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        β級α型Bazileviˇc函數(shù)的對數(shù)系數(shù)

        2016-09-13 02:00:34牛瀟萌李書海
        關(guān)鍵詞:單葉分部赤峰

        牛瀟萌,李書海

        (赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

        β級α型Bazileviˇc函數(shù)的對數(shù)系數(shù)

        牛瀟萌,李書海

        (赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰024000)

        利用從屬關(guān)系給出|(g(z)/f(z))α|的估計.運用構(gòu)造一個非負(fù)函數(shù)和對復(fù)變函數(shù)模的積分進行估計的方法,對β級α型Bazileviˇc函數(shù)類Bα(β)的對數(shù)系數(shù)bn進行研究.所得結(jié)果推廣了一些作者的相關(guān)結(jié)果.

        單葉函數(shù);對數(shù)系數(shù);Bazileviˇc函數(shù)

        1 引言

        設(shè) f(z)與 g(z)在 U內(nèi)解析,如果存在 U內(nèi)滿足 |ω(z)|≤|z|的解析函數(shù) ω(z),使得g(z)=f(ω(z)),則稱g(z)從屬于f(z),記作g(z)?f(z).

        設(shè)α>0,β∈R,f(z)∈S,如果存在g(z)∈S?,使得則稱f(z)∈B(α,β)[3].

        文獻[4]給出了如下α型β級Bazileviˇc函數(shù)類Bα(β).

        定義 1.1設(shè)f(z)∈S,α≥0,0≤β<1,若存在g(z)∈S?,使得

        則稱f(z)∈Bα(β),其中的冪函數(shù)取主值.顯然Bα(0)=Bα.設(shè)f(z)∈S,若則稱bn為f(z)的對數(shù)系數(shù).對數(shù)系數(shù)的估計在單葉函數(shù)的系數(shù)估計中有重要作用.Keobe函數(shù)k(z)=z(1-z)-2的對數(shù)系數(shù)為bn=1/n.對bn(n≥2)的估計,現(xiàn)在已經(jīng)證明:

        (1)當(dāng)f(z)∈S?時,|bn|≤[5];(2)當(dāng)f(z)∈C時,|bn|≤A,其中A表示一個絕對常數(shù)[6];(3)當(dāng)f(z)∈Bα?xí)r,|bn|≤A(1+α),其中A表示一個絕對常數(shù)[7];(4)當(dāng)f(z)∈Y時,|bn|≤A,其中A表示一個絕對常數(shù)[8];(5)當(dāng)f(z)∈B(α,β)時,|bn|≤A,其中A表示一個絕對常數(shù)[9].

        本文研究Bα(β)的對數(shù)系數(shù).

        2 引理

        引理 2.1[9]設(shè)f(z)∈S,則

        引理 2.2[9]設(shè)f(z)∈S,α∈C.則,z=reiθ,0<r<1,

        引理 2.3[6]設(shè)f(z)∈S,則對z=reiθ,≤r<1,有(1)

        (2)

        引理 2.4[10]設(shè)g(z)∈S?,則arg g(z)>0且引理 2.5[11]設(shè)f(z)∈S,則對0<r<1,有

        引理 2.6設(shè)f(z)∈Bα(β),g(z)∈S?使得(1)式.則對z=reiθ,0≤r<1,有

        (1)

        (2)

        (3)

        證明(1)由引理2.1和引理2.2可知,

        易知J11≤1,利用分部積分公式和引理2.4可得,

        所以

        (2)記

        由分部積分和引理2.2可知,

        由引理2.3和Schwarz不等式可知,

        所以

        由(3)式和(2)式可知,

        所以

        由引理2.1,引理2.2和分部積分可得,

        由引理2.5可知,

        所以由引理2.3可知,

        引理 2.7設(shè)f(z)∈Bα(β)(α≥0,0≤β<1),則對z=reiθ,0≤r<1,有

        證明如果f(z)∈Bα(β),則存在g(z)∈S?使得(1)式成立.由于0≤β<1,所以

        由從屬關(guān)系定義可知,存在Schwarz函數(shù)ω(z),使得

        經(jīng)簡單計算有

        因為0≤β<1,所以|2β-1|<1,又因為|ω(z)|≤|z|,所以

        由于

        所以

        3 主要結(jié)論

        定理 3.1設(shè)f(z)∈Bα(β),則對n≥2,

        其中

        證明設(shè)f(z)∈Bα(β),則存在g(z)∈S?,使得(1)式成立.記

        則Re p(z)>0.由(3)式可知對z=reiθ,

        因此

        因為Re p(z)>0,所以

        由引理2.6可知,

        由引理2.6可知,

        由引理2.7可知,

        所以

        所以

        所以

        因為

        所以

        其中

        [1]Jenkins J A.On circularly symmetric functions[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1955,6(4):620-624.

        [2]Goel R M,Mehrok B S.A subclass of univalent functions[J].Journal of the Australian Mathematical Society (Series A),1983,35(01):1-17.

        [3]Kim Y C.A note on growth theorem of Bazileviˇc functions[J].Applied Mathematics and Computation,2009,208(2):542-546.

        [4]楊定恭.α型β級Bazileviˇc函數(shù)的Fekete-Szego問題[J].數(shù)學(xué)研究與評論,1998,18(1):99-104.

        [5]胡克.單葉函數(shù)的若干問題[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2001.

        [6]YE Z.The logarithmic coefficients of close-to-convex functions[J].Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica(New Series),2008,3(3):445-452.

        [7]Ye Z.The coefficients of Bazileviˇc functions[J].Complex Variables and Elliptic Equations,2013,58(11):1559-1567.

        [8]葉中秋.圓對稱函數(shù)的對數(shù)系數(shù)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,32(1):6-8.

        [9]Deng Q.On the logarithmic coefficients of Bazileviˇc functions[J].Applied Mathematics and Computation,2011,217(12):5889-5894.

        [10]Pommerenke C H.Univalent Functions[M].Gottingen:Vandenhoeck and Ruprecht,1975.

        [11]Lebedev N A.An application of the area principle to non-overlapping domains[J].Trudy Matematicheskogo Instituta im.V A Steklova,1961,60:211-231.

        2010 MSC:30C45

        The logarithmic coefficients of Bazileviˇc functions of type α and order β

        Niu Xiaomeng,Li Shuhai
        (School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

        By using subordination,the paper gives estimation of|(g(z)/f(z))α|.A nonnegative function and estimate the integration of model of a complex function have been constructed.The logarithmic coefficients bnof Bazileviˇc functions of type α and order β is discussed by this method.The results obtained generalize some known results.

        univalent functions,logarithmic coefficients,Bazileviˇc functions

        O174.51

        A

        1008-5513(2016)04-0342-09

        10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.003

        2016-04-27.

        國家自然科學(xué)基金(11561001);內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金(2014MS0101);內(nèi)蒙古高等學(xué)校科學(xué)研究項目(NJZY16251).

        牛瀟萌(1982-),碩士,講師,研究方向:復(fù)分析及應(yīng)用.

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