這類沖擊問題，為防止在沖擊域內(nèi)的數(shù)值結(jié)果出現(xiàn)非物理振蕩，必須在模擬中加入人工黏性[17]。在SPH方法中，Monaghan型的人工黏性使用最為廣泛，它不僅通過將動能轉(zhuǎn)化為熱能提供了沖擊波面必不可少的耗散，而且防止了粒子相互接近時(shí)的非物理穿透。Monaghan型人工黏性的具體形式為[17]

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

在人工黏性中，αΠ和βΠ為標(biāo)準(zhǔn)常數(shù)，一般取值為1.0左右。式中與αΠ相關(guān)的第一項(xiàng)包括了剪切粘度和膨脹粘度，與βΠ相關(guān)的第二項(xiàng)在防止粒子非物理穿透中起著重要作用，特別是當(dāng)粒子間接近或幾乎碰撞時(shí)。

2.4人工壓縮率

本文以水為模擬對象，理論上認(rèn)為水體是不可壓縮的，然而對于不可壓縮流體，其實(shí)際狀態(tài)方程限制了時(shí)間步長的大小。因此，本文將不可壓縮流體考慮為弱可壓縮流體，采用合適的狀態(tài)方程求解壓力，如下式[18]：

(16)

式中γ為常數(shù)，一般取γ=7，ρ0是參照密度，c表示聲速，一般取最大流動速度的10倍左右。有關(guān)人工壓縮法的詳細(xì)介紹，可參閱文獻(xiàn)[11]。

2.5時(shí)間積分和時(shí)間步長的確定

經(jīng)離散近似后的SPH流體控制方程已由原來的偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，可采用具有二階精度、計(jì)算效率較高的蛙跳格式[11]進(jìn)行數(shù)值求解。另外，為滿足數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，時(shí)間步長必須滿足CFL條件[11]：

(17)

粘性耗散穩(wěn)定性條件[11]：

(18)

和外力作用穩(wěn)定性條件[11]：

(19)

式中Fa為作用于粒子上的單位質(zhì)量流體動力，ν=μ/ρ表示運(yùn)動粘度。

3　數(shù)值算例

3.1方形液滴的振蕩

為了驗(yàn)證表面張力模型的有效性，首先考慮二維方形液滴的振蕩問題。方形液滴的初始速度為零，但在表面張力的作用下出現(xiàn)周期性振蕩。本文選取液滴的邊長為0.007 5 m，密度ρ=800 kg/m3，表面張力系數(shù)σ=0.023 6 N/m，所用粒子數(shù)為900個(gè)。圖1為模擬得到的3個(gè)不同時(shí)刻的液滴形狀。從圖中可以看出，液滴在表面張力的作用下開始變形，但最終形成了一個(gè)穩(wěn)定的圓形液滴，從而驗(yàn)證了本文表面張力模型的有效性。

(a) t=0.0 s 　　　　　　　　　(b) t=0.05 s 　　　　　　　　　(c) t=0.12 s圖1　方形液滴受表面張力作用的振蕩過程

3.2三維雙液滴相繼撞擊固壁問題

圖2　雙液滴相繼撞擊固壁問題的計(jì)算模型

接下來，考慮三維雙液滴相繼撞擊固壁面問題，其計(jì)算模型如圖2所示。兩液滴大小相同，其直徑均為D=5.0×10-4m，初始速度V=2.7 m/s，方向垂直向下。第一個(gè)液滴中心位于(0 m，0 m，2.5×10-4m)，固壁面幾何尺寸取為{(x，y，z)|-0.001 m≤x≤0.001 m，-0.001 m≤y≤0.001 m，z=0 m}。第一個(gè)液滴與固壁面開始接觸的時(shí)間記為t=0，之后液滴撞擊固壁面而發(fā)生鋪展變形。兩液滴間垂直距離記為Δh。

數(shù)值模擬中，液滴密度ρ=1 000 kg/m3，動力粘性系數(shù)μ=1.0×10-3Pa·s，表面張力系數(shù)σ=0.072 8 N/m，重力加速度g=-9.81 m/s2，聲速c=27 m/s。選用固壁虛粒子技術(shù)作為固壁邊界處理方法，其詳細(xì)介紹可參閱文獻(xiàn)[19]。粒子初始間距設(shè)置為δ0=6.25×10-6m，對應(yīng)于粒子總數(shù)N=947 686個(gè)，其中流體粒子數(shù)為535 522個(gè)，固壁上虛粒子數(shù)為103 041個(gè)，固壁外虛粒子數(shù)為309 123個(gè)。核函數(shù)采用分段三次樣條函數(shù)，光滑長度設(shè)置為h=1.5δ0。采用蛙跳格式進(jìn)行時(shí)間積分，時(shí)間步長取為Δt=1.0×10-7。當(dāng)然，粒子初始間距越小，粒子數(shù)相應(yīng)越多，時(shí)間步長也相應(yīng)越小。此時(shí)，填充流體也就越密集，但計(jì)算量也相應(yīng)增大。其實(shí)，如圖3和圖4，本文選取的SPH參數(shù)已能足夠填充流體，因此是適宜的。同時(shí)，為防止在沖擊域內(nèi)的數(shù)值結(jié)果出現(xiàn)非物理振蕩，本文選取人工黏性系數(shù)αΠ=1.0和βΠ=2.0。

(a) SPH數(shù)值結(jié)果　　　　(b) Fujimoto等實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖3　間距較大(Δh=3.5D)的雙液滴相繼撞擊固壁面問題比較

(a) SPH數(shù)值結(jié)果　　　　(b) Fujimoto等實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖4　間距較小(Δh=1.1D)的雙液滴相繼撞擊固壁面問題比較

圖3給出了垂直距離為Δh=3.5D的兩液滴相繼撞擊固壁面的SPH數(shù)值結(jié)果與Fujimoto等[6]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的定性比較。同時(shí)，為了便于分析，這里采用無量綱時(shí)間T=tV/D來記錄液滴的運(yùn)動歷程?？梢钥闯觯谝粋€(gè)液滴撞擊到固壁面后，液滴向外鋪展形成一層薄液膜(T=3.2)；隨后，第二個(gè)液滴撞擊到這層薄液膜，產(chǎn)生了一點(diǎn)小水花，水花強(qiáng)度很弱，高度很低(T=3.5)；水花在薄液膜上經(jīng)過一段時(shí)間的擴(kuò)展，逐漸與之前薄液膜合并，形成一層較厚的液膜向外擴(kuò)展(T=4.7和T=5.2)。

圖4給出了垂直距離為Δh=1.1D的兩液滴相繼撞擊固壁面的SPH數(shù)值結(jié)果與Fujimoto等[6]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的定性比較?？梢钥闯?，上下兩液滴間距離較近時(shí)，下面第一個(gè)液滴剛開始撞擊到固壁面，液滴速度略有減小時(shí)，就被上面第二個(gè)落下的液滴趕上(T=0.3)；隨后，第二個(gè)液滴與第一個(gè)液滴產(chǎn)生碰擊，并開始與其合并，如同單獨(dú)一個(gè)液滴撞擊固壁面(T=1.5)。值得注意的是，兩液滴在固壁面上向外鋪展形成一層薄液膜，但沒有產(chǎn)生水花(T=3.2)。這是因?yàn)椋寒?dāng)?shù)诙€(gè)液滴碰撞到第一個(gè)液滴時(shí)，第一個(gè)液滴剛開始鋪展變形，兩液滴的速度差相對較小，因此沒有足夠強(qiáng)的沖擊力產(chǎn)生水花。相反，在圖3中，當(dāng)?shù)诙€(gè)液滴碰撞到第一個(gè)液滴時(shí)，第一個(gè)液滴已形成薄液膜且鋪展速度很低，而此時(shí)第二個(gè)液滴的沖擊速度較大，因此兩液滴的速度差也相對較大，這導(dǎo)致了足夠強(qiáng)的沖擊力并產(chǎn)生了小水花?？傊?，本文數(shù)值模擬所得液滴形狀的變化過程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均基本一致。

圖5給出了垂直距離為Δh=3.5D和Δh=1.1D的兩液滴寬度隨時(shí)間的變化曲線，并將本文SPH結(jié)果和Fujimoto等[6]實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了定量比較?？梢钥闯?，本文SPH結(jié)果與Fujimoto等實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，從而驗(yàn)證了本文SPH方法模擬三維自由面流動問題的有效性。另外，值得注意的是，在碰撞后期階段(T>3.4和T>2.4)，本文SPH結(jié)果稍微高于Fujimoto等實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這可能是因?yàn)椋罕疚臄?shù)值模擬中選用的兩液滴大小相同，而在Fujimoto等實(shí)驗(yàn)中，兩液滴大小不同，即第二個(gè)液滴直徑略小于第一個(gè)液滴，因此導(dǎo)致本文SPH結(jié)果稍微高于Fujimoto等實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

3.3三維雙液滴相繼撞擊液膜問題

接下來，本文研究三維雙液滴相繼撞擊液膜問題。與圖2相比，本算例由于在固壁面上鋪有一定厚度的液膜，因此液滴撞擊液膜問題會產(chǎn)生“皇冠”性水花、不連續(xù)液面和飛濺等強(qiáng)非線性流動特征。

考慮大小相同的兩液滴，其直徑D=5.0×10-4m，初始速度V=2.7 m/s，方向垂直向下。第一個(gè)液滴中心位于(0 m，0 m，2.5×10-4m)，兩液滴間垂直距離取為Δh=1.1D。液膜厚度為H=0.1D，液膜幾何尺寸取為{(x，y)|-0.001 5m≤x≤0.001 5 m，-0.001 5 m≤y≤0.001 5 m}。數(shù)值模擬中，液滴密度ρ=1 000 kg/m3，動力粘性系數(shù)μ=1.0×10-3Pa·s，表面張力系數(shù)σ=0.072 8 N/m，重力加速度g=-9.81 m/s2，聲速c=27 m/s。粒子初始間距設(shè)置為δ0=6.25×10-6m，對應(yīng)于粒子總數(shù)N=3 404 734個(gè)，其中流體粒子數(shù)為2 371 050個(gè)，固壁上虛粒子數(shù)為252 481個(gè)，固壁外虛粒子數(shù)為781 203個(gè)。核函數(shù)采用分段三次樣條函數(shù)，光滑長度設(shè)置為h=1.5δ0。采用蛙跳格式進(jìn)行時(shí)間積分，時(shí)間步長取為Δt=1.0×10-7。為防止在沖擊域內(nèi)的求解結(jié)果出現(xiàn)非物理振蕩，選取人工黏性系數(shù)αΠ=1.0和βΠ=2.0。對于三維雙液滴相繼撞擊液膜問題，本文數(shù)值模擬了4 000個(gè)時(shí)間步數(shù)，這需要在惠普RX2600高性能服務(wù)器上使用64個(gè)處理器運(yùn)行大約5 h。

圖6顯示了雙液滴相繼撞擊液膜問題的SPH數(shù)值結(jié)果?？梢钥闯觯谝粋€(gè)液滴剛撞擊液膜時(shí)，沿液膜徑向流動的流體外邊界在表面張力的作用下向上彈起，彈起的液體形成薄片；隨著液滴和液膜的相互作用，薄片液體開始向上運(yùn)動并形成美麗的“皇冠”狀水花(T=0.54)；隨后，第二個(gè)液滴與第一個(gè)液滴產(chǎn)生碰擊，并開始與其合并，此時(shí)水花頂端也破碎成許多小液滴，產(chǎn)生不連續(xù)液面并伴隨有飛濺現(xiàn)象(T=1.62和T=2.16)。

圖6　雙液滴相繼撞擊液膜過程的SPH數(shù)值模擬

4　結(jié)　論

本文基于SPH方法對雙液滴相繼撞擊固壁及液膜問題進(jìn)行了三維數(shù)值模擬，所得結(jié)論如下：

(1)基于表面力張量的梯度離散而引入的表面張力模型有效可靠，且容易推廣到三維應(yīng)用上；

(2)雙液滴相繼撞擊固壁面時(shí)，液滴間垂直距離對流動過程有較大的影響，即液滴間垂直距離較大時(shí)，兩液滴的速度差較大，易產(chǎn)生水花；

(3)雙液滴相繼撞擊液膜時(shí)會產(chǎn)生“皇冠”狀水花、不連續(xù)液面和飛濺等一系列強(qiáng)非線性流動現(xiàn)象；

(4)SPH方法在模擬自由表面大變形問題時(shí)具有較好的優(yōu)勢。

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[責(zé)任編輯：謝 平]

Three-dimensional SPH simulation of the successive impact of two droplets with a solid and a liquid surfaces

XU Xiao-yang

(School of Mathematics and Computer Science, Shaanxi Sci-Tech University, Hanzhong 723000, China)

Surface tension effect is introduced by discrete gradient of the surface force tensor and the surface tension model is exemplified to be effective by oscillation problem of the square droplets. Based on smoothed particle hydrodynamics (SPH) method, the successive impact of two droplet with a solid and a liquid surfaces is numerical simulated in three-dimensional(3D) space.Specifically, the surface tension is expressed as the gradient of the surface tension tensor, which is validated by the deformation of liquid droplet from initial shape of square to a circle. Then, the dynamic processes of two droplet successively impacting on a solid and a liquid surfaces is simulated by the proposed SPH method, and the numerical results are compared with the available experimental results. Besides, the influence of the two droplets’ vertical spacing on the flow pattern is analyzed, and the crown, splashing and fragment phenomena are precisely captured nicely. All SPH results demonstrate that the proposed SPH method can effectively describe the free surface dynamics of two droplet successively impacting on a solid and a liquid surfaces, and also has a good advantage in dealing with free surface flows with large deformations.

smoothed particle hydrodynamics;three-dimensional;two droplet;solid surface;liquid surface

1673-2944(2016)04-0073-07

2016-04-02

2016-06-01

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11502132)；陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(15JK1152)

許曉陽(1987—)，男，河北省石家莊市人，陜西理工大學(xué)講師，博士，主要研究方向?yàn)镃FD流體計(jì)算。

O242.1

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