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        旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由振動(dòng)分析

        2016-09-13 06:58:29邢繼春
        中國(guó)機(jī)械工程 2016年15期
        關(guān)鍵詞:尺蠖基座壓電

        邢繼春 張 楠 李 沖

        燕山大學(xué),秦皇島,066004

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        旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由振動(dòng)分析

        邢繼春張楠李沖

        燕山大學(xué),秦皇島,066004

        提出了一種新型旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)??紤]旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)為連續(xù)系統(tǒng),建立了驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型;利用該動(dòng)力學(xué)模型求解了樣機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)函數(shù)。分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)固有頻率的影響規(guī)律,為旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)的設(shè)計(jì)打下了理論基礎(chǔ)。

        旋轉(zhuǎn)尺蠖;驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu);模態(tài)分析;壓電電機(jī)

        0 引言

        近年來(lái),利用尺蠖運(yùn)動(dòng)原理的壓電高精密微位移驅(qū)動(dòng)器逐漸應(yīng)用于精密測(cè)量、微機(jī)電系統(tǒng)、精密加工裝配、納米科學(xué)儀器、生物細(xì)胞操縱和半導(dǎo)體裝備等領(lǐng)域[1]。壓電精密驅(qū)動(dòng)器根據(jù)輸出的運(yùn)動(dòng)形式分為直線(xiàn)型和旋轉(zhuǎn)型[2],根據(jù)驅(qū)動(dòng)信號(hào)的頻率可分為準(zhǔn)靜態(tài)驅(qū)動(dòng)器和超聲驅(qū)動(dòng)器。準(zhǔn)靜態(tài)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率較低,常見(jiàn)的有尺蠖壓電電機(jī)、慣性沖擊式壓電電機(jī)等[3]。驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率較高的超聲驅(qū)動(dòng)器中關(guān)于行波超聲電機(jī)研究的文獻(xiàn)較多,成果也較為突出[4]。而且,現(xiàn)有的旋轉(zhuǎn)型壓電電機(jī)中行波超聲電機(jī)最為常見(jiàn),其特點(diǎn)為輸出速度較高、行程較大,但在高精密定位中其定位精度和分辨率較低[5]。而準(zhǔn)靜態(tài)壓電電機(jī)中的尺蠖壓電電機(jī)則能將大行程與高精度、高分辨率很好地兼容,并且克服了慣性沖擊式壓電電機(jī)輸出力矩較小的缺點(diǎn)[6]。

        目前,尺蠖壓電電機(jī)設(shè)計(jì)研究的類(lèi)型多為直線(xiàn)型驅(qū)動(dòng)器,將尺蠖驅(qū)動(dòng)機(jī)理應(yīng)用到精密旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)技術(shù)中的實(shí)例不多[7],并且該種電機(jī)的傳動(dòng)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)與控制理論尚不完善,因此,大大限制了尺蠖電機(jī)在微動(dòng)精密控制領(lǐng)域中的應(yīng)用[8-9]。本文提出了一種新型旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電微動(dòng)電機(jī)。該電機(jī)以壓電疊堆作為驅(qū)動(dòng)元件,由于定子的特殊結(jié)構(gòu),當(dāng)工作時(shí)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)可產(chǎn)生角度位移;并且具有實(shí)現(xiàn)箝位裝置可調(diào)、單個(gè)零件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、能夠?qū)崿F(xiàn)微動(dòng)壓電電機(jī)大行程等優(yōu)點(diǎn)。本文針對(duì)旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)的關(guān)鍵部件驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型,并進(jìn)行自由振動(dòng)分析。

        1 旋轉(zhuǎn)選尺蠖壓電機(jī)工作原理

        圖1 旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)

        圖1為旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)實(shí)物圖及爆炸圖。時(shí)序驅(qū)動(dòng)信號(hào)如圖2所示,圖2中A為驅(qū)動(dòng)電壓幅值,T為電機(jī)工作一個(gè)周期的時(shí)間。當(dāng)施加圖2a所示的時(shí)序信號(hào)時(shí),圖3中壓電疊堆1伸長(zhǎng),鉗位機(jī)構(gòu)3頂住轉(zhuǎn)子。繼續(xù)輸入圖2b所示時(shí)序信號(hào),壓電疊堆5伸長(zhǎng),由于驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)利用杠桿位移放大原理,驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)7發(fā)生彎曲。鉗位機(jī)構(gòu)3帶動(dòng)轉(zhuǎn)子9順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一定角度θ。當(dāng)輸入圖2c所示時(shí)序信號(hào)時(shí),壓電疊堆2伸長(zhǎng)頂住轉(zhuǎn)子后,撤銷(xiāo)壓電疊堆1和5的電壓信號(hào),鉗位機(jī)構(gòu)3和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)7恢復(fù)原狀。鉗位機(jī)構(gòu)4帶動(dòng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)角度θ。將壓電疊堆6輸入圖2d所示的時(shí)序信號(hào)后,壓電疊堆6伸長(zhǎng),驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)8發(fā)生彎曲,鉗位機(jī)構(gòu)4再帶動(dòng)轉(zhuǎn)子順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角度θ。撤銷(xiāo)壓電疊堆2和6的電壓信號(hào),鉗位機(jī)構(gòu)4和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)8恢復(fù)原狀。完成了一個(gè)周期的動(dòng)作。重復(fù)上一周期的動(dòng)作,以此來(lái)實(shí)現(xiàn)完整的連續(xù)運(yùn)動(dòng)。

        (a)壓電疊堆1      (b)壓電疊堆2

        (c)壓電疊堆3      (d)壓電疊堆4圖2 時(shí)序驅(qū)動(dòng)信號(hào)

        圖3 驅(qū)動(dòng)原理示意圖

        2 驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的建立

        如圖4所示,驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)由基座和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)兩部分固連組成,并通過(guò)基座上的中心孔與固定軸形成過(guò)盈配合,其中1為壓電堆,2為支撐梁,3為驅(qū)動(dòng)梁,4為基座梁。建立驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型,對(duì)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化。驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)關(guān)于x軸、y軸成反對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu),因此,取驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的1/4進(jìn)行動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究,并作以下假設(shè):

        圖4 驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)軸測(cè)爆炸圖和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)平面圖

        (1)考慮驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的彈性變形主要發(fā)生在壓電疊堆、支撐梁、驅(qū)動(dòng)梁和基座梁上。

        (2)考慮支撐梁的長(zhǎng)度小于截面高度的5倍,該梁段為鐵摩辛柯梁,故考慮截面剪切慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

        (3)考慮支撐梁和基座梁處兩尺寸相同的柔性鉸鏈彎曲變形,忽略拉伸變形,將柔性鉸鏈視為鉸鏈與卷簧的組合,卷簧剛度為K,可利用直圓型柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)剛度公式[7]求解:

        s=R/t

        式中,Mz為關(guān)于z軸的彎矩;αz為關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)角;E為驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)材料彈性模量;hj為鉸鏈寬度;t為凹口處最小厚度;R為切口半徑。

        (4)驅(qū)動(dòng)梁與基座梁通過(guò)兩個(gè)螺釘固連。考慮兩梁在兩螺釘位置l5、l6處有相同的動(dòng)態(tài)位移,如圖5所示。

        圖5 驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化模型圖

        2.1壓電堆自由振動(dòng)

        壓電疊堆為多層壓電陶瓷片的粘合體。考慮壓電疊堆為連續(xù)系統(tǒng),忽略層與層間的能量耗損,預(yù)緊力不能使壓電堆產(chǎn)生電荷,忽略預(yù)緊力對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的影響,只考慮壓電疊堆縱向振動(dòng)。

        (1)

        圖6 壓電堆動(dòng)力學(xué)模型

        由壓電本構(gòu)方程推導(dǎo)出軸向內(nèi)力表達(dá)式:

        (2)

        其中,d33為壓電系數(shù),當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)V(t)=0時(shí),把式(2)代入式(1),令p=0,得到壓電堆軸向振動(dòng)偏微分方程:

        (3)

        設(shè)式(3)解的形式為

        v(y,t)=φp(y)q(t)

        (4)

        其中,q(t)為廣義坐標(biāo),壓電堆軸向振動(dòng)模態(tài)φp(y)為

        (5)

        系數(shù)Ai(i=1,2)由邊界條件確定,進(jìn)而得出無(wú)窮多個(gè)固有頻率ωi(i=1,2,…)及對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)φpi(i=1,2,…)。

        2.2支撐梁自由振動(dòng)

        簡(jiǎn)化支撐梁,其動(dòng)力學(xué)模型如圖7所示,考慮支撐梁的長(zhǎng)度小于截面高度的5倍,認(rèn)為該梁為鐵摩辛柯梁模型,O1端柔性鉸鏈簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支端和定剛度卷簧,剛度為K。對(duì)支撐梁模型建立坐標(biāo)系,對(duì)應(yīng)的彎曲振動(dòng)橫向位移為y1(x1,t),梁的密度和彈性模量分別為ρ、E,橫截面積為S1,極慣性矩為I1,作用在梁上的分布載荷為f(x1,t)。

        圖7 支撐梁動(dòng)力學(xué)模型

        設(shè)梁的切變模量為G,取厚度dx1為研究對(duì)象,截面產(chǎn)生的切應(yīng)變?chǔ)?Fs/(κGS1),F(xiàn)s為單元所受剪力,κ為截面形狀因素。截面因剛體轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的角度θ和應(yīng)變?chǔ)枚际怪行妮S的切線(xiàn)偏轉(zhuǎn),則有?y1/?x1=θ+γ。

        對(duì)微元應(yīng)用牛頓第二定律列出平衡方程:

        f(x1,t)dx1

        (6)

        令式(6)中f=0,代入切應(yīng)變,化簡(jiǎn)可得

        (7)

        考慮截面轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力矩,建立力矩平衡方程:

        (8)

        其中,M為單元所受彎矩;J為截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,J=ρI1。

        由力矩和轉(zhuǎn)角的關(guān)系知M=-EI1?θ/?x1,代入式(8),化簡(jiǎn)整理得

        (9)

        從式(7)、式(9)中消去θ,可得鐵摩辛柯梁動(dòng)力學(xué)方程:

        (10)

        僅考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響,忽略剪切變形,式(10)可簡(jiǎn)化為

        (11)

        設(shè)式(11)中解的形式為

        y1(x1,t)=φ(x1)q(t)

        (12)

        其中,φ(x1)為支撐梁的模態(tài)函數(shù)。代入式(11)得

        (13)

        (14)

        (15)

        設(shè)式(15)解的一般形式為

        φ(x1)=eλx1

        (16)

        將式(16)代入式(15),導(dǎo)出本征方程為

        λ4+δ2λ2-β4=0

        (17)

        解出4個(gè)本征值:±iβ1,±β2,其中

        則式(15)的通解,即支撐梁的模態(tài)函數(shù)為

        φ(x1)=B1cos(β1x1)+B2sin(β1x1)+

        B3sinh(β2x1)+B4cosh(β2x1)

        其中,系數(shù)Bi(i=1,2,3,4)可由邊界條件確定,并可得到無(wú)窮多個(gè)固有頻率ωi(i=1,2,…)及對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)φi(i=1,2,…)。

        2.3驅(qū)動(dòng)梁和基座梁自由振動(dòng)

        驅(qū)動(dòng)梁和基座梁動(dòng)長(zhǎng)度均大于截面寬度的5倍,可視為歐拉-伯努利梁。兩個(gè)梁左端分別在長(zhǎng)度為l5、l6處利用螺栓固連,驅(qū)動(dòng)梁右端與壓電堆相連,基座梁右端利用柔性鉸鏈約束。其動(dòng)力學(xué)模型如圖8所示。

        圖8 驅(qū)動(dòng)梁和基座梁動(dòng)力學(xué)模型

        在驅(qū)動(dòng)梁中,取微元dx2為研究對(duì)象,建立動(dòng)力學(xué)方程:

        (19)

        以右截面上任一點(diǎn)為矩心建立平衡方程:

        (20)

        (21)

        設(shè)式(21)中方程解的形式為

        y2(x2,t)=η(x2)q(t)

        (22)

        將式(22)代入式(21)導(dǎo)出

        η(4)(x2)-β2η(x2)=0

        (23)

        則式(23)的通解,即驅(qū)動(dòng)梁的模態(tài)函數(shù)為

        η(x2)=C1cos(βx2)+C2sin(βx2)+

        C3sinh(βx2)+C4cosh(βx2)

        其中,系數(shù)Ci(i=1,2,3,4)可由邊界條件確定,從而可以得到無(wú)窮多個(gè)固有頻率ωi(i=1,2,…)及對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)ηi(i=1,2,…)。

        在基座梁中,取dx3單元體為研究對(duì)象,微元體沿y3方向的動(dòng)力學(xué)方程為

        (25)

        微元體滿(mǎn)足力矩平衡條件,力矩平衡方程為

        (26)

        上述方程與驅(qū)動(dòng)梁動(dòng)力學(xué)方程一致,故可得簡(jiǎn)化后的彎曲振動(dòng)方程:

        (27)

        將式(27)的解分離變量,把解的形式寫(xiě)成

        y3(x3,t)=ψ(y)q(t)

        (28)

        將式(28)代入式(27),導(dǎo)出

        ψ(4)(x3)-β4ψ(4)(x3)=0

        (29)

        式(29)的通解,即基座梁的模態(tài)函數(shù)為

        ψ(x3)=D1cos(βx3)+D2sin(βx3)+

        D3sinh(βx3)+D4cosh(βx3)

        通過(guò)邊界條件可確定式(30)中系數(shù)Di(i=1,2,3,4),進(jìn)而得到固有頻率ωi(i=1,2,…)及對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)φi(i=1,2,…)。

        2.4邊界條件和連續(xù)條件

        由驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)分離后各段的邊界條件和連續(xù)條件,可知以下關(guān)系式:

        (1)壓電堆y=0處為固定端,此處軸向位移為零,即

        φp(0)=0

        (31)

        (2)支撐梁x1=0處為卷簧和鉸鏈,撓度為零,轉(zhuǎn)角不為零,即

        (32)

        (3)驅(qū)動(dòng)梁x2=0和基座梁x3=0處為自由端,彎矩和剪力均為零,即

        (33)

        (4)基座梁x3=l4處為彈性約束,邊界條件為

        (34)

        (5)壓電堆y=lnp和驅(qū)動(dòng)梁x2=l3結(jié)合處,有

        (35)

        (6)支撐梁x1=l1和驅(qū)動(dòng)梁x2=l2結(jié)合處,有

        (36)

        (7)驅(qū)動(dòng)梁與基座梁通過(guò)螺栓固連,螺栓位置在l5、l6處,有

        (37)

        3 結(jié)果分析

        3.1固有頻率及模態(tài)分析

        驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1,將參數(shù)代入連續(xù)條件得出系統(tǒng)的固有頻率及振型,不同材料對(duì)應(yīng)的固有頻率見(jiàn)表2。圖9~圖11所示為前3階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型,且振型圖中標(biāo)出了l5、l6及l(fā)2位置處的位移值。

        表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

        表2 不同材料對(duì)應(yīng)的固有頻率 rad/s

        (a)壓電堆和支撐梁振型

        (b)驅(qū)動(dòng)梁和基座梁振型圖9 驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)1階振型

        由表2和圖9~圖11可知:

        (1)在5種材料中,黃銅對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)同階固有頻率最小,碳鋼對(duì)應(yīng)的同階固有頻率最大。不同材料對(duì)應(yīng)的固有頻率中,2階和3階固有頻率總是相差最小。

        (2)同階振型中,壓電堆的軸向振動(dòng)和支撐梁對(duì)應(yīng)的鐵摩辛柯梁的彎曲振動(dòng)較弱,而驅(qū)動(dòng)梁和基座梁對(duì)應(yīng)的歐拉伯努利梁的彎曲振動(dòng)現(xiàn)象較明顯。這是因?yàn)閴弘姸押椭瘟憾际墙孛媾c長(zhǎng)度尺寸比值較大而不易產(chǎn)生振動(dòng)。

        (a)壓電堆和支撐梁振型

        (b)驅(qū)動(dòng)梁和基座梁振型圖10 驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)2階振型

        (a) 壓電堆和支撐梁振型

        (b)驅(qū)動(dòng)梁和基座梁振型圖11 驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)3階振型

        (3)同階固有頻率中,驅(qū)動(dòng)梁和基座的l5和l6處的位移值分別相同,這與l5和l6處因螺栓連接而具有相同位移的假設(shè)是一致的。

        3.2系統(tǒng)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律

        分別選取梁高度h(包括h1、h3、h4),鉸鏈寬度hj,各梁段長(zhǎng)度l1、l3、l4及螺栓作用位置l5為目標(biāo)參數(shù),作固有頻率隨參數(shù)變化曲線(xiàn),如圖12~圖17所示,可知:

        圖12 固有頻率隨h變化情況

        圖13 固有頻率隨hj變化情況

        圖14 固有頻率隨l1變化情況

        圖15 固有頻率隨l3變化情況

        圖16 固有頻率隨l4變化情況

        圖17 固有頻率隨l5變化情況

        (1)隨h的增大,1階固有頻率f1先增大后減小,2階和3階固有頻率f2、f3先增大而后趨于平穩(wěn)。這是由于當(dāng)梁高度h較小時(shí),各梁段皆已振動(dòng),隨梁高度的增大固有頻率增大;當(dāng)梁高度h繼續(xù)增大時(shí),鉸鏈相對(duì)各梁段更易發(fā)生振動(dòng),故系統(tǒng)的固有頻率變化不大。

        (2)隨鉸鏈寬度hj的增大,1階和2階固有頻率不變,3階固有頻率先增大后不變。

        (3)隨l1的變化,固有頻率基本沒(méi)有發(fā)生變化,這是由于支撐梁是鐵摩辛柯梁,其主振動(dòng)頻率遠(yuǎn)大于驅(qū)動(dòng)梁和基座梁的主振動(dòng)頻率,故支撐梁長(zhǎng)度的改變對(duì)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)低階固有頻率的改變影響很小。

        (4)隨l3的變化,2階和3階固有頻率變化較大,且固有頻率值在3階固有頻率時(shí)出現(xiàn)了突變,這是由于l3對(duì)驅(qū)動(dòng)梁會(huì)產(chǎn)生直接影響,且驅(qū)動(dòng)梁相對(duì)容易振動(dòng),故較低頻率容易隨l3發(fā)生變化,并且隨l3的增大到某一值使得振型發(fā)生變化。

        (5)l4變化時(shí),1階和2階固有頻率發(fā)生局部變化,而3階固有頻率沒(méi)有發(fā)生變化,這是由于基座梁相對(duì)于驅(qū)動(dòng)梁更加容易振動(dòng),故其主振動(dòng)頻率是最低的。

        (6)當(dāng)l5增大并且l6與l5相對(duì)距離不變時(shí),2階和3階固有頻率在某一區(qū)間先不變后減小,而1階和2階頻率都不變。

        4 結(jié)論

        (1)選用碳鋼材料可以增大驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的固有頻率。

        (2)驅(qū)動(dòng)梁和基座梁的振動(dòng)比壓電堆和支撐梁的振動(dòng)顯著。

        (3)參數(shù)h、l3對(duì)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)總體固有頻率的影響較大。

        (4)理論分析為新型旋轉(zhuǎn)尺蠖壓電電機(jī)的樣機(jī)改進(jìn)和實(shí)驗(yàn)研究打下了理論基礎(chǔ)。

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        (編輯陳勇)

        Free Vibration Analysis of Driving Mechanisms of a Rotary Inchworm Piezoelectric Motor

        Xing JichunZhang NanLi Chong

        Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

        A novel rotary inchworm piezoelectric motor was proposed herein. Considering the driving mechanism of the rotary inchworm piezoelectric motor was a continuous system, the dynamics model of the driving system was presented. The natural frequencies and mode function of the drive mechanism of a prototype were solved by using the dynamics model. The influences of system parameters on the natural frequency of the driving mechanism were analyzed. All the conclusions lay a theoretical foundation for the design of the rotary inchworm piezoelectric motors.

        rotary inchworm;driving mechanism;modal analysis;piezoelectric motor

        2015-11-16

        燕山大學(xué)青年教師自主研究計(jì)劃課題資助項(xiàng)目(13LGB002)

        TH113.1DOI:10.3969/j.issn.1004-132X.2016.15.002

        邢繼春,男,1983年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師。主要研究方向?yàn)閴弘婋姍C(jī)驅(qū)動(dòng)與控制。發(fā)表論文10余篇。張楠(通信作者),男,1981年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。李沖,男,1988年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。

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