☉江蘇省蘇州第四中學(xué) 薛榮明

初探問題解決模式在課堂教學(xué)中的運用

☉江蘇省蘇州第四中學(xué) 薛榮明

眾所周知，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主陣地.從大量教學(xué)實踐來看，如何提高課堂教學(xué)有效性成為新課程數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重點，各種各樣的教學(xué)模式在課堂教學(xué)中應(yīng)運而生，有陶行知先生小先生模式的探索、昌樂二中“3721”訓(xùn)練模式的初探等等，都是根據(jù)一定理論、特點實施的教學(xué)新模式.

問題解決模式起源于一個口號，上世紀(jì)八十年代起源于美國數(shù)學(xué)教育的一場行動口號，其核心依據(jù)是圍繞數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)是一項面向解決實際問題的學(xué)科，因此發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、再發(fā)現(xiàn)問題、再解決問題成為這一模式的關(guān)鍵.在美國數(shù)學(xué)教育開展的問題解決運動中，教育家通過教學(xué)實踐、思維開拓、動手解決、發(fā)現(xiàn)問題等一系列探索，將其總結(jié)成立一種以主動探索為載體的新型教學(xué)模式，并運用于一些探究式的課堂教學(xué)中，取得了一定的成效.

一、問題解決模式的功能目標(biāo)

問題解決模式的主要目的是通過學(xué)習(xí)積累發(fā)現(xiàn)問題的方法，在學(xué)習(xí)積累、探索過程中，通過教師的合理設(shè)計、學(xué)生的積極參與、師生之間的合作解決，將數(shù)學(xué)基本知識和基本技能、思想方法運用到具體情境的問題中，提高學(xué)生通過問題解決、問題發(fā)現(xiàn)、再解決、再發(fā)現(xiàn)這樣的環(huán)節(jié)中，進而提高數(shù)學(xué)知識的運用水平.筆者認(rèn)為，問題解決模式的功能具體可以體現(xiàn)在下列幾種能力：

（1）審題：審題是問題解決的第一要素，特別是對于一些反復(fù)包裝的問題，如何從問題中提煉有用的信息，并將信息轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)知識點是一種很重要的數(shù)學(xué)基本能力.

（2）建模：陌生數(shù)學(xué)知識的解決是一種轉(zhuǎn)化的問題，即將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟知的知識，俗稱模式識別.這種模式識別需要在問題解決過程中積累較多的常見類型，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)常規(guī)知識的學(xué)習(xí)和解決.

（3）思想：隨著知識解決的深入，更高的知識運用體現(xiàn)在問題解決過程中涉及的思想，通過不斷問題解決、再現(xiàn)、再解決，就是要將問題背后更深層次的思想方法學(xué)會、領(lǐng)悟，使其能站在更高的角度上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué).

（4）反思：學(xué)習(xí)最終還是帶著問題結(jié)束的，在某些時候這些問題并非必須解決，但是那種思考卻帶給了學(xué)生無限的學(xué)習(xí)方向、興趣，將問題解決最終指引了學(xué)生更高的追求.

二、問題解決模式的設(shè)計

問題解決模式是一種亟需教師課堂設(shè)計的教學(xué)模式，在課堂教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)需要對問題引入、問題審題、問題解決、問題深入等環(huán)節(jié)做一系列的設(shè)計，這種設(shè)計必須依仗教師對于問題難易程度的控制，在控制的基礎(chǔ)上進行解決、再現(xiàn)、再解決這一設(shè)計過程.

案例1 已知（fx）=ax2+cx，且1≤（f1）≤3，-1≤（f-1）≤1，求（f2）的取值范圍（.教材課后習(xí)題）

給出正解：（f2）=4x+2y=3（f1）+（f-1），由已知可得，3≤3（f1）≤9，-1≤（f-1）≤1，故而兩式相加可得2≤（f2）≤10.

說明：教師從一個教材課后習(xí)題給出所需要解決的知識，這個問題是一個經(jīng)典問題.初學(xué)者往往割裂變量之間的聯(lián)系，而是從變量獨自取值的角度出發(fā)給予解決，這種錯誤設(shè)計是教師給學(xué)生做的一種鋪墊，旨在暗示學(xué)生這樣的解決方式忽略了變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，而擴大了取值范圍.問題的設(shè)計從教材問題出發(fā)，以誤解進行知識的理解，最終從正解中感悟.但是隨之而來的問題：f（2）=3f（1）+f（-1）的搭配是否有些唐突，問題解決的本質(zhì)并未從上述正解中總結(jié)出來，因此教師繼續(xù)設(shè)計問題進一步的解決：

從這樣的解決方法中形成了二元變量求解問題的一般思路，以形求解可以正確的找到方法的一般性.

圖1

圖2

圖3

圖4

說明：上述問題解決的設(shè)計可謂非常精妙！讀者們可以想一想，線性規(guī)劃知識最重要的模式在哪里？一般來看，教師從一個教材例題出發(fā)，通過問題誤解分析、問題解決、問題再現(xiàn)、問題再解決的模式進行了設(shè)計，從一個源于教材又高于教材的設(shè)計，將二元變量下的取值范圍問題進行了整合性的問題解決，學(xué)生對于問題解決過程中的數(shù)形結(jié)合思想也使用得較為熟練，總而言之這樣的問題解決模式的案例設(shè)計是符合新課程教學(xué)設(shè)計理念的，既源自教材又高于教材，既圍繞問題解決又進行問題思考、問題再現(xiàn)、問題再解決，這種效率較高的教學(xué)模式值得新課程教學(xué)探索和實踐.

三、問題解決思想的滲透

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)比較高端的部分，但是數(shù)學(xué)思想的滲透不是一朝一夕形成的.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中進行思想方法的滲透是必不可少的，但是如何在無形中對思想進行合理的滲透卻是教師教學(xué)需要掌控和探索的.以新高一學(xué)生解決一元二次不等式為例，談?wù)剢栴}解決過程中分類討論思想是如何滲透的：

案例2 求解關(guān)于x的不等式x2-2mx-2m-1＞0.

解析：因為Δ=4（m+1）2≥0，

故不等式化為［x-（2m+1）］（x+1）＞0，

所以x1=-1，x2=2m+1，且x2-x1=2（m+1）.

①當(dāng)m=-1時，不等式為：（x+1）2＞0，解集為｛x|x≠-1｝；

②當(dāng)m＞-1時，2m+1＞-1，解集為｛x|x＞2m+1或x＜-1｝；

③當(dāng)m＜-1時，2m+1＜-1，解集為｛x|x＞-1或x＜2m+1｝.

辨析：對于初高中銜接過程中出現(xiàn)的含參一元二次不等式，教師在問題解決過程中要極為注重兩方面的引導(dǎo)：其一是含參不等式是否必存在實根，只需通過判別式即可看出，若不可確定則從判別式下手討論問題；其二，若必定存在實根，則可以通過一元二次函數(shù)圖像去分類討論實根之間的大小關(guān)系，從此處入手進行分類討論，將分類討論思想從初高中銜接開始進行滲透.

問題再現(xiàn)1：解關(guān)于x的不等式mx2+（1-m）x-1＞0.

分析：（i）當(dāng)m=0時，不等式化為x-1＞0，即解集為｛x| x＞1｝.

（ii）當(dāng)m≠0時，Δ=（1+m）2≥0，

所原不等式可化為（mx+1）（x-1）＞0，

所以x1=-，x2=1，且

②當(dāng)m=-1時，不等式化為-（x-1）2＞0，解集為?；

問題再現(xiàn)2：已知不等式x2-2mx-2m-1＞0的解集為（-∞，-1）∪（15，+∞），求m的值.

解析：由題意可知，-1和15是方程x2-2mx-2m-1=0的根，代入方程解得m=7.

問題再現(xiàn)3：若不等式x2-14x-15＜0的解滿足不等式2x2-9x+m＜0，求實數(shù)m的取值范圍.

解析：由上可知，｛x|-1＜x＜15｝是不等式2x2-9x+m＜0的解集的子集，不妨設(shè)f（x）=2x2-9x+m，即只要滿足故解得m≤-315.

問題再現(xiàn)4：對于一切實數(shù)x不等式mx2-2mx+2m+1＞0恒成立，求m的取值范圍.

解析：（1）當(dāng)m=0，1＞0成立；

綜上可知，m≥0.

說明：請讀者細細品味教師給出的上述問題解決后的問題再現(xiàn)、問題再解決，從一系列問題的設(shè)計，旨在將所設(shè)計的思想方法隱藏在問題中，問題再現(xiàn)2體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的緊密聯(lián)系（即方程思想），問題再現(xiàn)3、4的解決將數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)其中，清楚地展示了函數(shù)圖形對于問題解決的便利性，以代數(shù)化的分類討論思想入手，到圖形化的數(shù)形結(jié)合思想結(jié)尾，本題的問題解決、問題再現(xiàn)將知識整合性、思想方法的融合性設(shè)計的較為合理，值得在復(fù)習(xí)教學(xué)中進行推廣.

問題解決模式是課堂教學(xué)一種較為高效的學(xué)習(xí)方式方法，盡管其使用的前提較為復(fù)雜，需要教師對問題進行深加工、教材問題的合理細致開發(fā)，但是將這樣的教學(xué)設(shè)計和運用多探索、多嘗試，筆者以為對于教師上好課、高效課堂教學(xué)是大有益處的，更為深入的研究還請讀者給出和指正.

1.鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育［M］.上海：上海教育出版社，2002.

2.方小芹，林德寬.數(shù)學(xué)問題解決過程中的知識類型分析［J］.數(shù)學(xué)通訊，2013（8）.