邢繼春　張　楠　李　沖

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

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旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由振動(dòng)分析

邢繼春張楠李沖

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

提出了一種新型旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)?？紤]旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)為連續(xù)系統(tǒng)，建立了驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型；利用該動(dòng)力學(xué)模型求解了樣機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)函數(shù)。分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)固有頻率的影響規(guī)律，為旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)的設(shè)計(jì)打下了理論基礎(chǔ)。

旋轉(zhuǎn)尺蠖；驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)；模態(tài)分析；壓電電機(jī)

0　引言

近年來(lái)，利用尺蠖運(yùn)動(dòng)原理的壓電高精密微位移驅(qū)動(dòng)器逐漸應(yīng)用于精密測(cè)量、微機(jī)電系統(tǒng)、精密加工裝配、納米科學(xué)儀器、生物細(xì)胞操縱和半導(dǎo)體裝備等領(lǐng)域[1]。壓電精密驅(qū)動(dòng)器根據(jù)輸出的運(yùn)動(dòng)形式分為直線(xiàn)型和旋轉(zhuǎn)型[2]，根據(jù)驅(qū)動(dòng)信號(hào)的頻率可分為準(zhǔn)靜態(tài)驅(qū)動(dòng)器和超聲驅(qū)動(dòng)器。準(zhǔn)靜態(tài)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率較低，常見(jiàn)的有尺蠖壓電電機(jī)、慣性沖擊式壓電電機(jī)等[3]。驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率較高的超聲驅(qū)動(dòng)器中關(guān)于行波超聲電機(jī)研究的文獻(xiàn)較多，成果也較為突出[4]。而且，現(xiàn)有的旋轉(zhuǎn)型壓電電機(jī)中行波超聲電機(jī)最為常見(jiàn)，其特點(diǎn)為輸出速度較高、行程較大，但在高精密定位中其定位精度和分辨率較低[5]。而準(zhǔn)靜態(tài)壓電電機(jī)中的尺蠖壓電電機(jī)則能將大行程與高精度、高分辨率很好地兼容，并且克服了慣性沖擊式壓電電機(jī)輸出力矩較小的缺點(diǎn)[6]。

目前，尺蠖壓電電機(jī)設(shè)計(jì)研究的類(lèi)型多為直線(xiàn)型驅(qū)動(dòng)器，將尺蠖驅(qū)動(dòng)機(jī)理應(yīng)用到精密旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)技術(shù)中的實(shí)例不多[7]，并且該種電機(jī)的傳動(dòng)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)與控制理論尚不完善，因此，大大限制了尺蠖電機(jī)在微動(dòng)精密控制領(lǐng)域中的應(yīng)用[8-9]。本文提出了一種新型旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電微動(dòng)電機(jī)。該電機(jī)以壓電疊堆作為驅(qū)動(dòng)元件，由于定子的特殊結(jié)構(gòu)，當(dāng)工作時(shí)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)可產(chǎn)生角度位移；并且具有實(shí)現(xiàn)箝位裝置可調(diào)、單個(gè)零件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、能夠?qū)崿F(xiàn)微動(dòng)壓電電機(jī)大行程等優(yōu)點(diǎn)。本文針對(duì)旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)的關(guān)鍵部件驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行自由振動(dòng)分析。

1　旋轉(zhuǎn)選尺蠖壓電機(jī)工作原理

圖1　旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)

圖1為旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)實(shí)物圖及爆炸圖。時(shí)序驅(qū)動(dòng)信號(hào)如圖2所示，圖2中A為驅(qū)動(dòng)電壓幅值，T為電機(jī)工作一個(gè)周期的時(shí)間。當(dāng)施加圖2a所示的時(shí)序信號(hào)時(shí)，圖3中壓電疊堆1伸長(zhǎng)，鉗位機(jī)構(gòu)3頂住轉(zhuǎn)子。繼續(xù)輸入圖2b所示時(shí)序信號(hào)，壓電疊堆5伸長(zhǎng)，由于驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)利用杠桿位移放大原理，驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)7發(fā)生彎曲。鉗位機(jī)構(gòu)3帶動(dòng)轉(zhuǎn)子9順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一定角度θ。當(dāng)輸入圖2c所示時(shí)序信號(hào)時(shí)，壓電疊堆2伸長(zhǎng)頂住轉(zhuǎn)子后，撤銷(xiāo)壓電疊堆1和5的電壓信號(hào)，鉗位機(jī)構(gòu)3和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)7恢復(fù)原狀。鉗位機(jī)構(gòu)4帶動(dòng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)角度θ。將壓電疊堆6輸入圖2d所示的時(shí)序信號(hào)后，壓電疊堆6伸長(zhǎng)，驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)8發(fā)生彎曲，鉗位機(jī)構(gòu)4再帶動(dòng)轉(zhuǎn)子順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角度θ。撤銷(xiāo)壓電疊堆2和6的電壓信號(hào)，鉗位機(jī)構(gòu)4和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)8恢復(fù)原狀。完成了一個(gè)周期的動(dòng)作。重復(fù)上一周期的動(dòng)作，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)完整的連續(xù)運(yùn)動(dòng)。

(a)壓電疊堆1　　　　　　(b)壓電疊堆2

(c)壓電疊堆3　　　　　　(d)壓電疊堆4圖2　時(shí)序驅(qū)動(dòng)信號(hào)

圖3　驅(qū)動(dòng)原理示意圖

2　驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的建立

如圖4所示，驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)由基座和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)兩部分固連組成，并通過(guò)基座上的中心孔與固定軸形成過(guò)盈配合，其中1為壓電堆，2為支撐梁，3為驅(qū)動(dòng)梁，4為基座梁。建立驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化。驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)關(guān)于x軸、y軸成反對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，因此，取驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的1/4進(jìn)行動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究，并作以下假設(shè)：

圖4　驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)軸測(cè)爆炸圖和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)平面圖

(1)考慮驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的彈性變形主要發(fā)生在壓電疊堆、支撐梁、驅(qū)動(dòng)梁和基座梁上。

(2)考慮支撐梁的長(zhǎng)度小于截面高度的5倍，該梁段為鐵摩辛柯梁，故考慮截面剪切慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

(3)考慮支撐梁和基座梁處兩尺寸相同的柔性鉸鏈彎曲變形，忽略拉伸變形，將柔性鉸鏈視為鉸鏈與卷簧的組合，卷簧剛度為K，可利用直圓型柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)剛度公式[7]求解：

s=R/t

式中，Mz為關(guān)于z軸的彎矩；αz為關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)角；E為驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)材料彈性模量；hj為鉸鏈寬度；t為凹口處最小厚度；R為切口半徑。

(4)驅(qū)動(dòng)梁與基座梁通過(guò)兩個(gè)螺釘固連。考慮兩梁在兩螺釘位置l5、l6處有相同的動(dòng)態(tài)位移，如圖5所示。

圖5　驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化模型圖

2.1壓電堆自由振動(dòng)

壓電疊堆為多層壓電陶瓷片的粘合體。考慮壓電疊堆為連續(xù)系統(tǒng)，忽略層與層間的能量耗損，預(yù)緊力不能使壓電堆產(chǎn)生電荷，忽略預(yù)緊力對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的影響，只考慮壓電疊堆縱向振動(dòng)。

(1)

圖6　壓電堆動(dòng)力學(xué)模型

由壓電本構(gòu)方程推導(dǎo)出軸向內(nèi)力表達(dá)式：

(2)

其中，d33為壓電系數(shù)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)V(t)=0時(shí)，把式(2)代入式(1)，令p=0，得到壓電堆軸向振動(dòng)偏微分方程：

(3)

設(shè)式(3)解的形式為

v(y,t)=φp(y)q(t)

(4)

其中，q(t)為廣義坐標(biāo)，壓電堆軸向振動(dòng)模態(tài)φp(y)為

(5)

系數(shù)Ai(i=1,2)由邊界條件確定，進(jìn)而得出無(wú)窮多個(gè)固有頻率ωi(i=1,2,…)及對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)φpi(i=1,2,…)。

2.2支撐梁自由振動(dòng)

簡(jiǎn)化支撐梁，其動(dòng)力學(xué)模型如圖7所示，考慮支撐梁的長(zhǎng)度小于截面高度的5倍，認(rèn)為該梁為鐵摩辛柯梁模型，O1端柔性鉸鏈簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支端和定剛度卷簧，剛度為K。對(duì)支撐梁模型建立坐標(biāo)系，對(duì)應(yīng)的彎曲振動(dòng)橫向位移為y1(x1,t)，梁的密度和彈性模量分別為ρ、E,橫截面積為S1，極慣性矩為I1，作用在梁上的分布載荷為f(x1,t)。

圖7　支撐梁動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)梁的切變模量為G，取厚度dx1為研究對(duì)象，截面產(chǎn)生的切應(yīng)變?chǔ)?Fs/(κGS1)，F(xiàn)s為單元所受剪力，κ為截面形狀因素。截面因剛體轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的角度θ和應(yīng)變?chǔ)枚际怪行妮S的切線(xiàn)偏轉(zhuǎn)，則有?y1/?x1=θ+γ。

對(duì)微元應(yīng)用牛頓第二定律列出平衡方程：

f(x1,t)dx1

(6)

令式(6)中f=0，代入切應(yīng)變，化簡(jiǎn)可得

(7)

考慮截面轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力矩，建立力矩平衡方程：

(8)

其中，M為單元所受彎矩；J為截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J=ρI1。

由力矩和轉(zhuǎn)角的關(guān)系知M=-EI1?θ/?x1，代入式(8)，化簡(jiǎn)整理得

(9)

從式(7)、式(9)中消去θ，可得鐵摩辛柯梁動(dòng)力學(xué)方程：

(10)

僅考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，忽略剪切變形，式(10)可簡(jiǎn)化為

(11)

設(shè)式(11)中解的形式為

y1(x1,t)=φ(x1)q(t)

(12)

其中，φ(x1)為支撐梁的模態(tài)函數(shù)。代入式(11)得

(13)

(14)

(15)

設(shè)式(15)解的一般形式為

φ(x1)=eλx1

(16)

將式(16)代入式(15)，導(dǎo)出本征方程為

λ4+δ2λ2-β4=0

(17)

解出4個(gè)本征值：±iβ1，±β2，其中

則式(15)的通解，即支撐梁的模態(tài)函數(shù)為

φ(x1)=B1cos(β1x1)+B2sin(β1x1)+

B3sinh(β2x1)+B4cosh(β2x1)

其中，系數(shù)Bi(i=1,2,3,4)可由邊界條件確定，并可得到無(wú)窮多個(gè)固有頻率ωi(i=1,2,…)及對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)φi(i=1,2,…)。

2.3驅(qū)動(dòng)梁和基座梁自由振動(dòng)

驅(qū)動(dòng)梁和基座梁動(dòng)長(zhǎng)度均大于截面寬度的5倍，可視為歐拉-伯努利梁。兩個(gè)梁左端分別在長(zhǎng)度為l5、l6處利用螺栓固連，驅(qū)動(dòng)梁右端與壓電堆相連，基座梁右端利用柔性鉸鏈約束。其動(dòng)力學(xué)模型如圖8所示。

圖8　驅(qū)動(dòng)梁和基座梁動(dòng)力學(xué)模型

在驅(qū)動(dòng)梁中，取微元dx2為研究對(duì)象，建立動(dòng)力學(xué)方程：

(19)

以右截面上任一點(diǎn)為矩心建立平衡方程：

(20)

(21)

設(shè)式(21)中方程解的形式為

y2(x2,t)=η(x2)q(t)

(22)

將式(22)代入式(21)導(dǎo)出

η(4)(x2)-β2η(x2)=0

(23)

則式(23)的通解，即驅(qū)動(dòng)梁的模態(tài)函數(shù)為

η(x2)=C1cos(βx2)+C2sin(βx2)+

C3sinh(βx2)+C4cosh(βx2)

其中，系數(shù)Ci(i=1,2,3,4)可由邊界條件確定，從而可以得到無(wú)窮多個(gè)固有頻率ωi(i=1,2,…)及對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)ηi(i=1,2,…)。

在基座梁中，取dx3單元體為研究對(duì)象，微元體沿y3方向的動(dòng)力學(xué)方程為

(25)

微元體滿(mǎn)足力矩平衡條件，力矩平衡方程為

(26)

上述方程與驅(qū)動(dòng)梁動(dòng)力學(xué)方程一致，故可得簡(jiǎn)化后的彎曲振動(dòng)方程：

(27)

將式(27)的解分離變量，把解的形式寫(xiě)成

y3(x3,t)=ψ(y)q(t)

(28)

將式(28)代入式(27)，導(dǎo)出

ψ(4)(x3)-β4ψ(4)(x3)=0

(29)

式(29)的通解，即基座梁的模態(tài)函數(shù)為

ψ(x3)=D1cos(βx3)+D2sin(βx3)+

D3sinh(βx3)+D4cosh(βx3)

通過(guò)邊界條件可確定式(30)中系數(shù)Di(i=1,2,3,4)，進(jìn)而得到固有頻率ωi(i=1,2,…)及對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)φi(i=1,2,…)。

2.4邊界條件和連續(xù)條件

由驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)分離后各段的邊界條件和連續(xù)條件，可知以下關(guān)系式：

(1)壓電堆y=0處為固定端，此處軸向位移為零，即

φp(0)=0

(31)

(2)支撐梁x1=0處為卷簧和鉸鏈，撓度為零，轉(zhuǎn)角不為零，即

(32)

(3)驅(qū)動(dòng)梁x2=0和基座梁x3=0處為自由端，彎矩和剪力均為零，即

(33)

(4)基座梁x3=l4處為彈性約束，邊界條件為

(34)

(5)壓電堆y=lnp和驅(qū)動(dòng)梁x2=l3結(jié)合處，有

(35)

(6)支撐梁x1=l1和驅(qū)動(dòng)梁x2=l2結(jié)合處，有

(36)

(7)驅(qū)動(dòng)梁與基座梁通過(guò)螺栓固連，螺栓位置在l5、l6處，有

(37)

3　結(jié)果分析

3.1固有頻率及模態(tài)分析

驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1，將參數(shù)代入連續(xù)條件得出系統(tǒng)的固有頻率及振型，不同材料對(duì)應(yīng)的固有頻率見(jiàn)表2。圖9～圖11所示為前3階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型，且振型圖中標(biāo)出了l5、l6及l(fā)2位置處的位移值。

表1　結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2　不同材料對(duì)應(yīng)的固有頻率　rad/s

(a)壓電堆和支撐梁振型

(b)驅(qū)動(dòng)梁和基座梁振型圖9　驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)1階振型

由表2和圖9～圖11可知：

(1)在5種材料中，黃銅對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)同階固有頻率最小，碳鋼對(duì)應(yīng)的同階固有頻率最大。不同材料對(duì)應(yīng)的固有頻率中，2階和3階固有頻率總是相差最小。

(2)同階振型中，壓電堆的軸向振動(dòng)和支撐梁對(duì)應(yīng)的鐵摩辛柯梁的彎曲振動(dòng)較弱，而驅(qū)動(dòng)梁和基座梁對(duì)應(yīng)的歐拉伯努利梁的彎曲振動(dòng)現(xiàn)象較明顯。這是因?yàn)閴弘姸押椭瘟憾际墙孛媾c長(zhǎng)度尺寸比值較大而不易產(chǎn)生振動(dòng)。

(a)壓電堆和支撐梁振型

(b)驅(qū)動(dòng)梁和基座梁振型圖10　驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)2階振型

(a) 壓電堆和支撐梁振型

(b)驅(qū)動(dòng)梁和基座梁振型圖11　驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)3階振型

(3)同階固有頻率中，驅(qū)動(dòng)梁和基座的l5和l6處的位移值分別相同，這與l5和l6處因螺栓連接而具有相同位移的假設(shè)是一致的。

3.2系統(tǒng)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律

分別選取梁高度h(包括h1、h3、h4)，鉸鏈寬度hj，各梁段長(zhǎng)度l1、l3、l4及螺栓作用位置l5為目標(biāo)參數(shù)，作固有頻率隨參數(shù)變化曲線(xiàn)，如圖12～圖17所示，可知：

圖12　固有頻率隨h變化情況

圖13　固有頻率隨hj變化情況

圖14　固有頻率隨l1變化情況

圖15　固有頻率隨l3變化情況

圖16　固有頻率隨l4變化情況

圖17　固有頻率隨l5變化情況

(1)隨h的增大，1階固有頻率f1先增大后減小，2階和3階固有頻率f2、f3先增大而后趨于平穩(wěn)。這是由于當(dāng)梁高度h較小時(shí)，各梁段皆已振動(dòng)，隨梁高度的增大固有頻率增大；當(dāng)梁高度h繼續(xù)增大時(shí)，鉸鏈相對(duì)各梁段更易發(fā)生振動(dòng)，故系統(tǒng)的固有頻率變化不大。

(2)隨鉸鏈寬度hj的增大，1階和2階固有頻率不變，3階固有頻率先增大后不變。

(3)隨l1的變化，固有頻率基本沒(méi)有發(fā)生變化，這是由于支撐梁是鐵摩辛柯梁，其主振動(dòng)頻率遠(yuǎn)大于驅(qū)動(dòng)梁和基座梁的主振動(dòng)頻率，故支撐梁長(zhǎng)度的改變對(duì)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)低階固有頻率的改變影響很小。

(4)隨l3的變化，2階和3階固有頻率變化較大，且固有頻率值在3階固有頻率時(shí)出現(xiàn)了突變，這是由于l3對(duì)驅(qū)動(dòng)梁會(huì)產(chǎn)生直接影響，且驅(qū)動(dòng)梁相對(duì)容易振動(dòng)，故較低頻率容易隨l3發(fā)生變化，并且隨l3的增大到某一值使得振型發(fā)生變化。

(5)l4變化時(shí)，1階和2階固有頻率發(fā)生局部變化，而3階固有頻率沒(méi)有發(fā)生變化，這是由于基座梁相對(duì)于驅(qū)動(dòng)梁更加容易振動(dòng)，故其主振動(dòng)頻率是最低的。

(6)當(dāng)l5增大并且l6與l5相對(duì)距離不變時(shí)，2階和3階固有頻率在某一區(qū)間先不變后減小，而1階和2階頻率都不變。

4　結(jié)論

(1)選用碳鋼材料可以增大驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的固有頻率。

(2)驅(qū)動(dòng)梁和基座梁的振動(dòng)比壓電堆和支撐梁的振動(dòng)顯著。

(3)參數(shù)h、l3對(duì)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)總體固有頻率的影響較大。

(4)理論分析為新型旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)的樣機(jī)改進(jìn)和實(shí)驗(yàn)研究打下了理論基礎(chǔ)。

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(編輯陳勇)

Free Vibration Analysis of Driving Mechanisms of a Rotary Inchworm Piezoelectric Motor

Xing JichunZhang NanLi Chong

Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei，066004

A novel rotary inchworm piezoelectric motor was proposed herein. Considering the driving mechanism of the rotary inchworm piezoelectric motor was a continuous system, the dynamics model of the driving system was presented. The natural frequencies and mode function of the drive mechanism of a prototype were solved by using the dynamics model. The influences of system parameters on the natural frequency of the driving mechanism were analyzed. All the conclusions lay a theoretical foundation for the design of the rotary inchworm piezoelectric motors.

rotary inchworm；driving mechanism；modal analysis；piezoelectric motor

2015-11-16

燕山大學(xué)青年教師自主研究計(jì)劃課題資助項(xiàng)目(13LGB002)

TH113.1DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.15.002

邢繼春，男，1983年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師。主要研究方向?yàn)閴弘婋姍C(jī)驅(qū)動(dòng)與控制。發(fā)表論文10余篇。張楠(通信作者)，男，1981年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。李沖，男，1988年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。