周鎮(zhèn)宇　唐進(jìn)元　丁　撼

中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410083

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變位非正交面齒輪副小輪齒向修形輪齒接觸分析

周鎮(zhèn)宇唐進(jìn)元丁撼

中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410083

建立了變位非正交面齒輪的加工坐標(biāo)系和嚙合坐標(biāo)系，推導(dǎo)了變位小輪及變位非正交面齒輪的齒面方程，計(jì)算得到了面齒輪數(shù)值齒面，分析了變位對(duì)非正交面齒輪齒寬的影響。在變位的基礎(chǔ)上研究了對(duì)小輪進(jìn)行齒向鼓形修形，而面齒輪不修形的修形方式。分別對(duì)未變位、變位、變位加小輪齒向修形的三種非正交面齒輪傳動(dòng)形式進(jìn)行考慮安裝誤差的輪齒接觸分析。研究表明：隨著變位系數(shù)增大，非正交面齒輪最小內(nèi)半徑、最大外半徑及極限齒寬均減??；變位不影響非正交面齒輪副的接觸規(guī)律；小輪齒向修形能降低接觸軌跡對(duì)安裝誤差的敏感性，會(huì)引起幅值較小的直線型傳動(dòng)誤差。

非正交面齒輪；變位；齒向修形；輪齒接觸分析

0　引言

面齒輪傳動(dòng)是一種由圓柱齒輪與圓錐齒輪相嚙合的新型齒輪傳動(dòng)方式，其中錐齒輪齒面與普通圓錐齒輪齒面有所不同，是采用齒形為漸開(kāi)線的圓柱插齒刀經(jīng)過(guò)展成運(yùn)動(dòng)包絡(luò)得到的[1]。面齒輪傳動(dòng)因具有獨(dú)特的分流特性，在國(guó)外已成功應(yīng)用于直升機(jī)分流、匯流傳動(dòng)中[2-3]。面齒輪傳動(dòng)可實(shí)現(xiàn)相交軸間的運(yùn)動(dòng)傳遞，當(dāng)其兩軸線間的夾角γ=90°時(shí)，稱為正交面齒輪傳動(dòng)，當(dāng)γ≠90°，稱為非正交面齒輪傳動(dòng)。根據(jù)插齒加工原理，在面齒輪插齒加工過(guò)程中，將會(huì)產(chǎn)生內(nèi)端根切及外端齒頂變尖的現(xiàn)象，這使得面齒輪的齒寬大小受到限制，從而極大影響面齒輪的承載能力[4-9]。而變位與修形是改善齒輪傳動(dòng)性能，提高齒輪承載能力的有效方法，因此有必要研究面齒輪傳動(dòng)的變位與修形[10-11],而且從目前的文獻(xiàn)來(lái)看，研究對(duì)象基本為正交面齒輪副，而對(duì)非正交面齒輪副變位與修形的研究尚未見(jiàn)報(bào)道。

本文推導(dǎo)了變位小輪及變位非正交面齒輪的齒面方程，并在變位的基礎(chǔ)上對(duì)小輪進(jìn)行了齒向修形，研究了變位對(duì)非正交面齒輪齒寬的影響，分別對(duì)未變位、變位、變位加小輪齒向修形的非正交面齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了考慮安裝誤差的輪齒接觸分析，對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比研究[12-15]。

1　非正交面齒輪變位原理

面齒輪采用插齒刀加工，為了加工出變位的面齒輪齒形，需采用變位的插齒刀，在保證中心距不變的條件下，若采用的是正變位的插齒刀，則加工出來(lái)的是相應(yīng)變位量的負(fù)變位面齒輪；反之，若采用的是負(fù)變位的插齒刀，則加工出來(lái)的是相應(yīng)變位量的正變位面齒輪。圖1所示為采用變位插齒刀加工變位面齒輪的示意圖，其中，原點(diǎn)為O2、Os、Om的坐標(biāo)系分別為與被加工齒輪固結(jié)的坐標(biāo)系(S2)、與變位插齒刀固結(jié)的坐標(biāo)系(Ss)、機(jī)床坐標(biāo)系(Sm)。而變位的插齒刀齒面及嚙合小輪的齒面是采用齒條刀具通過(guò)改變中心距包絡(luò)得到的，圖2a所示為其虛擬加工坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為O1、Of的坐標(biāo)系分別為與齒條刀具固結(jié)的坐標(biāo)系(S1)及機(jī)架剛性固結(jié)的坐標(biāo)系Sf。

圖1　變位非正交面齒輪加工

2　變位小輪及變位插齒刀齒面方程

2.1齒條刀具方程

變位小輪及變位插齒刀的齒面是由齒條齒面展成得到的，齒條刀具齒廓線為直線，如圖2b所示，其齒廓線可用下式表示于坐標(biāo)系S1中：

(a)變位小輪與插齒刀虛擬加工坐標(biāo)系　　　(b)齒條刀具輪廓圖2　變位小輪及變位插齒刀加工坐標(biāo)系

(1)

其中，α為壓力角；u為變參數(shù)，用于確定齒廓上流動(dòng)點(diǎn)的位置(對(duì)于點(diǎn)M，u>0；對(duì)于點(diǎn)M*，u<0)。齒條齒面的單位法線矢量為

n1=(cosα,-sinα,0)

(2)

2.2變位小輪及變位插齒刀齒面方程

I為瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心，x為變位系數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)即代表無(wú)變位。m為模數(shù)，φ為齒輪轉(zhuǎn)角，齒條刀具的位移s與齒輪轉(zhuǎn)角φ具有關(guān)系：s=rφ。

由于變位小輪及變位插齒刀齒面推導(dǎo)過(guò)程是一致的，所以下面僅以變位插齒刀為例推導(dǎo)其齒面方程。

變位插齒刀的齒面方程可以表示為

r2=M21r1=M2fMf1r1

(3)

(4)

為了方便推導(dǎo)面齒輪齒面方程和MATLAB建模，將變位插齒刀的齒廓漸開(kāi)線表示在圖3所示的坐標(biāo)系Ss中，其中虛線表示變位后的漸開(kāi)線齒廓。通過(guò)坐標(biāo)變換及參數(shù)代換，可得變位插齒刀齒面方程為

(5)

(6)

式中，rbs為插齒刀基圓半徑；us為標(biāo)記在zs方向的齒面參數(shù)；θs為漸開(kāi)線參數(shù)；θos為用來(lái)確定插齒刀在基圓上齒槽寬的參數(shù)；rs為插齒刀的分度圓半徑；Ns為插齒刀齒數(shù)。

圖3　插齒刀漸開(kāi)線齒廓

2.3含齒向修形的變位小齒輪齒面方程

變位小輪齒面方程與變位插齒刀齒面方程具有相同的推導(dǎo)過(guò)程，且具有相同的表達(dá)形式，其齒面方程為

(7)

式中，u1為標(biāo)記在z1方向的齒面參數(shù)；θ1為變位小齒輪的漸開(kāi)線參數(shù)；rb1為變位小齒輪基圓半徑；θo1為用來(lái)確定變位小齒輪在基圓上齒槽寬的參數(shù)。

現(xiàn)對(duì)變位小輪采用等半徑圓弧鼓形修形，修形齒面由原來(lái)的小輪齒面上任意點(diǎn)沿著其內(nèi)法線方向偏移一定距離(修形量)而得。圖4中虛線表示的齒面為修形后的齒面。圖5所示為齒向修形齒廓。圖中Δc為最大鼓形量，Rg是鼓形半徑，b 為齒寬，u為齒寬參數(shù)，cβ為齒廓上任一點(diǎn)的修形量。

圖4　齒向修形后的小輪齒面

圖5　齒向修形齒廓圖

由圖5可得以下幾何關(guān)系式：

(8)

(9)

由式(8)和式(9)可知，當(dāng)給定齒寬b以及最大修形量Δc后，即可求得鼓形半徑Rg和齒廓上任意點(diǎn)的鼓形量cβ關(guān)于齒寬參數(shù)u的函數(shù)。

當(dāng)變位小輪齒面點(diǎn)沿著其單位法矢負(fù)方向偏移cβ時(shí)，其在橫軸和縱軸的偏移分量分別為

(10)

則參照未修形時(shí)的齒面方程，易得修形后的齒面方程為

r1(u1,θ1)=

(11)

3　變位非正交面齒輪齒面方程

面齒輪的齒面可用表示在坐標(biāo)系S2中的插齒刀齒面Σs的曲面族的包絡(luò)來(lái)確定。為了推導(dǎo)面齒輪齒面Σ2，使用圖6所示的坐標(biāo)系。其中Ss和S2分別是隨插齒刀和面齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系；Sm和Sp是與機(jī)架剛性固結(jié)的輔助坐標(biāo)系。軸線zs和z2所夾的角度γm=180°-γ為面齒輪傳動(dòng)的軸交角。

變位非正交面齒輪的齒面方程在坐標(biāo)系S2中表示為

(12)

式中,f(us,θs,φs)用來(lái)表示嚙合方程；v(s2)為相對(duì)速度；M2s為轉(zhuǎn)換矩陣。

(a)插齒刀旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系

(b)插齒刀與面齒輪坐標(biāo)系圖6　面齒輪加工坐標(biāo)系

由于在加工過(guò)程中，面齒輪內(nèi)端易發(fā)生根切現(xiàn)象，必須限制插齒刀的齒面Σs。Σs上的界限線L根據(jù)以下方程確定:

(13)

(14)

(15)

(16)

界限線L與插齒刀頂圓柱的交點(diǎn)就是根切的界限點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)即可確定面齒輪最小內(nèi)半徑R1。

根據(jù)變尖點(diǎn)坐標(biāo)只有齒寬方向坐標(biāo)值不等于零(在Sg坐標(biāo)系下)，其余兩坐標(biāo)軸方向的坐標(biāo)值均等于零，編寫MATLAB程序解非線性方程即可解得面齒輪最大外半徑R2。則面齒輪極限齒寬為

b=R2-R1

(17)

4　變位對(duì)非正交面齒輪齒寬的影響

為了分析變位對(duì)非正交面齒輪齒寬的影響，采用表1中算例1的齒輪參數(shù)，在區(qū)間[-0.3，0.3]內(nèi)均勻選取50個(gè)數(shù)值作為變位值，編寫MATLAB程序計(jì)算內(nèi)外徑和極限齒寬，得到圖7所示的規(guī)律圖。從圖7可見(jiàn)，隨著非正交面齒輪變位系數(shù)由負(fù)到正不斷增大，其最大外徑有所減小，最小內(nèi)徑只有輕微的減小，從圖中難以看出變化，可見(jiàn)正變位對(duì)避免根切的作用是很有限的，而正變位引起的最大外徑的減小能使面齒輪的整體尺寸減小，質(zhì)量減輕，符合航空齒輪的設(shè)計(jì)理念；且正變位能使非正交面齒輪的齒厚增加，這能明顯提高其承載能力。但隨著變位量的增大，面齒輪的極限齒寬有所減小，不利于面齒輪的承載能力，但其減小的幅度并不大。

圖7　非正交面齒輪內(nèi)外徑及極限齒寬

5　非正交面齒輪傳動(dòng)齒面接觸分析

齒面接觸分析的算法基于描述兩齒面Σ1和Σ2的連續(xù)接觸方程。采用的坐標(biāo)系如圖8所示。其中S1和S2分別隨小輪和面齒輪一起轉(zhuǎn)動(dòng)，Sf和Se分別為對(duì)應(yīng)小齒輪和面齒輪的固定坐標(biāo)系，Sq、Sd和Se是為模擬面齒輪的安裝誤差而引入的坐標(biāo)系。ΔE、B和Bcotγ用來(lái)確定原點(diǎn)Oq相對(duì)于原點(diǎn)Of的位置。ΔE是小齒輪和面齒輪兩軸線相錯(cuò)時(shí)兩軸線間的最短距離。采用Se相對(duì)于Sd的位置模擬面齒輪的軸向位移Δq，Sd相對(duì)于Sq的方向模擬相錯(cuò)角γf=180°-γ+Δγ的安裝情況，Δγ是軸交角誤差。

圖8　變位面齒輪嚙合坐標(biāo)系

選定坐標(biāo)系Sf分析Σ1和Σ2的切觸，其切觸方程為

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

6　算例分析

非正交面齒輪傳動(dòng)基本設(shè)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1　非正交面齒輪傳動(dòng)基本設(shè)計(jì)參數(shù)

下面以表1參數(shù)為基本設(shè)計(jì)參數(shù)，分別取非正交面齒輪變位系數(shù)為x=0.2、x=0、x=-0.2，以及在x=0.2的基礎(chǔ)上取修形量Δc=0.02 mm、Δc=0.05 mm，以這5種情況為例進(jìn)行TCA仿真分析，仿真結(jié)果見(jiàn)圖9～圖13。

1. ΔE=0　2. ΔE=0.4 mm　3. ΔE=-0.4 mm(a)含軸相錯(cuò)誤差

1. Δq=0　2. Δq=0.15 mm　3. Δq=-0.15 mm(b)含軸向位移誤差

1. Δγ=0　2. Δγ=0.04 rad　3. Δγ=-0.04 rad(c)含軸交角誤差圖9　含安裝誤差的變位前后接觸軌跡

1. Δc=0　2. Δc=0.02 mm　3. Δc=0.05 mm圖10　標(biāo)準(zhǔn)安裝下修形前后接觸軌跡

1. Δq=0，Δc=0　2. Δq=0.15 mm, Δc=03. Δq=0.15 mm，Δc=0.02 mm　4. Δq=0.15 mm,Δc=0.05 mm(a)修形前后軸向位移誤差對(duì)接觸軌跡的影響

1. Δγ=0, Δc=0　2. Δγ=0.04 rad, Δc=03. Δγ=0.04 rad, Δc=0.02 mm　4. Δγ=0.04 rad,Δc=0.05 mm(b)修形前后軸交角誤差對(duì)接觸軌跡的影響

1. ΔE=0, Δc=0　2. ΔE=0.4 mm, Δc=03. ΔE=0.4 mm, Δc=0.02 mm　4. ΔE=0.4 mm,Δc=0.05 mm(c)修形前后軸相錯(cuò)誤差對(duì)接觸軌跡的影響圖11　修形前后安裝誤差對(duì)接觸軌跡的影響

由圖9分析可知,安裝誤差會(huì)引起接觸軌跡的左右移動(dòng)，而變位前后接觸軌跡一致，即變位對(duì)接觸軌跡的形狀不產(chǎn)生影響，且變位不改變安裝誤差對(duì)接觸軌跡的影響規(guī)律及影響程度。由圖10可知，同樣在標(biāo)準(zhǔn)安裝的情況下，當(dāng)含有小輪齒向修形時(shí)，接觸軌跡會(huì)往面齒輪齒寬中心位置靠近，且修形量越大，接觸軌跡越靠近齒寬中心位置。圖11表征的是含小輪齒向修形時(shí)各項(xiàng)安裝誤差對(duì)接觸軌跡的影響。由圖11分析可知,當(dāng)不含小輪齒向修形時(shí)，安裝誤差對(duì)接觸軌跡的移動(dòng)影響顯著，而當(dāng)對(duì)小輪采用齒向修形后，接觸軌跡的移動(dòng)量明顯減小，且修形量越大，軌跡的移動(dòng)量越小，而修形后接觸軌跡的形狀依然是基本垂直于面齒輪齒頂線的一條直線。可見(jiàn)本文提出的對(duì)小齒輪采用齒向等半徑圓弧鼓形修形的方法能顯著降低接觸軌跡對(duì)安裝誤差的敏感性，但不改變接觸軌跡的形狀。

如圖12所示，不含修形的情況下，當(dāng)含變位或不含變位時(shí)，其傳動(dòng)誤差均為零，且安裝誤差不會(huì)引起傳動(dòng)誤差，即變位和安裝誤差均不會(huì)引起傳動(dòng)誤差。而對(duì)小輪采用齒向等半徑圓弧鼓形修形后傳動(dòng)誤差曲線為向下傾斜的直線，且在安裝誤差相同的情況下，最大修形量越大，傳動(dòng)誤差的幅值越大，如圖13所示,其中虛線為Δq=0.2mm，修形量Δc=0.02mm時(shí)的傳動(dòng)誤差，實(shí)線為Δq=0.2mm，修形量Δc=0.05mm時(shí)的傳動(dòng)誤差，實(shí)線幅值大于虛線幅值。

圖12　不含修形時(shí)非正交面齒輪副傳動(dòng)誤差

1. Δq=0.2 mm, Δc=0.02 mm　2. Δq=0.2 mm, Δc=0.05 mm圖13　含齒向修形時(shí)非正交面齒輪副傳動(dòng)誤差

7　結(jié)論

(1)變位對(duì)非正交面齒輪內(nèi)外徑會(huì)產(chǎn)生較小影響，隨著變位系數(shù)增大，非正交面齒輪最小內(nèi)半徑減小，最大外半徑減小且減小程度大于最小內(nèi)半徑，所以極限齒寬有所減小。

(2)變位不影響非正交面齒輪副的接觸規(guī)律，即變位后接觸軌跡的形狀不變，依然是基本垂直于非正交面齒輪齒頂線的直線，這也與正交面齒輪傳動(dòng)接觸特性保持一致，且變位后各項(xiàng)安裝誤差對(duì)接觸軌跡的影響規(guī)律和影響程度均不變。

(3)對(duì)小齒輪采用齒向等半徑圓弧鼓形修形能顯著降低接觸軌跡對(duì)安裝誤差的敏感性，且最大修形量越大，接觸軌跡對(duì)安裝誤差的敏感性越低，此種修形方式使得接觸軌跡往非正交面齒輪齒寬中心位置靠近，但接觸軌跡的形狀并未改變，依然是基本垂直于非正交面齒輪齒頂線的直線。

(4)對(duì)小輪采用齒向等半徑圓弧鼓形修形后傳動(dòng)誤差曲線為向下傾斜的直線，且在安裝誤差相同的情況下，修形量越大，傳動(dòng)誤差的幅值越大。

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(編輯王艷麗)

Tooth Contact Analysis of Profile-shifted Non-orthogonal Face Gear Drive with Longitudinal Modified Pinion

Zhou ZhenyuTang JinyuanDing Han

State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing,Central South University, Changsha, 410083

The coordinate systems for the processing and meshing of the non-orthogonal face gear drive with longitudinal modified pinion use were established. The tooth surface equations of the profile-shifted pinion and the profile-shifted non-orthogonal face gear were deduced; simultaneously the numerical tooth surface of the face gear was calculated. The impacts of profile-shifting on tooth width of the non-orthogonal face gear were analyzed. A kind of modification mode of the face gear drive is studied,where the pinion is longitudinal modified based on considering profile-shifting, while the tooth surface of the face gear is not modified. The tooth contact analysis considering the misalignment errors is conducted for the ordinary non-orthogonal face gear drive, the profile-shifted non-orthogonal face gear drive and the profile-shifted non-orthogonal face gear drive with longitudinal modified pinion respectively. The results show that: the minimum inner radius of the non-orthogonal face gear reduces, the maximum outer radius of the non-orthogonal face gear reduces, and the limit tooth width decreases along with the increasing of the profile-shifting coefficient; profile-shifting has no impact on the contact law of the non-orthogonal face gear drive; a longitudinal modified pinion can reduce the sensitivity of contact path to the misalignment errors and will induce a type of linear transmission errors with low amplitude.

non-orthogonal face gear; profile-shifting; longitudinal modification; tooth contact analysis(TCA)

2015-12-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51535012, 51305462, 51275530)；中南大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(2016zzts301)

TH132.41

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.15.003

周鎮(zhèn)宇，男，1991年生。中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)辇X輪傳動(dòng)及數(shù)字化制造。唐進(jìn)元(通信作者)，男，1962年生。中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授。丁撼，男，1987年生。中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院博士研究生。