馬　平，黃訓(xùn)銘，鄧　浩，石安華，黃　潔

(1.中國空氣動力研究與發(fā)展中心超高速所，四川 綿陽　621000； 2.電子科技大學(xué) 物理電子學(xué)院，成都　610054)

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亞波長二維光柵結(jié)構(gòu)零級透射場的計算方法

馬平1，黃訓(xùn)銘1，鄧浩2，石安華1，黃潔1

(1.中國空氣動力研究與發(fā)展中心超高速所，四川 綿陽621000； 2.電子科技大學(xué) 物理電子學(xué)院，成都610054)

基于散射度量術(shù)中測量掩膜版時對零級透射率波譜的計算需求，將需要階梯近似分層的復(fù)雜二維光柵統(tǒng)一模型化為多層二維光柵，建立了多層二維光柵零級透射場計算方法；將Moharam傳輸矩陣法的部分解法推廣到一般復(fù)雜二維光柵結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)對多層或者非垂直側(cè)壁結(jié)構(gòu)透射場的逐層迭代計算；對一種亞波長二維金屬光柵陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行了寬譜光源入射下的透射特性仿真計算；結(jié)果表明：結(jié)合二維光柵模擬的收斂性改進(jìn)算法，建立的計算方法能實現(xiàn)對復(fù)雜二維光柵透射率波譜的求解。

衍射；光柵；嚴(yán)格耦合波分析；傳輸矩陣法；散射度量術(shù)

本文引用格式：馬平，黃訓(xùn)銘，鄧浩，等.亞波長二維光柵結(jié)構(gòu)零級透射場的計算方法[J].兵器裝備工程學(xué)報，2016(8):155-159.

光柵零級衍射場的模擬計算對分析與設(shè)計光柵、光子晶體等周期結(jié)構(gòu)具有重要意義[1-3]。此外，它在微電子半導(dǎo)體集成電路結(jié)構(gòu)的分析/測試技術(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用[4]。其中，光柵透射場的計算是散射度量術(shù)中測量掩膜版等透明材料的一個重要環(huán)節(jié)[5]。傳統(tǒng)的光柵零級衍射場計算方法主要采用標(biāo)量衍射模型。隨著半導(dǎo)體技術(shù)節(jié)點的不斷更新以及半導(dǎo)體工藝的持續(xù)發(fā)展，以亞波長尺寸3D結(jié)構(gòu)為代表的復(fù)雜二維光柵結(jié)構(gòu)大量出現(xiàn)，矢量衍射模型逐漸成為主流。其中，嚴(yán)格耦合波分析(RCWA)是目前應(yīng)用最廣泛的高效、穩(wěn)定的方法[6]。它對于垂直側(cè)壁周期結(jié)構(gòu)的衍射模擬具有極高效率，對于復(fù)雜非垂直側(cè)壁結(jié)構(gòu)則需通過沿光柵側(cè)壁方向階梯近似分層計算[7-8]。對于亞波長光柵，只存在零級衍射傳播波，其余級次均為不攜帶能量的倏逝波[9]。零級透射場的計算分析對于確定亞波長光柵的透射特性至關(guān)重要。目前，針對復(fù)雜二維光柵結(jié)構(gòu)零級透射場模擬的研究較少。根據(jù)文獻(xiàn)[9]的觀點，傳輸矩陣法相對于傳統(tǒng)S-矩陣法更直接高效。Moharam只給出了一維情況下的反射率計算方法，對于透射率以及更復(fù)雜的二維情況并沒有具體說明。本文在Moharam的部分解法的基礎(chǔ)上，將需要階梯近似分層的復(fù)雜二維光柵統(tǒng)一模型化為多層二維光柵，最終通過逐層迭代計算寬譜光源入射情況下二維問題的零級透射場。

1　理論模型

圖1　亞波長復(fù)雜二維光柵的多層模型

對此二維問題，其入射電場定義：

(1)

其中，

(2)

在光柵區(qū)域，光的傳播將受到二維光柵在兩個方向上的周期性變化的調(diào)制，最終通過弗洛奎特條件反映到電磁波在各個問題區(qū)域的平面波諧波展開形式上。因此，光柵區(qū)域(各階梯近似層內(nèi))的歸一化電磁場可以表示為如下的諧波形式：

(5)

式(5)中：Kx=2π/Λx,Ky=2π/Λy，Λx,Λy為x,y方向周期。

待定的Sll,m,n(z)與Ull,m,n(z)可以通過求解光柵區(qū)域各層的特征值問題給出其諧波展開形式。該二維光柵的特征值問題則通過如下微分方程表述：

(6)

各層內(nèi)，微分方程(6)的通解表示為如下諧波展開形式：

(7)

(8)

(9)

對于任意復(fù)雜二維光柵透射問題，均可通過對復(fù)雜光柵結(jié)構(gòu)實現(xiàn)階梯近似后將各層的通解式(7)、式(8)代入層間電磁場的切向連續(xù)邊界條件，并結(jié)合覆蓋層與襯底層的電磁場諧波展開式，計算其各階透射衍射效率。其中，覆蓋層與襯底層的電場諧波展開式表示為：

(10)

(11)

(12)

通過求解各階梯近似層內(nèi)的特征值問題，并自覆蓋層到襯底層逐層的結(jié)合各層間邊界條件方程，最終計算任意介質(zhì)復(fù)雜二維光柵的透射率。

2　多層二維光柵零級透射場算法

根據(jù)上節(jié)所述多層二維光柵模型，令各層的特征問題相關(guān)矩陣為Wl,Vl(其中，0

首先，在邊界z=0處，通過匹配各層間的切向電場與切向磁場，邊界條件方程可以寫為

(16)

(17)

(18)

然后，式(18)進(jìn)一步改寫為

(19)

其中，

令f1=W1(X1a1+I)，g1=V1(I-X1a1)，那么

(20)

其次，在第1層與第2層邊界處，邊界條件方程可以寫為

(21)

由此得到：

(22)

(23)

類似的，可以繼續(xù)給出f2,g2和B2。

(24)

(25)

(26)

在最后一層(l=L)與襯底邊界處，邊界條件方程可以寫為：

(27)

(28)

對于零級透射率而言，Tx,00,Ty,00由式(28)得到，Tz,00則可以通過下式計算：

(29)

二維光柵的零級透射率T00為Tx,00、Ty,00、Tz,00平方和的方根。需要注意的是由于襯底介質(zhì)的存在，實際的透射率是在襯底層之外檢測到，因此最終計算結(jié)果需要考慮襯底層與空氣邊界對T00的多重反射效應(yīng)。此外，由于二維光柵結(jié)構(gòu)往往還會帶來嚴(yán)重的收斂性問題，實際應(yīng)用過程中通過采用一些收斂性改進(jìn)方案，比如Lalanne的經(jīng)驗法[11]與Schuster的垂直矢量法[12]等，提高其計算收斂速度。

3　數(shù)值模擬與分析

圖2為參考自文獻(xiàn)[13]中實現(xiàn)高透射調(diào)制的一種二維亞波長金屬陣列結(jié)構(gòu)，其x與y方向周期為120 nm。該結(jié)構(gòu)為非垂直側(cè)壁，其x方向上底矩形長為90 nm(占空比為0.75)，下底矩形長為108 nm(占空比fx=0.9)；其y方向上下底矩形寬為66 nm(占空比fy=0.55)，襯底為SiO2，金屬材料為Al，光柵厚度為140 nm。實際半導(dǎo)體集成電路分析/測試工程中通常采用寬譜光源入射，因此對于波長為190～1 100 nm垂直入射的TE偏振平面波(由于坐標(biāo)系的區(qū)別，對應(yīng)文獻(xiàn)13中的TM偏振)，采用色散折射率數(shù)據(jù)計算。本文采用Lalanne的經(jīng)驗法提高其收斂速度，其階梯近似數(shù)選擇為5層，最大諧波階次M、N均選擇為10，其零級透射率波譜計算結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出，該亞波長金屬陣列結(jié)構(gòu)的光柵TE波具有較高透射特性，其透射光的零級衍射率大于60%；隨著入射光波長的增加，光柵衍射效率增加。因此，本文建立的多層二維光柵零級透射場計算方法能夠有效地計算分析二維光柵的零級透射場，為分析復(fù)雜二維光柵的透射特性提供了一種新方法。

圖2　非垂直側(cè)壁金屬陣列光柵

圖3金屬陣列光柵零級透射率波譜計算結(jié)果

4　結(jié)論

本文給出了復(fù)雜二維光柵零級透射率的逐層迭代計算方法，該方法適用于任意二維光柵結(jié)構(gòu)。對于復(fù)雜的亞波長多層結(jié)構(gòu)或者非垂直側(cè)壁的周期結(jié)構(gòu)均可以實現(xiàn)數(shù)值穩(wěn)定的迭代計算。由于二維結(jié)構(gòu)往往需要考慮傅里葉級數(shù)展開過程所帶來的收斂問題[14]，實際的嚴(yán)格耦合波應(yīng)用中通常還需采用適當(dāng)?shù)氖諗啃愿倪M(jìn)方法，以提高收斂效果。本文所述方法為Moharam傳輸矩陣法的部分解法在二維透射計算問題的拓展，能有效計算各種復(fù)雜二維結(jié)構(gòu)的零級透射率波譜，并應(yīng)用于微電子半導(dǎo)體集成電路結(jié)構(gòu)的分析與測試應(yīng)用之中。

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(責(zé)任編輯唐定國)

Calculation Zero-Order Transmittance for Sub-Wavelength Multilayered Two-Dimensional Gratings

MA Ping1, HUANG Xun-ming1，DENG Hao2, SHI An-hua1，HUANG Jie1

(1.Hypervelocity Aerodynamics Institute, China Aerodynamics Research and Development Center,Mianyang 621900, China; 2.School of Physical Electronics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

Based on the needs for calculation of the zero-order transmittance spectrum in scatterometry, the complex two-dimensional gratings needed to divide into many echelons that are equivalent to multilayer two-dimensional gratings. The computing method of the zero-order transmission field of those was put forward. The partial-solution of the enhanced transmittance matrix approach was generalized to arbitrary two-dimensional gratings. This approach was shown to produce numerically stable iterative-calculation results for multilevel or slanted gratings. A sub-wavelength two-dimensional metallic grating was analyzed. Simulation results show that this approach is efficient for the calculation of transmittance for general two-dimensional gratings with a preferred convergence-improved method. The computing method can be used to solve the transmissivity spectrum of the complex two-dimensional grating.

diffraction; grating; rigorous couple wave analysis; enhanced transmittance matrix approach; scatterometry

2016-02-29；

2016-04-18

國家重大基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃項目(2014CB340202)；國家自然科學(xué)基金項目(11272336)

馬平(1976—)，男，高級工程師，主要從事超高速目標(biāo)光電特性、再入通訊中斷等研究。

10.11809/scbgxb2016.08.035

format:MA Ping, HUANG Xun-ming，DENG Hao, et al.Calculation Zero-Order Transmittance for Sub-Wavelength Multilayered Two-Dimensional Gratings[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(8):155-159.

O436

A

2096-2304(2016)08-0155-05

【光學(xué)工程與電子技術(shù)】