張曉平， 何　琳， 周　煒

(1. 海軍工程大學 振動與噪聲研究所，武漢　430033； 2. 船舶振動噪聲重點實驗室，武漢　430033)

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基于磁致負剛度裝置的低頻隔振平臺理論設計

張曉平1.2， 何琳1.2， 周煒1.2

(1. 海軍工程大學 振動與噪聲研究所，武漢430033； 2. 船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033)

基于ANSYS的有限元法開展了三磁體永磁負剛度裝置優(yōu)化設計，采用APDL參數(shù)化設計語言，分析了永磁體材料特性及結構參數(shù)對負剛度性能的影響。分析表明導磁體能較大程度增強裝置負剛度性能；選擇剩磁大，矯頑力小的永磁體材料能增強裝置的負剛度性能；在體積恒定的情況下，選擇大的長寬比以及合適的寬厚比，能獲得更大的負剛度性能；裝置的初始間隙越小，負剛度性能越強。根據(jù)分析結果，采用永磁負剛度裝置及鋼絲繩隔振器，開展了低頻隔振平臺的理論設計。

負剛度；永磁體；有限元法；低頻；隔振平臺

在精密加工、精密測量領域，如MEMS制造、超大規(guī)模集成芯片生產(chǎn)、微細電火花加工等對環(huán)境振動具有極其嚴格的要求。超低頻、微振動隔振系統(tǒng)[1]能隔離地基和環(huán)境微振動對超精密設備的影響，以提供平穩(wěn)的工作環(huán)境。空氣彈簧[2-3]以其極低的固有頻率及較大的承載能力被廣泛應用于精密隔振平臺，然而空氣彈簧隔振系統(tǒng)復雜，成本高，維護難度大。采用負剛度機構[4-6]與正剛度隔振系統(tǒng)并聯(lián)，能夠降低系統(tǒng)的固有頻率，提高隔振系統(tǒng)的隔振性能。Carrella[7]提出使用三個相互吸引的永磁體構建負剛度機構，實驗表明系統(tǒng)的固有頻率從14 Hz降低到7 Hz。針對質量為3.2 t的圓形微振動平臺，選用承載能力大、固有頻率較低、蠕變小、壽命長的鋼絲繩隔振器作為被動隔振元件，設計適用于該平臺的永磁負剛度裝置，可降低系統(tǒng)的固有頻率至2 Hz以下，具有無需維護、隔振性能優(yōu)異的優(yōu)點。

本文采用基于ANSYS的有限元法，分析永磁體材料特性及結構參數(shù)對負剛度性能的影響，開展優(yōu)化設計，為永磁體負剛度裝置及低頻隔振平臺的設計提供依據(jù)。

1　永磁負剛度裝置原理及有限元分析方法介紹

永磁負剛度裝置主要由三塊永磁體構成，如圖1所示，上下磁體固定與基座，中間磁體連接平臺機腳，三塊永磁體磁化方向相同，中間磁體同時受上下磁體吸引。由于兩塊永磁體之間的磁力隨間隙呈非線性關系，且間隙越小，吸力越大。

圖1　正負剛度并聯(lián)隔振系統(tǒng)Fig.1 Isolation system with positive and negative stiffness

當中間磁體隨平臺向下運動時，下磁體對中間磁體的吸力大于上磁體對它的吸力，中間磁體受磁力向下，且位移越大，磁力越大；向上運動時中間磁體磁力向上，且位移越大，磁力越大。由于運動過程中，中間磁體所受磁力與系統(tǒng)恢復力方向相反，該裝置具有負剛度特性。

永磁負剛度裝置的剛度與永磁體材料、尺寸、磁體之間的間隙、導磁結構等因素有關，永磁體磁力的理論分析[8-9]非常復雜，而實驗研究[10]成本高、耗時長。

基于ANSYS的有限元計算方法能夠快速、準確地研究各參數(shù)對負剛度的影響。永磁負剛度裝置采用了三塊方形永磁體，采用三維靜態(tài)磁場標量法對其進行參數(shù)化建模及仿真分析。裝置關于XZ、YZ兩個面對稱，為降低計算量，建模時僅截取裝置的四分之一，采用四面體單元、自由網(wǎng)格劃分方式對所有體進行單元劃分，有限元模型如圖2所示。

圖2　永磁負剛度裝置有限元模型Fig. 2 Finite element model of PMNSD

給中間磁體施加力標志。采用FMAGSUM對中間磁體上的虛功力求和。本文運用APDL提供的循環(huán)控制語句*DO、*ENDDO在自動修改參數(shù)后重復執(zhí)行命令流。計算不同永磁體材料、尺寸、間隙條件下中間磁體的磁力隨位移的變化，并對磁力與位移的曲線進行擬合，得到永磁負剛度裝置在平衡位置的動剛度。

2　永磁負剛度裝置剛度影響因素分析

2.1剛度隨位移變化的特性分析

永磁體磁力與磁體間距離呈強烈的非線性關系，文獻[11]采用了四次多項式對兩磁體間磁力進行了擬合，而磁致負剛度裝置的中間磁體所受磁力可表示為

(1)

式中:a，b為永磁負剛度裝置的磁力系數(shù)。由此可得到永磁負剛度裝置的剛度為：

K=-a-bx2

(2)

可見，永磁負剛度裝置的剛度與位移成二次方的非線性關系。

表1　 剛度隨位移變化特性分析計算條件

根據(jù)表1的參數(shù)，計算永磁負剛度裝置在大位移變化(±8 mm)的情況下中間磁體磁力與位移的關系，如圖3所示。

圖3　大位移條件下的磁力-位移曲線Fig.3 Magnetic force-displacement curve under large displacement

圖中可以看到中間磁體磁力與位移呈一定的非線性關系，采用三次多項式對曲線進行擬合，得到

F=-1.57-410.33x+0.0145x2-1.06x3

(3)

根據(jù)式(1)及式(2)，對式(3)作一定的近似，舍去小量——常數(shù)項及二次項，得到系數(shù)

a=410.33,b=0.35

(4)

由于剛度表達式中二次項系數(shù)很小，剛度非線性并不是特別明顯。另外，精密儀器設備工作過程中位移在1 mm以內(nèi)，同樣采用表1中的參數(shù)，計算得到永磁負剛度裝置在小位移(±2 mm)變化條件下的剛度系數(shù)為

a=417.16,b=0.037

(5)

可見，二次項系數(shù)非常小，可以忽略不計。因此可以將永磁負剛度裝置在±2 mm位移范圍內(nèi)的剛度近似為線性的，其剛度值采用的仿真曲線擬合得到。

2.2導磁體對剛度的影響

按照表2中的參數(shù)進行計算。在自由空間中，永磁體的磁場將填充整個臨近的空間區(qū)域，如圖4所示，如不采取任何導磁措施，永磁體負剛度裝置對外輻射強烈的磁場，嚴重影響系統(tǒng)其他部件。

表2　導磁體影響計算參數(shù)

圖4　無導磁體的磁場分布Fig.4 Magnetic field without magnetizer

在永磁體上、下、左、右四個面采用厚度為20 mm的純鐵制作一個封閉的環(huán)，構成封閉的磁路，分析表明，永磁體外的磁場基本上沿著導磁體通過，僅有極少量漏磁，如圖5所示。

圖5　無導磁體的磁場分布Fig.5 Magnetic field with magnetizer

另外，計算發(fā)現(xiàn)加裝導磁體后，則裝置剛度由-192.8 N/mm變?yōu)?454.4 N/mm，如圖6所示。分析認為，導磁體構成了一條封閉的磁路，幾乎沒有漏磁和損耗，磁體間氣隙的磁通量最大化，因此中間磁體受的磁力也是最大化的，裝置負剛度特性得到明顯增強。

圖6　磁力-位移曲線(有、無導磁體對比) Fig.6 Magnetic force-displacement curve with or without magnetizer

2.3永磁體材料屬性對剛度的影響

永磁體材料屬性主要包含剩磁感應強度Br和矯頑力Hcb，采用APDL三層嵌套循環(huán)，按照表3的參數(shù)，計算了不同Br和Hcb時的剛度。

表3　材料屬性影響計算條件

圖7　材料屬性對裝置剛度的影響Fig.7 Effect of material properties on device’s stiffness

從圖7可以看出，剩磁對剛度的影響非常大，以Hcb=1 000 kA/m為例，當剩磁Br從1 T增加到1.5 T，永磁負剛度裝置的剛度由-194 N/mm變到-454 N/mm。裝置負剛度特性隨剩磁增強而增強。

矯頑力對剛度的影響較小，以Br=1.25 T為例，當矯頑力Hcb從800 kA/m增加到1 200 kA/m，裝置剛度由-316.2 N/mm變到-304.7 N/mm。裝置負剛度特性隨矯頑力增大而減弱。

因此，為增強裝置的負剛度特性，應盡量選擇剩磁大，矯頑力小的永磁體材料。

2.4永磁體結構長寬比對剛度的影響

通常，永磁體體積越大，磁力也越大，裝置的負剛度也越強。但是相同體積下永磁體的結構尺寸對剛度也有一定的影響。定義永磁體長寬比λ=L/W，在永磁體體積恒定的條件下，保持面積S=LW及厚度H恒定，按照表4的參數(shù)，計算不同λ情況下裝置的剛度，結果見圖8。

表4　長寬比影響計算條件

圖8　長寬比對裝置剛度的影響Fig.8 Effect of λ on device’s stiffness

可以看到，剛度曲線并非關于λ=1對稱，且在λ≈1/2附近具有極大值(受結構參數(shù)的影響，極大值位置會發(fā)生變化)，在λ小于極大值段，隨著λ增加，裝置剛度增加，負剛度特性減弱；在λ大于極大值段，隨著λ增加，裝置剛度減小，負剛度特性增強，且增幅較大。

這是由于導磁體位于L×H面的側邊，當λ減小，永磁體寬度W增加，長度L減小，則導磁體的截面積L×HL減小，導磁體中產(chǎn)生了磁飽和現(xiàn)象，裝置中的漏磁嚴重，影響了剛度；而當λ增大，導磁體的截面積大，不會產(chǎn)生磁飽和，磁路上漏磁越小，充分發(fā)揮了永磁體的磁力。

因此，為增強裝置的負剛度特性，在永磁體體積恒定、厚度恒定的情況下，應選擇矩形截面，且應盡量選擇較大的長寬比。同時應保證導磁體平行于長邊，以增大導磁體截面積。

2.5永磁體寬厚比對剛度的影響

定義永磁體寬厚比α=W/H，永磁體體積保持恒定，且L=W，按照表5的參數(shù)，計算不同α情況下裝置的剛度，結果見圖9。

表5　寬厚比影響計算條件

圖9　寬厚比對裝置剛度的影響Fig.9 Effect of α on device’s stiffness

從計算結果可以看到，隨著寬厚比增大，裝置的剛度呈先顯著減小，后緩慢地減小，在α≈3.4附近取得極小值(受結構參數(shù)的影響，極小值位置會發(fā)生變化)，然后隨α增加，剛度又緩慢增加。因此，在設計永磁體結構時，若限定了永磁體的體積，則應優(yōu)先考慮增大感應面積。但是，一方面，由于永磁體材料較脆，若厚度太小，結構強度不足；另一方面，若一味地增大寬厚比，裝置的負剛度特性反而會減弱，因此應當根據(jù)計算合理地選擇寬厚比。

2.6初始間隙對剛度的影響

由于永磁體之間的吸力與磁體間的間隙呈強烈的非線性關系，永磁負剛度裝置的初始間隙對剛度具有較大的影響。圖10計算出了初始間隙3 mm～10 mm條件下裝置的剛度，可以看到，隨著間隙增加，裝置負剛度特性迅速減弱。

表6　初始間隙影響計算條件

圖10　初始間隙對裝置剛度的影響Fig.10 Effect of initial gap on device’s stiffness

因此，在滿足平臺正常工作的運動位移范圍條件下，應盡量使用小的初始間隙，以充分發(fā)揮裝置的負剛度特性。

2.7綜合分析

通過以上對有無導磁體、永磁體材料屬性、長寬比、寬厚比、初始間隙等對永磁負剛度裝置的剛度的影響分析，綜合各方面因素，得到以下幾條設計準則：

(1) 設計具有足夠截面積的導磁體，使永磁負剛度裝置形成一條最佳的封閉磁路，盡可能減小漏磁，一方面可以增強負剛度性能，另一方面還能控制永磁負剛度裝置對其外部設備的磁場影響；

(2) 盡可能選用剩磁大，矯頑力相對較小的永磁體材料；

(3) 根據(jù)永磁體負剛度裝置的外形尺寸限制，將永磁體設計為長方形，長寬比取1～4；

(4) 充分利用尺寸空間，使永磁體的感應面積最大，其次盡可能增大厚度，厚度一般不超過寬邊長度；

(5) 結合永磁負剛度裝置的應用場合，確定工作位移及極限位移，將永磁負剛度裝置的最小初始間隙設為比極限位移大1～2 mm。

(6) 根據(jù)被動隔振系統(tǒng)剛度，確定所需要的負剛度的大小，通過調(diào)節(jié)永磁體結構尺寸以及初始間隙，設計負剛度合適的永磁負剛度裝置。

3　低頻隔振平臺設計

3.1系統(tǒng)設計

低頻隔振平臺總質量為3.2 T，選用四個HGGS-800型鋼絲繩隔振器進行支撐，并聯(lián)四只永磁負剛度裝置，結構如圖11所示。

圖11　低頻隔振平臺結構示意圖Fig.11 Diagram of low frequency vibration isolation platform

平臺安裝時，首先采用四個鋼絲繩隔振器支撐上層平臺，并在上層平臺上安放好精密儀器設備，讓鋼絲繩隔振器穩(wěn)定工作在靜平衡位置。將永磁負剛度裝置的中間磁體調(diào)整到上下磁體的正中央，即平衡位置，并鎖定，然后將其安裝到下層平臺中間，并采用墊片調(diào)整其與上層平臺之間的間隙，最后解除永磁負剛度裝置鎖定，使上層平臺可以在一定范圍內(nèi)上下運動。由于永磁負剛度裝置的中間磁體位于平衡位置，并不會產(chǎn)生對外的力，上層平臺始終保持在原來的靜平衡位置，即未改變平臺的靜剛度。永磁負剛度裝置能夠抵消鋼絲繩隔振器的正剛度，降低了平臺的動剛度。

3.2系統(tǒng)固有頻率設計

額定載荷下動剛度為980 N/mm，根據(jù)固有頻率常規(guī)計算公式：

為降低平臺的固有頻率到2 Hz以下，要求單個負剛度裝置的剛度為：

選用某廠家一種性能優(yōu)異的永磁材料，其剩磁Br=1.39 T，矯頑力Hcb=1 011 kA/m。隔振平臺正常工作情況下運動位移范圍限制在±1 mm以內(nèi)，因此設置負剛度裝置初始間隙為2 mm。受結構尺寸限制及結構強度要求，長寬均小于200 mm，選擇長寬比約為2～4，在平行長邊的方向上設置導磁體，厚度為15 mm～30 mm以內(nèi)。按照表7、表8、表9中的永磁體長、寬、導磁體厚度參數(shù)進行相關計算。

從計算結果可以看到，當厚度為15 mm時，滿足剛度需求的最小永磁體尺寸為200 mm×100 mm×15 mm，體積為300 cm2；當厚度為20 mm時，滿足剛度需求的最小永磁體尺寸為200 mm×60 mm×20 mm，體積為240 cm2；當厚度為25 mm時，滿足剛度需求的最小永磁體尺寸為200 mm×50 mm×25 mm，體積為250 cm2。同時考慮到永磁體材料非常脆，為保證裝置強度，厚度不宜太小。又若永磁負剛度裝置負剛度過強，系統(tǒng)的剛度過于低，會導致系統(tǒng)抗干擾能力弱。因此，經(jīng)綜合考慮，最終選擇寬度為永磁體尺寸為200 mm×60 mm×20 mm。此時，隔振平臺系統(tǒng)的固有頻率為：

表7　永磁負剛度裝置剛度計算(厚度15 mm)

表8　永磁負剛度裝置剛度計算(厚度20 mm)

表9　永磁負剛度裝置剛度計算(厚度25 mm)

3.3系統(tǒng)動力學特性分析

由于低頻隔振平臺主要是用于隔離環(huán)境微振動對精密儀器設備的影響，上層平臺在工作中產(chǎn)生的位移極其微小，可以忽略鋼絲繩隔振器及永磁負剛度裝置的非線性影響，將鋼絲繩隔振器簡化為剛度元件及阻尼元件，將永磁負剛度裝置簡化為負剛度元件。

低頻隔振平臺屬于積極隔振系統(tǒng)，下層平臺至上層平臺之間的位移傳遞率為：

(6)

當系統(tǒng)不并聯(lián)永磁負剛度裝置時，

k=4×980 000=39 200 000

c=4×200=800

(7)

當系統(tǒng)并聯(lián)永磁負剛度裝置時，

k=4×(980 000-878 400)=406 400

c=4×200=800

(8)

將式(7)、式(8)分別帶入式(6)中，可得到并聯(lián)永磁負剛度裝置后系統(tǒng)的隔振性能曲線，如圖12所示。可見，永磁負剛度裝置能夠顯著提高隔振系統(tǒng)的低頻隔振效果，并聯(lián)永磁負剛度裝置后，100 Hz以下頻帶的寬頻隔振效果提高了6.3 dB。

圖12　低頻隔振系統(tǒng)位移傳遞率Fig.12 Displacement transmissibility oflow frequency vibration isolation platform

4　結　論

永磁負剛度裝置采用三塊永磁體產(chǎn)生負剛度特性，與具有正剛度的鋼絲繩隔振器并聯(lián)使用，可降低系統(tǒng)的固有頻率，提高隔振平臺的低頻隔振效果。本文采用ANSYS的APDL參數(shù)化設計語言，分析了永磁體材料特性及結構參數(shù)對永磁體負剛度裝置負剛度性能的影響，分析表明：① 導磁體能較大程度增強裝置負剛度性能；② 選擇剩磁大，矯頑力小的永磁體材料能增強裝置的負剛度性能；③ 在體積恒定的情況下，選擇大的長寬比以及大的寬厚比，能獲得更強的負剛度性能；(4)裝置的初始間隙越小，負剛度性能越強。最后，針對3.2 t重的微振動平臺，通過計算選擇合適的永磁體尺寸，設計出的永磁負剛度裝置能使低頻隔振平臺的固有頻率達到1.79 Hz，使用永磁負剛度裝置后平臺的隔振效果提高了6.3 dB。

[1] 陳智鋒，張紹宗，呂海寶，等．隔振設計在超精密加工與測量中的應用[J]．航空精密制造技術，2002，38(3)：10-13.CHEN Zhi-feng, ZHANG Shao-zong, Lü Hai-bao, et al. The application of design of vibration insulation in ultra precision machining and measuring[J]. Aviation Precision Manufacturing Technology,2002,38(3):10-13, 31.

[2] 羅奇．大型超低頻空氣彈簧隔振平臺電磁阻尼系統(tǒng)相關研究[D]．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學，2006.

[3] 趙建文．空氣彈簧在光學平臺隔振系統(tǒng)中的應用研究[D]．西安:西安電子科技大學，2006.

[4] 紀晗，熊世樹，袁涌，等．基于負剛度原理的結構減震效果理論分析[J]．振動與沖擊，2010，29(3)：91-94.

JI Han, XIONG Shi-shu, YUAN Yong, et al. Influence analysis of the structural seismic reduction effect based on negative stiffness principle[J].Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(3): 91-94.

[5] 紀晗，熊世樹，袁涌．基于負剛度原理的結構隔震效果分析[J]．華中科技大學學報:自然科學版，2010，38(2)：76-79.

JI Han, XIONG Shi-shu, YUAN Yong. Analyzing vibration isolation effect of structures using negative stiffness principle[J]. Journal of Huazhong University of Science & Technology:Natural Science Edition,2010, 38(2): 76-79.

[6] 路純紅，白鴻柏．新型超低頻非線性被動隔振系統(tǒng)的設計[J]．振動與沖擊，2011，30(1)：234-236.

LU Chun-hong, BAI Hong-bai. A new type nonlinear ultra-low frequency passive vibration isolation system[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(1):234-236.

[7] Carrella A，Brennan M J，Waters T P， et al．On the design of a high-static-low-dynamic stiffness isolator using linear mechanical springs and magnets[J]．Journal of Sound and Vibration, 2008, 315:712-720.

[8] 田錄林，楊小萍，李言，等．適用于永磁軌道及永磁軸承的解析磁力模型的研究[J]．摩擦學報，2008，28(1)：33-73.

TIAN Lu-lin, YANG Xao-ping, LI Yan, et al. Analytical magnetic force model for permanent magnetic guide way and permanent magnetic bearings[J].Tribology, 2008, 28(1):33-73.

[9] Ebrahimi B, Khamesee M B, Golnaraghi M F. Design and modeling of a magnetic shock absorber based on eddy current amping effect[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008,(315): 875-889.

[10] 李強，徐登峰，范新，等．新型永磁隔振器的隔振性能分析與實驗研究[J]．振動與沖擊，2013，32(13)：6-11．

LI Qiang, XU Deng-feng, FAN Xin, et al. Analysis and test of vibration isolation performance for a novel permanent magnet vibration isolator[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(13): 6-11.

[11] 謝佳君，高學緒，包小倩. 永磁體磁力與永磁隔振系統(tǒng)固有頻率分析[J].磁性材料及器件，2011，42(2)：17-19.

XIE Jia-jun, GAO Xue-xu, BAO Xiao-qian. Analysis of magnetic force between cylinder magnet pair(s) and natural frequency of vibration isolation system based on them[J]. Journal of Magnetic Materials and Devices,2011, 42(2)：17-19.

Theoretical design of a low frequency vibration isolation platform based on permanent magnet negative-stiffness device

ZHANG Xiaoping1,2, HE Lin1,2, ZHOU Wei1,2

(1.National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise, Wuhan 430033, China;2. Institute of Noise and Vibration, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Theoretical design of permanent magnet negative-stiffness devices(PMNSDs) was developed with the finite element software ANSYS. The effects of magnet material characteristics and structural parameters on their negative-stiffness performance were analyzed using APDL. The results showed that the devices’ negative-stiffness performance can be improved by using magnetizers and the magnet material with higher remanence and lower coercivity, the larger ratio of length to width, the appropriate ratio of width to thickness, and the devices’ clearance as small as possible. Based on the above study results, the theoretical design of a low frequency vibration isolation platform using PMNSDs and wire-rope isolators was developed.

negative stiffness; permanent magnets; finite element method; low frequency; vibration isolation platform

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2015-05-07修改稿收到日期：2015-08-05

張曉平 男，博士生，1986年10月生

何琳 男，教授，博士生導師，1957年11月生

TU317

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.031