田紅亮， 余　媛， 張　屹， 陳甜敏， 鄭金華

(三峽大學(xué) 機械與動力學(xué)院，湖北　宜昌　443002)

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切向加載、卸載和振蕩強耦合下機床螺栓結(jié)合部之摩擦能量耗散機制

田紅亮， 余媛， 張屹， 陳甜敏， 鄭金華

(三峽大學(xué) 機械與動力學(xué)院，湖北宜昌443002)

在保持微凸體受法向力恒定的狀態(tài)下，側(cè)重導(dǎo)出切向力和變形量的切向加載、切向卸載和切向振蕩接觸方程。當(dāng)2個球形微凸體接觸時，構(gòu)建每循環(huán)中切向接觸摩擦能量耗散力學(xué)模型。按照赫茲靜力彈性法向接觸理論，得到微凸體頂端曲率半徑。根據(jù)微凸體分擔(dān)法向力的光滑性與連續(xù)性法則，校正臨界彈性變形微接觸面積與臨界變形量的數(shù)學(xué)表達(dá)式。面向有條件等式，在彈性和純塑性變形基礎(chǔ)上，建立整個結(jié)合部法向力與切向接觸摩擦能量耗散的理論模型。以北京機電院高技術(shù)股份有限公司直線電機驅(qū)動Linear MC6000普萊諾五面體加工中心上的龍門橫梁-導(dǎo)軌螺栓結(jié)合部為研究對象，分析法向預(yù)緊力、表面粗糙輪廓分形維數(shù)、切向力、分形粗糙度、相關(guān)因子、單軸向屈服應(yīng)變及靜摩擦因數(shù)等7個相對獨立參數(shù)對切向接觸摩擦能量耗散的影響規(guī)律?？梢暬臄?shù)值分析結(jié)果表明：切向接觸摩擦能量耗散隨著法向預(yù)緊力的增大先增大后減?。槐砻娲植谳喞中尉S數(shù)在較小范圍內(nèi)，切向接觸摩擦能量耗散隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)或分形粗糙度的增大而增大；表面粗糙輪廓分形維數(shù)在較大范圍內(nèi)，切向接觸摩擦能量耗散隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)或分形粗糙度的增加而減?。磺邢蚪佑|摩擦能量耗散隨著切向力、相關(guān)因子、單軸向屈服應(yīng)變的增加而加大；切向接觸摩擦能量耗散隨著靜摩擦因數(shù)的增加而降低與經(jīng)典結(jié)論完全相反，這是因為當(dāng)靜摩擦因數(shù)較大時，根據(jù)近代分形幾何理論可知法向預(yù)緊力越大，微滑趨勢將更小，導(dǎo)致較小切向接觸摩擦能量耗散。

切向加載；切向卸載；切向振蕩；機床；螺栓結(jié)合部；法向預(yù)緊力；切向交變力；摩擦能量

機床量大面廣，能量耗散多，能量利用率低，節(jié)能降耗潛力大。機床能量耗散是一個多部件多層次的系統(tǒng)問題，在未來能量耗散指標(biāo)將成為評價機床產(chǎn)品的一個新指標(biāo)。針對揭示機床的能量特性、構(gòu)建機床能量耗散模型，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究工作，以探尋節(jié)能降耗途徑、減少環(huán)境污染、推動綠色與可持續(xù)制造的發(fā)展。

一般普通機床中，總剛度的60%～80%來自結(jié)合部的接觸剛度，總阻尼的90%以上源自結(jié)合部接觸阻尼。結(jié)合部接觸阻尼與能量耗散直接相關(guān)，如在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)里，振動阻尼系數(shù)越大越好，消能越快，不致使結(jié)構(gòu)引起諧振。螺栓聯(lián)接結(jié)合部是機床中最為典型的一種結(jié)合部形式，其影響因素眾多，作用機理極其復(fù)雜，具有強非線性特征。許多學(xué)者一直在其力學(xué)特性研究上進(jìn)行不斷的探索。2011～2016年本課題組所做的許多膚淺研究盡管從微宏觀機理上嘗試性地定性或定量解釋一些因素對螺栓聯(lián)接結(jié)合部靜動態(tài)特性的影響規(guī)律[1-28]，但是由于螺栓聯(lián)接結(jié)合部試驗?zāi)Ｐ偷呐潘裕Y(jié)合部的不相容性，非線性來源的不確定和不明確性，試驗結(jié)果的不可測量性、無重復(fù)性以及時變特性等一系列復(fù)雜問題，使得結(jié)合部的能量耗散研究變得愈發(fā)艱辛。20世紀(jì)80年代末，日本著名學(xué)者伊東誼對機床結(jié)合部研究的歷史進(jìn)行了回顧與展望，他認(rèn)為確定結(jié)合部阻尼及其衰減能的理論計算方法依然沒有得以解決，從此以后，結(jié)合部的研究便進(jìn)入了一個低潮期。所以綜述能量耗散研究，理清研發(fā)思想，對于進(jìn)一步把握其內(nèi)在機制具有重大作用。引起螺栓聯(lián)接結(jié)合部能量耗散產(chǎn)生的原因很多，如結(jié)合部間的微觀滑移和局部撞擊、外界復(fù)雜動載荷以及潤滑油膜等復(fù)雜因素，使得螺栓聯(lián)接結(jié)合部具有非線性特點、遲滯特征和復(fù)雜的動力特性。但現(xiàn)存研究對螺栓聯(lián)接結(jié)合部能量耗散鮮見確切的公認(rèn)研究定論，因此要分清螺栓聯(lián)接結(jié)合部的能量耗散性質(zhì)，探索其內(nèi)在真正機理，是一個值得探索與頗有挑戰(zhàn)性的課題。

姚運萍等[29]修正了螺栓聯(lián)接結(jié)合部能量損失與載荷幅值間的數(shù)學(xué)關(guān)系。張學(xué)良等[30-31]建立了平面結(jié)合部切向接觸阻尼的分形模型，平面結(jié)合部法向載荷增大時，平面結(jié)合部的切向接觸阻尼耗能減小，平面結(jié)合部切向接觸阻尼損耗因子隨著結(jié)合部粗糙度的減小而減小。李小彭等[32]提出結(jié)合部的“固-隙-固”接觸模型，建立考慮摩擦因素影響的結(jié)合部切向接觸阻尼的分形預(yù)估模型，結(jié)合部的切向接觸阻尼隨結(jié)合部實際接觸面積的增大而增大，隨結(jié)合部法向載荷的增大而減小，隨結(jié)合部間摩擦因數(shù)的增大而趨于恒定。然而，以上文獻(xiàn)求解機床螺栓聯(lián)接結(jié)合部能量耗散的辦法存在1個同樣弊端：已有多篇參考文獻(xiàn)的交叉綜合引用太多，完全基于作者專業(yè)知識的系統(tǒng)性推導(dǎo)太少，理論的全新原創(chuàng)性較少，沒有從引起機床螺栓聯(lián)接結(jié)合部能量耗散的核心機制和本質(zhì)原因建立能量耗散方程，不同文獻(xiàn)給出的理論結(jié)論相互矛盾或不一致，甚至某些文獻(xiàn)的理論定性論斷與試驗結(jié)果恰好相反和沖突，現(xiàn)有文獻(xiàn)中理論給人的信任感及可信度太差，更無法進(jìn)一步談?wù)摻^對誤差和相對誤差的定量驗證。有關(guān)機床螺栓聯(lián)接結(jié)合部能量耗散的研究，僅僅局限于理論。而如何將機床螺栓聯(lián)接結(jié)合部能量耗散基礎(chǔ)數(shù)據(jù)應(yīng)用于工程實際中，通過試驗評價和驗證其正確性和適用性，最終預(yù)測出機床螺栓聯(lián)接結(jié)合部能量耗散性能，是將基礎(chǔ)科學(xué)問題的研究結(jié)果應(yīng)用于工程實際中的又一難點，也是必須攻克的科研難題。通過機理研究建立機床螺栓聯(lián)接結(jié)合部能量耗散本構(gòu)模型，揭示其內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律，使得所創(chuàng)模型符合生產(chǎn)實際，如同牛頓第二定律F=ma和1882年赫茲靜力彈性法向接觸理論一樣，具有精準(zhǔn)通用性，是科學(xué)技術(shù)工作人員、專家和學(xué)者所追求的夢想和奮斗目標(biāo)。

在原子級平坦的晶體界面摩擦試驗中，摩擦并未完全消失，有時還相當(dāng)可觀。這說明除了塑性變形、粗糙峰嚙合和黏著等宏觀的摩擦機理外，還存在著更為基本的能量耗散過程而導(dǎo)致摩擦的產(chǎn)生，因此，從微觀上進(jìn)行摩擦能量耗散過程的研究對探索摩擦起源和摩擦控制具有重要的意義。摩擦過程是非線性的且遠(yuǎn)離平衡態(tài)的熱力學(xué)過程。從本質(zhì)上看，摩擦是在外力的作用下，發(fā)生相對運動或具有相對運動趨勢的物體，受到與其相接觸的物質(zhì)或介質(zhì)的阻力作用，在其界面上產(chǎn)生的一種能量轉(zhuǎn)換現(xiàn)象。當(dāng)2個表面作相對運動時，引起運動改變的力就做功，因此在接觸的表面上有能量損耗。

上述問題是如此的復(fù)雜，以至于還不能被很好地解決。在保持微凸體受法向力恒定的狀態(tài)下，側(cè)重建立了切向力和變形量的切向加載、切向卸載、切向振蕩方程，導(dǎo)出了2個球形微凸體接觸時，每循環(huán)中切向接觸摩擦能量耗散力學(xué)模型。使用赫茲靜力彈性法向接觸理論獲得微凸體頂端曲率半徑，按照微凸體分擔(dān)法向力的光滑性與連續(xù)性原則，修訂臨界彈性變形微接觸面積與臨界變形量，面向有條件等式，區(qū)分彈性變形及純塑性變形，建立整個結(jié)合部法向力、切向接觸摩擦能量耗散的理論模型。根據(jù)所創(chuàng)建的模型，以北京機電院高技術(shù)股份有限公司直線電機驅(qū)動Linear MC6000普萊諾五面體加工中心龍門橫梁-導(dǎo)軌作研究對象，給出法向預(yù)緊力p、表面粗糙輪廓分形維數(shù)D、切向交變力Q、分形粗糙度G、相關(guān)因子K、單軸向屈服應(yīng)變φ、靜摩擦因數(shù)f(滿足fp?Q)等7個相對獨立參數(shù)對切向接觸摩擦能量耗散W的影響規(guī)律，解釋了產(chǎn)生影響規(guī)律的原因。其中，靜摩擦因數(shù)對切向接觸摩擦能量耗散的影響規(guī)律與經(jīng)典結(jié)論不同。

1　固定結(jié)合部摩擦能量耗散機制

試驗表明，彈性材料特別是金屬材料表現(xiàn)出一種結(jié)構(gòu)阻尼的性質(zhì)。這種阻尼是由于材料受力變形而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦，干摩擦?xí)哪芰?，力和變形之間產(chǎn)生了相位滯后，這種曲線叫做遲滯曲線。兩微凸體同時受法向力和切向力，在保持法向力恒定的狀態(tài)下，再施加切向力。切向力按施加順序可分為3類：切向加載力、切向卸載力、切向振蕩力。

1.1微凸體受法向恒定力和切向加載力

切向力從0單調(diào)增加時，微滑接觸圓環(huán)的內(nèi)半徑(或黏附接觸圓的半徑)[33]為

(1)

式中：r為微滑接觸圓環(huán)的外半徑；f為靜摩擦因數(shù)；N為微凸體所受的法向力；T為微凸體所受的切向力。

可見，隨著切向力的增大，黏著區(qū)域軸對稱地縮減；當(dāng)切向力達(dá)到fN時黏著區(qū)域縮小至一點，隨即發(fā)生整體滑動。

切向牽引力在接觸面上的分布[34]為

式中：正體腳標(biāo)L代表Loading的首字母；ρ為極半徑；π為圓周率。

切向加載應(yīng)力隨著極半徑的變化如圖1所示的曲線r-A-B。

圖1　切向加載應(yīng)力與極半徑的切向加載聯(lián)系Fig.1 Tangential loading relation between tangential loading stress and polar radius

遠(yuǎn)方點相對于黏附部分的均勻變形量為

(3)

式中：μ為微凸體1或2的切變模量；v為微凸體1或2的泊松比。

由式(1)得

(4)

將式(4)代入式(3)得

(5)

切向力隨著變形量的變化如圖2所示。

圖2　切向力和變形量的切向加載遲滯曲線Fig.2 Tangential loading hysteresis curve between tangential force and deformation

切向加載柔度為

(6)

圖2中，在點O處切向加載初始柔度為

(7)

圖2中，在點F處切向加載終身柔度為

(8)

由式(8)知，當(dāng)切向力T增加到一定值fN時，切向加載剛度接近于0，這正是意料之中的事情，這是因為此時接觸界面將由微觀滑移轉(zhuǎn)化為宏觀自由滑動，摩擦界面連接失效。

1.2微凸體受法向恒定力和切向卸載力

切向力從最大值T*緩慢減小時，根據(jù)圖1，當(dāng)極半徑ρ=r時，微滑開始。與式(2)的第2個表達(dá)式類似，在c,r之間會產(chǎn)生一個臨時穿透半徑b。因為切向卸載與加載時，微凸體的變形方向相反，按照牛頓第三定律(每一個作用總是有一個相等的反作用和它相對抗；或者說，兩物體彼此之間的相互作用永遠(yuǎn)相等，并且各自指向其對方)，切向牽引力的變化是式(2)的-2倍。類比式(2)可得切向卸載時切向牽引力的改變量為

(9)

式中：正體腳標(biāo)c表示change的首字母。

特別使人感到驚奇的是，用-2乘式(2)，再以b代替c可得式(9)，下文還將使用此結(jié)論。在式(9)與(2)之間存在一種反向放大2倍自然對稱美。

切向卸載應(yīng)力變化量隨著極半徑的變化如圖3所示的曲線r-A′-B′。

圖3　切向卸載應(yīng)力釋放量與極半徑的切向卸載聯(lián)系Fig.3 Tangential unloading relation between tangential unloading release stress and polar radius

初始切向牽引力式(2)加切向應(yīng)力變化量式(9)可得切向卸載時切向牽引力在接觸面上的分布。為了直觀地求得合成結(jié)果，現(xiàn)將圖1與3畫在同一幅圖4中。

圖4　切向加載應(yīng)力、切向卸載應(yīng)力釋放量與極半徑的關(guān)系Fig.4 Relation among tangential loading stress, tangential unloading release stress and polar radius

按照圖4，當(dāng)0≤ρ

(10)

式中：正體腳標(biāo)u表示unloading的首字母。

通過圖4，當(dāng)c≤ρ

(11)

根據(jù)圖4，當(dāng)b≤ρ≤r時，切向卸載時切向牽引力在接觸面上的分布為

(12)

將式(10) ～(12)合寫成1個公式，可得切向卸載時切向牽引力在接觸面上的分布為

(13)

切向卸載應(yīng)力隨著極半徑的變化如圖5所示的曲線r-D-E-F，其中曲線F-E對應(yīng)式(10)，曲線E-D對應(yīng)式(11)，曲線D-r對應(yīng)式(12)。

圖5　切向卸載應(yīng)力與極半徑的切向卸載關(guān)系Fig.5 Tangential unloading relation between tangential unloading stress and polar radius

將圖4與5畫在同一幅圖6中，可分析3種切向應(yīng)力之間的聯(lián)系，其中曲線r-D-E-F是曲線r-A-B與r-A′-B′之和。

圖6　切向加載應(yīng)力、切向卸載應(yīng)力釋放量、切向卸載應(yīng)力與極半徑的關(guān)系Fig.6 Relation amongst tangential loading stress, tangential unloading release stress, tangential unloading stress and polar radius

根據(jù)圖5，整個赫茲接觸表面S={(ρ,θ)|0≤ρ≤r,0≤θ≤2π}，切向卸載應(yīng)力應(yīng)滿足赫茲平衡條件

(14)

注意到式(13)中的τu與θ無關(guān)，式(14)可簡化為

(15)

把式(13)代入式(15)得

(16)

以下一元函數(shù)定積分為

(17)

將通解式(17)代入式(16)得

(18)

式(18)右邊的第一項為初始切向力T*，就是

(19)

將式(19)代入式(18)得

(20)

由式(20)可得對應(yīng)微滑的穿透深度為

(21)

切向卸載時，切向力T逐漸變小，其范圍是-T*≤T≤T*。當(dāng)T=-T*時，切向力完全反向，將T=-T*代入式(21)可得最小值

(22)

式(22)中的T*≥0與式(1)中的T≥0匹配(下文還將沿用此結(jié)論)，再由式(22)與(1)得

bmin=c

(23)

此時對應(yīng)微滑穿透到初始微滑深度。將式(23)代入式(13)得

(24)

由式(24)與(2)可得τu=-τL，此亦是意料之中的結(jié)果，表明式(13)滿足一個邊界條件。

當(dāng)T=T*時，切向力徹底正向，將T=T*代入式(21)可得最大值

bmax=r

(25)

綜合式(23)與(25)這兩種極端情況，可得b的范圍為

c=bmin≤b≤bmax=r

(26)

將式(26)代入式(20)可知T≤T*，這還是意料之中的事情。式(26)與圖6一致，將c≤b≤r代入式(9)可得τc≤0，這也是意料之中的事情。

將式(25)代入式(13)得

(27)

由式(27)與(2)可得τu=τL，這又是意料之中的成果，說明式(13)滿足第二個邊界條件。

前已述及，用-2乘式(2)，再以b置換c可得式(9)。類似地，用-2乘式(3)，再用b接替c可得切向卸載時遠(yuǎn)方點相對于黏附部分均勻變形量的改變量為

(28)

初始均勻變形量式(3)加均勻變形量的增量式(28)可得切向卸載時均勻變形量為

(29)

式中：正體腳標(biāo)d表示decreasing的首字母。

由式(21)得

(30)

將式(30)代入式(29)得

(31)

前已提及，式(22)中的T*≥0與式(1)中的T≥0對應(yīng)，用T*替換式(1)中的T可得

(32)

(33)

將式(33)代入式(31)得

(34)

切向力隨著變形量的變化如圖7所示。

圖7　切向力和變形量的切向卸載遲滯曲線Fig.7 Tangential unloading hysteresis curve between tangential force and deformation

切向力T從最大值T*緩慢減小到0時，即T=0在式(34)中對應(yīng)的永久變形量為

(35)

式中：正體腳標(biāo)p表示permanent的首字母。

冪函數(shù)f(x)=xμ(0<μ<1)在半開無限區(qū)間x∈[0,+∞)上連續(xù)，其圖形是向上凸的曲線弧，那么對[0,+∞)上任意兩點x1，x2恒有[35]

(36)

(37)

將f(x)=xμ代入式(37)得

(38)

因為0<μ<1，可令μ=2/3，將其代入式(38)得

(39)

將式(39)代入式(35)得

δdp>0

(40)

圖7中，永久變形量δdp用線段OR表示。將T=0代入式(21)得

(41)

將式(41)代入式(13)可得當(dāng)T=0時，τu≠0。將圖2與7畫在同一幅圖8中，可分析2種變形量之間的聯(lián)系，其中曲線OS與加載曲線OP關(guān)于原點中心對稱。

圖8　切向力和變形量的切向加卸載遲滯曲線Fig.8 Tangential loading and unloading hysteresis curve between tangential force and deformation

由式(5)得

(42)

由式(34)得

(43)

(44)

圖8中，加載曲線OP在T=T*時的變形量等于卸載曲線P-R-Q-S在T=T*時的變形量，即加載曲線與卸載曲線在切向力的最大值處相遇。切向卸載柔度為

(45)

圖8中，在點P處切向卸載初始柔度為

(46)

由式(7)與(46)得

(47)

圖8中，卸載曲線PR在點P處的斜率等于加載曲線OP在點O處的斜率。由式(34)得

(48)

(49)

加載曲線OP的方程為式(5)。因為任何2個點(x，y)和(-x，-y)關(guān)于原點是對稱的，故任何2個函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖像關(guān)于原點中心對稱。因曲線OS與加載曲線OP關(guān)于原點中心對稱，故曲線OS的方程為

(50)

(51)

由式(48)、(49)和(51)得

(52)

圖8中，T=-T*時的變形量等于T=T*時變形量的相反數(shù)，即點S的橫坐標(biāo)等于點P橫坐標(biāo)的相反數(shù)。由式(45)得

(53)

由式(6)得

(54)

(55)

圖8中，卸載曲線P-R-Q-S在點S處的柔度等于加載曲線OP在點P處的柔度。

1.3微凸體受法向恒定力和切向振蕩力

δi=-δd(-T)

(56)

將式(34)代入式(56)得

(57)

切向力隨著變形量的變化如圖9所示。

圖9　切向力和變形量的切向振蕩遲滯曲線Fig.9 Tangential oscillation hysteretic curve between tangential force and deformation

將圖7與9畫在同一幅圖10中，可分析2種變形量之間的聯(lián)系，卸載階段P-R-Q-S與振蕩階段S-U-V-P橫貫成一個封閉滯后回線P-R-Q-S-U-V-P。其中階段3為振蕩階段，文獻(xiàn)[29]稱階段3為“加載”，混淆了2個至關(guān)重要概念——振蕩與加載，其計算原理是徹底錯誤的。

圖10　切向力和變形量的切向卸載、振蕩完整封閉環(huán)道Fig.10 Tangential unloading and oscillating whole closed circuit between tangential force and deformation

切向振蕩柔度為

(58)

圖9中，在點S處切向振蕩初始柔度為

(59)

由式(59)和式(46)得

(60)

(61)

(62)

式中：TV為點V的縱坐標(biāo)。

式(61)減式(62)可得回路P-R-O-V-P的面積為

(64)

式(63)加式(64)可得回路P-R-U-V-P的面積為

(65)

(66)

(67)

式中：TQ為點Q的縱坐標(biāo)。

式(66)減(67)可得回路S-U-O-Q-S的面積為

SS-U-O-Q-S=SS(-T*)OU-SS(-T*)Q=

(68)

(69)

式(68)加(69)可得回路S-U-R-Q-S的面積為

(70)

試驗表明，對材料反復(fù)加載、卸載和振蕩，其力-變形曲線會成為一個滯后回線，此回線所圍的面積表示一個循環(huán)中材料以熱能形式耗散掉的能量。式(65)加(70)可得回路P-R-Q-S-U-V-P的面積為

F=SP-R-Q-S-U-V-P=SP-R-U-V-P+SS-U-R-Q-S=

(71)

式(34)減式(57)得

(72)

將式(72)代入式(71)可得每循環(huán)中摩擦能量耗散為

(73)

下列2個一元函數(shù)定積分分別為

(74)

(75)

將式(74) ～(75)代入式(73)得

(76)

m為任意實數(shù)，將函數(shù)(1+x)m展開成x的冪級數(shù)[36]

(-1

(77)

(78)

(79)

將式(78) ～(79)代入式(76)可得一個球形微凸體與剛性光滑平面接觸時，每循環(huán)中摩擦能量耗散為

(80)

球形微凸體1和剛性光滑平面接觸時，每循環(huán)中摩擦能量耗散為

(81)

式中：μ1為微凸體1的切變模量；v1為微凸體1的泊松比。

球形微凸體2與剛性光滑平面接觸時，每循環(huán)中摩擦能量耗散為

(82)

式中：μ2為微凸體2的切變模量；v2為微凸體2的泊松比。

球形微凸體1與2接觸時，每循環(huán)中摩擦能量耗散為

(83)

式中：G′為兩接觸材料的當(dāng)量切變模量。式(83)不同于文獻(xiàn)[30]中的式(1)。

將圖2與10畫在同一幅圖11中，可獲得3種變形量之間的聯(lián)系。切向力T從0線性正向加載到額定力T*時，此為加載階段OP；切向力T從最大值T*緩慢減小到-T*時，當(dāng)T取負(fù)數(shù)時，表示作用力T的方向與加載階段的作用力方向相反，即切向力T從額定力T*逐漸卸載至0，然后反向線性加載到額定力T*，此為卸載階段P-R-Q-S；切向力T從最小值-T*增加到最大值T*時，即切向力T從額定力T*逐漸卸載至0，再繼續(xù)正向加載至額定力T*，此為振蕩階段S-U-V-P。

圖11　三個階段的完整切向遲滯曲線Fig.11 Whole tangential hysteresis curves with three stages

2　分形幾何理論的校正

2.1彈性變形時單個微凸體分擔(dān)的法向力

處處連續(xù)、統(tǒng)計學(xué)自相似性、點點不可微的Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)為

(84)

式中：n1為最低頻率的初始項；γ為譜密度的尺度參數(shù)；x為表面的采樣長度坐標(biāo)。

式(84)的振幅即微凸體頂端的變形量

(85)

式中：a為單個微凸體的接觸面積。

由赫茲點接觸理論可得微凸體頂端曲率半徑為

(86)

將式(85)代入式(86)得

(87)

(88)

然后再由曲率半徑的計算公式得到微凸體頂端的曲率半徑為

(89)

將式(88)代入式(89)得

(90)

這就是文獻(xiàn)[37]中式(7)的來龍去脈，用點點可微的1項余弦函數(shù)式(88)完全替代點點不可微的Weierstrass-Mandelbrot無窮項余弦級數(shù)式(84)，依舊照搬2316年前希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的幾何學(xué)。1842年在數(shù)學(xué)上提出一致收斂概念的Weierstrass于1872年7月18日在柏林科學(xué)院的一次講演中，構(gòu)造了一個連續(xù)函數(shù)卻處處不可微的例子，由此一舉改變了當(dāng)時一直存在的“連續(xù)函數(shù)必可導(dǎo)”的重大誤解，震驚了整個數(shù)學(xué)界。數(shù)學(xué)家、分形幾何之父、描述自然界粗糙度的Mandelbrot，生前試圖尋找一種被稱之為“數(shù)學(xué)怪物”的東西，人們無法用傳統(tǒng)的Euclid幾何語言去描述其局部和整體性質(zhì)，可描述自然界的不規(guī)則現(xiàn)象，將工程表面形貌的輪廓線和島嶼的海洋線類比，提出表面的高度函數(shù)。文獻(xiàn)[37]求解微凸體頂端曲率半徑的方法不僅違背了赫茲點接觸理論，而且不符合Weierstrass的不可微數(shù)學(xué)反例，更不符合Mandelbrot的分形本質(zhì)要求。文獻(xiàn)[37]雖然提出了類似式(86)，卻無勇氣使用此公式，所以文獻(xiàn)[37]是帶有缺陷的分形理論，迫切需要糾正，本文的正解式(87)是文獻(xiàn)[37]的有力補充。文獻(xiàn)[37]提出的錯誤式(90)一直被全世界的廣大科技工作者尤其是國內(nèi)的高校人員原封不動地沿襲至今，一個主要原因是英文文獻(xiàn)比中文文獻(xiàn)受重視，中文學(xué)者無魄力挑戰(zhàn)英文文獻(xiàn)的錯誤和既定框架，文獻(xiàn)[37]提出的錯誤式(90)成為分形理論飛速向前發(fā)展的絆腳石。

單個微凸體分擔(dān)垂直于結(jié)合部的法向力為

(91)

由式(86)得

(92)

將式(92)代入式(91)得

(93)

將式(87)代入式(93)得

(94)

圖1中，單個微凸體處于彈性變形時，其彈性接觸面積為

ae=πr2=πRδ

(95)

由式(86)得

πRδ=a

(96)

將式(96)代入式(95)得

ae=a

(97)

2.2純塑性變形時單個微凸體擔(dān)負(fù)的法向力

單個微凸體處于彈塑性變形時，單個微凸體的彈塑性接觸面積(單個微凸體的彈性接觸面積、純塑性接觸面積均為下面公式的特例)[20]為

aep=πR(2δ-δc)

(98)

式中：δc為單個微凸體的臨界變形量。

當(dāng)2δ?δc時，單個微凸體處于純塑性變形時，其純塑性接觸面積為

(99)

將式(96)代入式(99)得

app=2a

(100)

單個微凸體處于純塑性變形時，其負(fù)擔(dān)的法向力為

pp=Kσyapp

(101)

式中：K為硬度與最初屈服強度之比而成的相關(guān)因子；σy為較軟材料的最初屈服強度。

將式(100)代入式(101)得

pp(a)=2Kσya

(102)

式(102)不同于文獻(xiàn)[37]中的式(15)Pp(a)=Kσya，不符合機械工程的由來是，當(dāng)單個微凸體處于純塑性變形狀態(tài)時，依舊選定彈性變形計算式(97)，即Pp(a)=Kσyae=Kσya。

2.3整體結(jié)合部擔(dān)當(dāng)?shù)目偡ㄏ蛄?/p>

從彈性接觸連續(xù)遷移到純塑性接觸時，單個微凸體發(fā)生的臨界變形量為

(103)

式中：d為待定量綱一正系數(shù)。

將式(87)代入式(103)得

(104)

式(85)除以式(104)得

(105)

若δ=δc，此時由式(105)可得特解a，即為從彈性接觸連續(xù)轉(zhuǎn)化到純塑性接觸時相應(yīng)的臨界彈性變形微接觸面積

(106)

將式(106)代入式(105)得

(107)

ac在式(94)中對應(yīng)的單個微凸體法向彈性力為

(108)

ac在式(102)中相應(yīng)的單個微凸體法向塑性力為

pp(ac)=2Kσyac

(109)

兩接觸粗糙表面在緩慢加大的整體結(jié)合部總法向力作用下，單個微凸體會承擔(dān)一部分法向彈性力或塑性力。如果作用在單個微凸體上的法向彈性力函數(shù)(見式(94))或塑性力函數(shù)(見式(102))在元素ac處匯交，可令式(108)與(109)相等

(110)

將式(104)中φ的定義式代入式(110)得

(111)

將式(106)代入式(111)得

(112)

將式(112)代入式(103)得

(113)

將式(112)代入式(106)得

(114)

微接觸點的面積概率密度為

(0

(115)

式中：aL為最大接觸點的接觸面積。

整體結(jié)合部上的真實接觸面積為

(116)

將式(115)代入式(116)得

(117)

作用于整個結(jié)合部上的法向預(yù)緊力為

(118)

將式(94)和(102)代入式(118)得

(119)

將式(115)代入式(119)得

p(aL>ac)=

(120)

式(120)不同于文獻(xiàn)[30]中的式(9) ～(10)。

3　整體結(jié)合部的摩擦能量耗散

將式(95)代入式(97)得

a=πr2

(121)

(122)

將式(122)代入式(83)得

(0

(123)

各微凸體所受的力與其接觸面積的大小成正比，作用于a上的切向力可以表示為

(124)

式中：Q為作用于整個結(jié)合部上的切向力。

將式(124)代入式(123)得

(0

(125)

作用于a上的法向力為

(126)

將式(126)代入式(125)得

(0

(127)

式(127)不同于文獻(xiàn)[30]中的式(4)。

整個結(jié)合部的摩擦能量耗散為

(128)

將式(127)代入式(128)得

(129)

將式(115)代入式(129)得

(0

(130)

將式(117)代入式(130)得

(131)

式(131)不同于文獻(xiàn)[30]中的式(8)。

可通過研究法向預(yù)緊力p與摩擦能量耗散W的關(guān)系來分析一個簡諧振動周期內(nèi)的接觸阻尼耗能。根據(jù)式(120)及(131)，p與W皆為aL的單值顯函數(shù)。所以通過中間自變量aL，已知工程數(shù)據(jù)p和待求未知數(shù)W形成了一個隱函數(shù)。但困難的是，不能將p和W之間的隱函數(shù)化成顯函數(shù)，最后式(120)及(131)組成了固定結(jié)合部摩擦能量耗散的完整預(yù)判模型。

4　機床螺栓結(jié)合部摩擦能量耗散之算例

以北京機電院高技術(shù)股份有限公司直線電機驅(qū)動Linear MC6000普萊諾五面體加工中心作研究對象，設(shè)計與制造了如圖12所示的龍門橫梁-導(dǎo)軌，該龍門橫梁-導(dǎo)軌由尺寸都是1505 mm×63 mm×58 mm的2個長梁經(jīng)過20顆M16螺栓聯(lián)接構(gòu)成。動力學(xué)試驗過程如圖13所示，在結(jié)合部處黏貼2個電阻應(yīng)變計，電阻應(yīng)變計的敏感柵長度方向平行于橫梁或?qū)к壍拈L度方向，2個電阻應(yīng)變計組成半橋，可以消除橫梁或?qū)к壥軠囟鹊纫蛩氐挠绊?，這樣測量能夠獲得較高的測量靈敏度。以數(shù)控銑床銑削加工龍門橫梁-導(dǎo)軌，用丙酮清洗并吹干結(jié)合部。橫梁與導(dǎo)軌配對形成螺栓結(jié)合部，材料相同皆為45號鋼，材料的參數(shù)如下：硬度與最初屈服強度之比而成的相關(guān)因子K=1， 分形粗糙度

G=1.19×10-9m，結(jié)合部兩接觸材料的彈性模量E′=2.1×1011Pa，結(jié)合部兩接觸材料的當(dāng)量切變模量G′=8×1010Pa，較軟材料的最初屈服強度σy=3.53×109Pa，靜摩擦因數(shù)f=0.2，作用于整個結(jié)合部上的切向交變力幅Q=2×10-8N。錘擊之前，在比利時的LMS Test.Lab 9B振動測試和分析系統(tǒng)中設(shè)置切向交變力幅的閾值，當(dāng)錘擊力過大時，系統(tǒng)會自動發(fā)出人耳明顯能聽到似碗破“當(dāng)”的清脆聲音。文獻(xiàn)[30]提供φ=1.0、E=2.1×1011Pa和σy=3.53×109Pa，與公式φ=σy/E自相矛盾。動荷載是指隨時間作急劇變化的荷載。交變力隨時間作交替變化。

圖12　龍門橫梁-導(dǎo)軌測試試件Fig.12 Measure specimen of gantry beam and guideway

圖13　試驗過程Fig.13 Experimental process

4.1法向預(yù)緊力對摩擦能量耗散的影響

圖14顯示了p對W的影響。

圖14　摩擦能量耗散與法向預(yù)緊力之間的關(guān)系Fig.14 Relation between frictional energy loss and normal preload

4.2分形維數(shù)對摩擦能量耗散的影響

圖15顯示了D對W的影響。

4.3切向力對摩擦能量耗散的影響

當(dāng)D=1.3時，只改變參數(shù)Q，保持其他參數(shù)不變，圖16表明了Q對W的影響。

4.4分形粗糙度對摩擦能量耗散的影響

只改變參數(shù)G，讓其他參數(shù)不變，圖17解釋了G對W的影響。

圖15　表面粗糙輪廓分形維數(shù)對摩擦能量耗散的影響Fig.15 Impact of fractal dimension of a surface harsh profile on frictional energy loss

圖16　切向力對摩擦能量耗散的影響Fig.16 Impact of tangential force on frictional energy loss

4.5相關(guān)因子對摩擦能量耗散的影響

當(dāng)D=1.3時，只改變參數(shù)K，讓其他參數(shù)不變，圖18揭示了K對W的影響。

4.6單軸向屈服應(yīng)變對摩擦能量耗散的影響

當(dāng)D=1.3時，只改變參數(shù)σy，因φ=σy/E′，即只改變參數(shù)φ，讓其他參數(shù)不變，圖19揭示了φ對W的影響。

4.7靜摩擦因數(shù)對摩擦能量耗散的影響

當(dāng)D=1.3時，只改變參數(shù)f，讓其他參數(shù)不變，圖20揭示了f對W的影響。

圖17　分形粗糙度對摩擦能量耗散的影響Fig.17 Impact of fractal roughness on frictional energy loss

圖18 相關(guān)因子對摩擦能量耗散的影響Fig.18Impactofrelatingfactoronfrictionalenergyloss圖19 單軸向屈服應(yīng)變對摩擦能量耗散的影響Fig.19Influenceofuniaxialyieldstrainonfrictionalenergyloss圖20 靜摩擦因數(shù)對摩擦能量耗散的影響Fig.20Effectofstaticfrictioncoefficientonfrictionalenergyloss

5　結(jié)　論

(1) 根據(jù)圖14，隨著法向預(yù)緊力的增大，摩擦能量耗散先增大后減小。后半部分結(jié)論“摩擦能量耗散隨著法向預(yù)緊力的增大而減小”與文獻(xiàn)[30]論斷“平面結(jié)合面切向接觸阻尼的耗能隨著結(jié)合面法向載荷的增大而減小”、文獻(xiàn)[38]論斷“an increase in normal preload causes a decrease in cyclic energy loss”吻合，這是由于結(jié)合表面有相應(yīng)的切向振動，當(dāng)法向預(yù)緊力大時，之后結(jié)合表面間的接觸狀態(tài)開始變成完全粗糙度峰點接觸狀態(tài)，實際接觸區(qū)域增加，相應(yīng)的幅值減小，消耗的能量少。但文獻(xiàn)[30，38]皆未預(yù)測出本文前半部分結(jié)論“當(dāng)法向預(yù)緊力從0在較窄范圍內(nèi)增大時，摩擦能量耗散迅速從0增加到最大值”，這是由于當(dāng)法向預(yù)緊力接近于0，摩擦能量耗散逼近于0，隨著法向預(yù)緊力的增大，相應(yīng)的幅值緩慢減小，但結(jié)合表面間的摩擦力很快增大，所以消耗的能量增加很快。

(2) 根據(jù)圖15(a)，當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)為D=1.35～1.4，摩擦能量耗散隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增大而增大。相應(yīng)地，按照圖15(b)～15(c)，當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)在D=1.4～1.9，摩擦能量耗散隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增加而減少。

(3) 根據(jù)圖16，摩擦能量耗散隨著切向力的增加而加大，與文獻(xiàn)[38]結(jié)果“In general, an increase in tangential force causes an increase in cyclic energy loss”相同。

(4) 根據(jù)圖14和圖16，法向預(yù)緊力使結(jié)合面之間摩擦能量耗散很小，而切向力則耗損較大振動能量(從式(83)也可看出)，形成切向阻尼作用[30]。這是由于，實際上當(dāng)2個粗糙表面相互擠壓時，先接觸的粗糙峰承受很高的法向力，隨后在切向力作用下將發(fā)生屈服變形，微凸體橫向接觸產(chǎn)生的許多能量損失就不能忽略。

(6) 根據(jù)圖18，摩擦能量耗散隨著相關(guān)因子的增加而變大。

(7) 根據(jù)圖19，摩擦能量耗散隨著單軸向屈服應(yīng)變的增加而增大。

(8) 根據(jù)圖20，摩擦能量耗散隨著靜摩擦因數(shù)的增加而降低，這是因為隨著靜摩擦因數(shù)的增大，根據(jù)近代分形幾何理論可知法向預(yù)緊力越大，微滑趨勢將更小，相應(yīng)的幅值緩慢減小，所以消耗的能量變小。本文結(jié)論與文獻(xiàn)[32]論斷“結(jié)合面切向阻尼系數(shù)隨著結(jié)合面之間摩擦因數(shù)的增大而增大并趨于恒定”完全相反。靜摩擦力等于切向力，與靜摩擦因數(shù)無關(guān)，但最大靜摩擦力與靜摩擦因數(shù)有關(guān)[11]。本文結(jié)論適用于小載荷。

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Frictional energy loss mechanism of bolt joint interface in machine tools considering transverse loading-unloading-oscillating strong interaction

TIAN Hongliang, YU Yuan, ZHANG Yi, CHEN Tianmin, ZHENG Jinhua

(College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China)

When a normal force acting on an asperity kept constant, the tangential loading, tangential unloading and tangential oscillating contact equations between tangential force and deformation were deduced in detail. The mechanical model for shear contact frictional energy dissipation per cycle was built when two spherical asperities contacted. Based on Hertz static elastic normal contact theory, the curvature radius of the asperity’s top was derived. Owing to the smooth and continuous properties of normal force of microcontact, the mathematical expressions about critical elastic deformation micro-contact area and critical deformation were modified. Facing the equations with conditions and based on elastic and purely plastic deformation, the theoretical models for bolt joint interface normal force and transverse contact frictional energy dissipation were established. A gantry beam-rail bolt joint interface was taken as a study object in the Linear MC6000 Plano pentahedral machining center driven by a linear motor of Beijing Machine and Electricity Institute High-Tech Company Limited. The influence laws of normal preload, fractal dimension of a surface harsh profile, tangential force, fractal roughness, related factor, uniaxial yield strain and static friction coefficient on the transverse contact frictional energy dissipation were analyzed. Furthermore, the visual numerical analysis results showed that the transverse contact frictional energy dissipation firstly increases and then diminishes with increase in normal preload; the transverse contact frictional energy dissipation increases with increase in the fractal dimension or fractal roughness of a surface rough profile in the smaller range of the fractal dimension of the surface rough profile; the transverse contact frictional energy dissipation decreases with increase in the fractal dimension or fractal roughness of a surface rough profile in the larger range of fractal dimension of the surface rough profile; the transverse contact frictional energy dissipation increases with increase in tangential force, related factor and uniaxial yield strain; that the transverse contact frictional energy dissipation decreases with increase in static friction coefficient is completely opposite to the classical conclusion, this is because that when the static friction coefficient becomes larger, the normal preload becomes higher based on the neoteric fractal geometric theory, and the tendency of microslip becomes much smaller, so the transverse contact frictional energy dissipation becomes smaller.

transverse loading; transverse unloading; transverse oscillating; machine tools; bolt joint interface; normal preload; transverse fluctuation force; frictional energy

國家自然科學(xué)基金面上資助項目(51275273);2016年三峽大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金項目(SDYC2016033)

2015-09-06修改稿收到日期：2016-02-22

田紅亮 男，博士，副教授，1973年6月生

張屹 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1976年12月生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.011